本章介绍常见初等函数的导函数及其求法。
函数导数一：导数的定义与基本性质
定义1：导数
设函数\(f\)在\(x_0\)的近旁处有定义，如果极限
\[ \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \]
存在且有限，则称这个极限值为\(f\)在点\(x_0\)的导数，记作\(f^{\prime}(x_0)\)，并称函数\(f\)在点\(x_0\)处可导。
leetcode题解15：三数之和
函数极限七：向量值函数的连续与一致连续
定义1：向量值函数
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，定义\(\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m\)为向量值函数，其中\(D\)称为\(\boldsymbol{f}\)定义域，\(f(D)\)称为值域。当用\(\boldsymbol{y} = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x} \in D)\)来表示这种映射时，\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^m\)。按分量形式写出\(\boldsymbol{x} = (x_1,x_2,\cdots,x_n), \boldsymbol{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_m)\)，那么该映射函数相当于给定了\(m\)个\(n\)元函数：
\[ \left\{ \begin{aligned} & y_1 = f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n) \\ & y_2 = f_2(x_1,x_2,\cdots,x_n) \quad (x_1,x_2,\cdots,x_n) \in D \subset \mathbb{R}^n \\ & \cdots \\ & y_m = f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n) \end{aligned} \right. \]
反过来也成立。也就是说，如果给定了\(m\)个定义在\(D \subset \mathbb{R}^n\)上的函数，就相当于给定了定义在\(D\)上，映射到\(\mathbb{R}^m\)中的一个映射，或者说在\(D\)上定义了一个在\(\mathbb{R}^m\)中取值的向量值函数。这一事实表示为
\[ \boldsymbol{f} = (f_1,f_2,\cdots,f_m) \]
其中\(f_i: D \to \mathbb{R}\)称为\(\boldsymbol{f}\)的第\(i\)个分量函数\((i=1,2,\cdots,m)\)
函数极限六：多变量函数的一致连续性
定义1：多变量函数的一致连续性
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(f: D \to \mathbb{R}\)。如果\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得当\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in D\)，且\(\Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} \Vert < \delta\)时，有\(|f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{y})| < \varepsilon\)，则称\(f\)在\(D\)上一致连续。
函数极限五：多变量函数的极限与连续性
定义1
设\(D \subset \mathbb{R^n}\)，那么映射\(f: D \to \mathbb{R}\)称为一个\(n\)元函数，其中\(D\)称为函数\(f\)的定义域，而\(f(D) \subset \mathbb{R}\)称为\(f\)的值域。
函数极限四：初等连续函数与函数的上下极限
基本连续函数有哪些？这章来解答。
定理1
如果函数\(f\)与\(g\)在\(x_0\)处连续，那么\(f \pm g\)与\(fg\)都在\(x_0\)处连续，如果\(g(x_0) \ne 0\)，那么\(f/g\)也在\(x_0\)处连续。
leetcode题解11：盛最多水的容器
函数极限三：连续函数与一致连续函数
定义1：某点连续
设\(f: [a,b] \to \mathbb{R} \quad (b>a)\). 若有
\[ \lim \limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \]
则称函数\(f\)在点\(x_0 \in (a,b)\)内连续。