在区间\([a,b]\)上，记分割
\[ \pi : a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b \]
把\([a,b]\)分成\(n\)个小区间\([x_{i-1},x_i]\)，其长度为\(\Delta x_i = x_i - x_{i-1} (i=-1,2,\cdots,n)\)。并称\(\{x_0, x_1, \cdots,x_n\}\)为\(\pi\)的分点序列。令
\[ \Vert \pi \Vert = \max \limits_{1 \le i \le n} \{ \Delta x_i \} \]
称\(\Vert \pi \Vert\)为分割\(\pi\)的宽度。
已知区间\(D\)和函数\(f: D \to \mathbb{R}, F: D \to \mathbb{R}\)，如果两个函数满足关系
\[ F^\prime(x) = f(x) \]
则称\(F\)为\(f\)在\(D\)上的一个原函数。
设开集\(D \subset \mathbb{R}^n\)，函数\(f: D \to \mathbb{R}\)，点\(\boldsymbol{x}_0 \in D\)，如果存在一个去心球\(B_r(\boldsymbol{\check x}_0) \subset D\)，使得对任意的\(\boldsymbol{x} \in B_r(\boldsymbol{\check x}_0)\)，都有\(f(\boldsymbol{x}) \ge f(\boldsymbol{x}_0)(f(\boldsymbol{x}) > f(\boldsymbol{x}_0))\)，那么\(\boldsymbol{x}_0\)称为\(f\)的一个(严格)极小值点，\(f(\boldsymbol{x}_0)\)称为函数\(f\)的一个(严格)极小值。同样可以定义(严格)极大值点与(严格)极大值。极小值与极大值统称为极值。
设函数\(f\)在开集\(D\)上的每一点处存在偏导数：
\[ D_if(\boldsymbol{x}) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{x}) \quad (i=1,2,\cdots,n) \]
称它们为\(f\)的一阶偏导函数，如果对这些偏导函数又可以取偏导数，得出的就是\(f\)的二阶偏导函数，依次可以定义三阶偏导数以及更高阶的偏导数。对于二阶偏导数，将一阶偏导函数\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_j}\)再对\(x_i\)求偏导数，即\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_j}\right)\)记作\(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\)，这里\(i,j\)独立地从\(1\)变到\(n\)，如果\(i=j\)，那么把\(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_i}\)记作\(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}(i=1,2,\cdots,n)\)；如果\(i\ne j\)，这类二阶偏导数称为混合偏导数。
设开集\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^n\)，满足：
（a）\(\boldsymbol{f} \in C^1(D)\)；
（b）有\(\boldsymbol{x}_0 \in D\)，使得
\[ \det J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0) \ne 0 \]
记\(\boldsymbol{y}_0 = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)\)，那么存在\(\boldsymbol{x}_0\)的一个邻域\(U\)和\(\boldsymbol{y}_0\)的一个邻域\(V\)，使得
（1）\(\boldsymbol{f}(U) = V\)，且\(\boldsymbol{f}\)在\(U\)上是单射；
（2）记\(\boldsymbol{g}\)是\(\boldsymbol{f}\)在\(U\)上的逆映射，\(\boldsymbol{g} \in C^1(V)\)；
（3）当\(\boldsymbol{y} \in V\)时，
\[ J\boldsymbol{g}(\boldsymbol{y}) = (J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}))^{-1} \]
其中\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{g}(\boldsymbol{y})\)。
PyQt5是一个用来开发UI的python第三方库，UI不外乎显示控件，布局与交互，简单说就是确定UI需要展示哪些东西，这些东西如何排布在界面上以及操作这些东西的逻辑是什么。而PyQt5的控件与布局几乎都在QtWidgets这个类里面，至于交互就是后面所要讲的信号与槽。
数据库，顾名思义用来存放数据的地方，可以把数据库比作图书馆，图书馆里面有不同区域相当于不同的数据库（database），而每个区域又存放着不同的书籍，相当于每个database含有很多表（table），图中表现了这种关系。
设\(D \subset \mathbb{R}^2\)是一开集，\(F: D \to \mathbb{R}\)是一个含有两个自变量\(x,y\)的函数，对于\(D\)中的点\((x,y)\)满足方程
\[ F(x,y) = 0 \]
的点的全体组成\(D\)内的一条曲线，而方程就称为该曲线的隐式方程。
设开集\(D \subset
\mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol{f}: D \to
\mathbb{R}^m\)。记\(\boldsymbol{f}\)的分量依次为\(f_1,f_2,\cdots,f_m\)，可以把\(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\)写成
\[
\boldsymbol{f(x)} = \left(
\begin{matrix}
f_1(\boldsymbol{x}) \\
f_2(\boldsymbol{x}) \\
\vdots \\
f_m(\boldsymbol{x})
\end{matrix}
\right) \quad (\boldsymbol{x} \in D)
\]
设点\(\boldsymbol{x}_0 \in D, \boldsymbol{h}
\in \mathbb{R}^n\)。由于\(\boldsymbol{x}_0\)是\(D\)的内点，所以总可以找到充分小的\(\Vert \boldsymbol{h} \Vert\)使得\(\boldsymbol{x}_0 + \boldsymbol{h} \in
D\)。