对于任意给定的数列\(\{a_n\}\)，如果\(\{a_n\}\)有界，由列紧性可知，必然存在收敛子列，如果\(\{a_n\}\)无解，则总可以找到一个子列趋向于\(-\infty\)或\(+\infty\)。我们把数列\(\{a_n\}\)的收敛子列的极限称为\(\{a_n\}\)的一个极限点，若还有趋于\(-\infty\)或\(+\infty\)的子列，也将\(-\infty\)或\(+\infty\)称为\(\{a_n\}\)的一个极限点。
点列极限二：实数连续性
前言
在点列极限一的定理7证明了单调有界的数列必收敛，此命题是实数连续性的表现之一，本篇将会说明实数连续性的6个等价命题，即这6个命题可以互相推出，而单调有界的数列必收敛命题前面已经证明，所以只需要在这6个命题中做循环论证即可。本篇将会首先列出这6个命题的描述，然后证明其相互等价。
点列极限一：数列极限定义与基本性质
定义1
在\(\mathbb{R}\)上，设\(\{a_n\}\)是一个数列，\(a \in \mathbb{R}\)，若\(\forall \varepsilon>0\)，\(\exists N(\varepsilon)\in \mathbb{N^+}\)，使得\(\forall n>N(\varepsilon)\)，有\(|a_n-a|<\varepsilon\)，则称\(\{a_n\}\)当\(n\)趋于无穷大时以\(a\)为极限，记为
\[ \lim_{n\to \infty} a_n = a \]
或
\[ a_n \to a \quad (n \to \infty) \]
也称数列\(\{a_n\}\)收敛于\(a\)； 存在极限的数列称为收敛数列，否则称为发散数列。