定义1

设函数\(f\)在开集\(D\)上的每一点处存在偏导数：
\[ D_if(\boldsymbol{x}) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{x}) \quad (i=1,2,\cdots,n) \]
称它们为\(f\)的一阶偏导函数，如果对这些偏导函数又可以取偏导数，得出的就是\(f\)的二阶偏导函数，依次可以定义三阶偏导数以及更高阶的偏导数。对于二阶偏导数，将一阶偏导函数\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_j}\)再对\(x_i\)求偏导数，即\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_j}\right)\)记作\(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\)，这里\(i,j\)独立地从\(1\)变到\(n\)，如果\(i=j\)，那么把\(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_i}\)记作\(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}(i=1,2,\cdots,n)\)；如果\(i\ne j\)，这类二阶偏导数称为混合偏导数。

定理1: 局部逆映射定理

设开集\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^n\)，满足：
（a）\(\boldsymbol{f} \in C^1(D)\)；
（b）有\(\boldsymbol{x}_0 \in D\)，使得
\[ \det J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0) \ne 0 \]
记\(\boldsymbol{y}_0 = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)\)，那么存在\(\boldsymbol{x}_0\)的一个邻域\(U\)和\(\boldsymbol{y}_0\)的一个邻域\(V\)，使得
（1）\(\boldsymbol{f}(U) = V\)，且\(\boldsymbol{f}\)在\(U\)上是单射；
（2）记\(\boldsymbol{g}\)是\(\boldsymbol{f}\)在\(U\)上的逆映射，\(\boldsymbol{g} \in C^1(V)\)；
（3）当\(\boldsymbol{y} \in V\)时，
\[ J\boldsymbol{g}(\boldsymbol{y}) = (J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}))^{-1} \]
其中\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{g}(\boldsymbol{y})\)。

介绍

PyQt5是一个用来开发UI的python第三方库，UI不外乎显示控件，布局与交互，简单说就是确定UI需要展示哪些东西，这些东西如何排布在界面上以及操作这些东西的逻辑是什么。而PyQt5的控件与布局几乎都在QtWidgets这个类里面，至于交互就是后面所要讲的信号与槽。

1. 概述

数据库，顾名思义用来存放数据的地方，可以把数据库比作图书馆，图书馆里面有不同区域相当于不同的数据库（database），而每个区域又存放着不同的书籍，相当于每个database含有很多表（table），图中表现了这种关系。

定义1：隐式方程

设\(D \subset \mathbb{R}^2\)是一开集，\(F: D \to \mathbb{R}\)是一个含有两个自变量\(x,y\)的函数，对于\(D\)中的点\((x,y)\)满足方程
\[ F(x,y) = 0 \]
的点的全体组成\(D\)内的一条曲线，而方程就称为该曲线的隐式方程。

设开集\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m\)。记\(\boldsymbol{f}\)的分量依次为\(f_1,f_2,\cdots,f_m\)，可以把\(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\)写成
\[ \boldsymbol{f(x)} = \left( \begin{matrix} f_1(\boldsymbol{x}) \\ f_2(\boldsymbol{x}) \\ \vdots \\ f_m(\boldsymbol{x}) \end{matrix} \right) \quad (\boldsymbol{x} \in D) \]
设点\(\boldsymbol{x}_0 \in D, \boldsymbol{h} \in \mathbb{R}^n\)。由于\(\boldsymbol{x}_0\)是\(D\)的内点，所以总可以找到充分小的\(\Vert \boldsymbol{h} \Vert\)使得\(\boldsymbol{x}_0 + \boldsymbol{h} \in D\)。

描述

该题来自于力扣第22题

数字n代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且有效的括号组合。

定义1

设开集\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(f: D \to \mathbb{R}\)，\(\boldsymbol{u}\)是一个方向，\(x_0 \in D\)，如果极限
\[ \lim \limits_{t \to 0} \frac{f(\boldsymbol{x}_0 + t\boldsymbol{u}) - f(\boldsymbol{x})}{t} \]
存在且有限，则称这个极限为函数\(f\)在\(\boldsymbol{x}_0\)处沿方向\(u\)的方向导数，记为\(\dfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{u}}(\boldsymbol{x}_0)\)。

定义1

设函数\(f\)在\(x_0\)处有直到\(n\)阶的导数，这里\(n\)是任意给定的正整数，令
\[ T_n(f,x_0;x) = f(x_0) + \frac{1}{1!}f^\prime(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(x_0)(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n \]
称它为\(f\)在\(x_0\)处的\(n\)次Taylor多项式。

描述

该题来自于力扣第19题

给你一个链表，删除链表的倒数第n个结点，并且返回链表的头结点。
进阶：你能尝试使用一趟扫描实现吗？