定义1：向量值函数
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，定义\(\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m\)为向量值函数，其中\(D\)称为\(\boldsymbol{f}\)定义域，\(f(D)\)称为值域。当用\(\boldsymbol{y} = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x} \in D)\)来表示这种映射时，\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^m\)。按分量形式写出\(\boldsymbol{x} = (x_1,x_2,\cdots,x_n), \boldsymbol{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_m)\)，那么该映射函数相当于给定了\(m\)个\(n\)元函数：
\[ \left\{ \begin{aligned} & y_1 = f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n) \\ & y_2 = f_2(x_1,x_2,\cdots,x_n) \quad (x_1,x_2,\cdots,x_n) \in D \subset \mathbb{R}^n \\ & \cdots \\ & y_m = f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n) \end{aligned} \right. \]
反过来也成立。也就是说，如果给定了\(m\)个定义在\(D \subset \mathbb{R}^n\)上的函数，就相当于给定了定义在\(D\)上，映射到\(\mathbb{R}^m\)中的一个映射，或者说在\(D\)上定义了一个在\(\mathbb{R}^m\)中取值的向量值函数。这一事实表示为
\[ \boldsymbol{f} = (f_1,f_2,\cdots,f_m) \]
其中\(f_i: D \to \mathbb{R}\)称为\(\boldsymbol{f}\)的第\(i\)个分量函数\((i=1,2,\cdots,m)\)