尘雨尘风

描述

该题来自于力扣第22题

数字n代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且有效的括号组合。

定义1

设开集\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(f: D \to \mathbb{R}\)，\(\boldsymbol{u}\)是一个方向，\(x_0 \in D\)，如果极限
\[ \lim \limits_{t \to 0} \frac{f(\boldsymbol{x}_0 + t\boldsymbol{u}) - f(\boldsymbol{x})}{t} \]
存在且有限，则称这个极限为函数\(f\)在\(\boldsymbol{x}_0\)处沿方向\(u\)的方向导数，记为\(\dfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{u}}(\boldsymbol{x}_0)\)。

定义1

设函数\(f\)在\(x_0\)处有直到\(n\)阶的导数，这里\(n\)是任意给定的正整数，令
\[ T_n(f,x_0;x) = f(x_0) + \frac{1}{1!}f^\prime(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(x_0)(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n \]
称它为\(f\)在\(x_0\)处的\(n\)次Taylor多项式。

描述

该题来自于力扣第19题

给你一个链表，删除链表的倒数第n个结点，并且返回链表的头结点。
进阶：你能尝试使用一趟扫描实现吗？

定义1：微分

设函数\(f\)在\((a,b)\)上有定义，且\(x_0 \in (a,b)\)，如果存在一个常数\(\lambda\)，使得
\[ f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \lambda \Delta x + o(\Delta x) \quad (\Delta x \to 0) \]
则称函数\(f\)在点\(x_0\)处可微，\(\lambda \Delta x\)称为\(f\)在\(x_0\)处的微分，记作\(\mathrm{d}f(x_0)\)。如果\(f\)在\((a,b)\)上任意一点都可微，则称\(f\)在\((a,b)\)上可微。

描述

该题来自于力扣第16题
给定一个包括n个整数的数组nums和一个目标值target。找出nums中的三个整数，使得它们的和与target最接近。返回这三个数的和。假定每组输入只存在唯一答案。

假设两个正数\(a,b\)，我们知道\(\frac{a+b}{2}\)称为算术平均数，\(\sqrt{ab}\)称为几何平均数，\(\frac{2}{a^{-1}+b^{-1}}\)称为调和平均数。对于任意\(n\)个正数也有同样的定义，观察到算术平均数为\(\left(\frac{a^{1}+b^{1}}{2}\right)^1\)，调和平均数为\(\left(\frac{a^{-1}+b^{-1}}{2}\right)^{-1}\)，可以猜想一类平均数的定义。

定理1

设函数\(f\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)上可导，那么\(f\)在\([a,b]\)上递增（减）的充分必要条件是\(f^\prime \ge 0 (\le 0)\)在区间\((a,b)\)上成立。

定理1

设函数\(f,g\)在\((a,b)\)上可导，并且\(g(x) \ne 0\)对\(x \in (a,b)\)成立。又设
\[ \lim \limits_{x \to a^+} f(x) = \lim \limits_{x \to a^+} g(x) = 0 \]
如果极限
\[ \lim \limits_{x \to a^+} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} \]
存在(或为\(\infty\))，那么便有
\[ \lim \limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{x \to a^+} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} \]

几何题

\(1.\) 在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，点\(D\)在线段\(BC\)上，且\(\angle BAD = 20^\circ\)，点\(E\)在线段\(AC\)上，且\(AE = AD\)，求\(\angle CDE\)。