尘雨尘风

描述

该题来自于力扣第八题

请你来实现一个atoi函数，使其能将字符串转换成整数。

定义1：自变量趋于\(+\infty\)的极限

若对\(\forall \varepsilon>0, \exists A > 0\)，使得当\(x > A\)时，有\(|f(x) - l| < \varepsilon\)，此时称在正无穷处函数有极限\(l\)，记为
\[ f(+\infty) = \lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = l \]
或简单记作
\[ f(x) \to l (x \to +\infty) \]

描述

该题来自于力扣第五题

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。

定义1：函数在某点处极限

设函数\(f\)在点\(x_0\)的近旁有定义，但\(x_0\)这一点自身可以是例外，设\(l\)是一个实数，如果对\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta>0\)，使得对一切满足等式\(0 < |x-x_0| < \delta\)都有
\[ |f(x) - l| < \varepsilon \]
则称当\(x\)趋于点\(x_0\)时函数\(f\)有极限\(l\)，记作
\[ \lim \limits_{x \to x_0} f(x) = l \]
也可以记作
\[ f(x) \to l (x \to x_0) \]

描述

该题来自于力扣第四题

给定两个大小为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的中位数。
进阶：你能设计一个时间复杂度为 O(log(m+n)) 的算法解决此问题吗？

定义1：列紧集

设\(E \subset \mathbb{R^n}\)，如果\(E\)中的任一点列都有一个子列收敛于\(E\)中的一个点，则称\(E\)是\(\mathbb{R^n}\)中的一个列紧集。

定理1

\(\mathbb{R^n}\)中的集合\(E\)为列紧集的充分必要条件是\(E\)是有界闭集。

描述

该题来自于力扣第一题

给定一个整数数组nums和一个目标值target，请你在该数组中找出和为目标值的那两个整数，并返回他们的数组下标。
你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是，数组中同一个元素不能使用两遍。

本章的内容为接下来的函数极限做铺垫。欧几里得空间\(\mathbb{R^n}\)中关于点\(\boldsymbol{a}\)的邻域两个常用到的概念为
\[ \begin{aligned} & B_r(\boldsymbol{a}) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R^n} : \Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \Vert < r \} \\ & B_r(\boldsymbol{\check a}) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R^n} : 0 < \Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \Vert < r \} \end{aligned} \]
其中\(B_r(\boldsymbol{a})\)称为以\(\boldsymbol{a}\)为球心，\(r>0\)为半径的球，而\(B_r(\boldsymbol{\check a})\)称为相应的空心球。

本篇主要讲多维空间中点列的极限，下面的讨论都会基于\(n\)维欧式空间，通常用\(\mathbb{R^n}\)表示；以下内容的前提是已知\(n\)维Euclid空间以及各种名词的概念，比如向量，范数，内积等等，如有不理解的概念，建议查看高等代数中关于度量空间的内容。

对于任意给定的数列\(\{a_n\}\)，如果\(\{a_n\}\)有界，由列紧性可知，必然存在收敛子列，如果\(\{a_n\}\)无解，则总可以找到一个子列趋向于\(-\infty\)或\(+\infty\)。我们把数列\(\{a_n\}\)的收敛子列的极限称为\(\{a_n\}\)的一个极限点，若还有趋于\(-\infty\)或\(+\infty\)的子列，也将\(-\infty\)或\(+\infty\)称为\(\{a_n\}\)的一个极限点。