设函数\(f\)在点\(x_0\)的近旁有定义，但\(x_0\)这一点自身可以是例外，设\(l\)是一个实数，如果对\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta>0\)，使得对一切满足等式\(0 < |x-x_0| < \delta\)都有
\[ |f(x) - l| < \varepsilon \]
则称当\(x\)趋于点\(x_0\)时函数\(f\)有极限\(l\)，记作
\[ \lim \limits_{x \to x_0} f(x) = l \]
也可以记作
\[ f(x) \to l (x \to x_0) \]
设\(E \subset \mathbb{R^n}\)，如果\(E\)中的任一点列都有一个子列收敛于\(E\)中的一个点，则称\(E\)是\(\mathbb{R^n}\)中的一个列紧集。
\(\mathbb{R^n}\)中的集合\(E\)为列紧集的充分必要条件是\(E\)是有界闭集。
本章的内容为接下来的函数极限做铺垫。欧几里得空间\(\mathbb{R^n}\)中关于点\(\boldsymbol{a}\)的邻域两个常用到的概念为
\[
\begin{aligned}
& B_r(\boldsymbol{a}) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R^n} :
\Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \Vert < r \} \\
& B_r(\boldsymbol{\check a}) = \{ \boldsymbol{x} \in
\mathbb{R^n} : 0 < \Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \Vert < r
\}
\end{aligned}
\]
其中\(B_r(\boldsymbol{a})\)称为以\(\boldsymbol{a}\)为球心，\(r>0\)为半径的球，而\(B_r(\boldsymbol{\check
a})\)称为相应的空心球。
本篇主要讲多维空间中点列的极限，下面的讨论都会基于\(n\)维欧式空间，通常用\(\mathbb{R^n}\)表示；以下内容的前提是已知\(n\)维Euclid空间以及各种名词的概念，比如向量，范数，内积等等，如有不理解的概念，建议查看高等代数中关于度量空间的内容。
对于任意给定的数列\(\{a_n\}\)，如果\(\{a_n\}\)有界，由列紧性可知，必然存在收敛子列，如果\(\{a_n\}\)无解，则总可以找到一个子列趋向于\(-\infty\)或\(+\infty\)。我们把数列\(\{a_n\}\)的收敛子列的极限称为\(\{a_n\}\)的一个极限点，若还有趋于\(-\infty\)或\(+\infty\)的子列，也将\(-\infty\)或\(+\infty\)称为\(\{a_n\}\)的一个极限点。
在点列极限一的定理7证明了单调有界的数列必收敛，此命题是实数连续性的表现之一，本篇将会说明实数连续性的6个等价命题，即这6个命题可以互相推出，而单调有界的数列必收敛命题前面已经证明，所以只需要在这6个命题中做循环论证即可。本篇将会首先列出这6个命题的描述，然后证明其相互等价。
在\(\mathbb{R}\)上，设\(\{a_n\}\)是一个数列，\(a \in \mathbb{R}\)，若\(\forall \varepsilon>0\)，\(\exists N(\varepsilon)\in \mathbb{N^+}\)，使得\(\forall n>N(\varepsilon)\)，有\(|a_n-a|<\varepsilon\)，则称\(\{a_n\}\)当\(n\)趋于无穷大时以\(a\)为极限，记为
\[ \lim_{n\to \infty} a_n = a \]
或
\[ a_n \to a \quad (n \to \infty) \]
也称数列\(\{a_n\}\)收敛于\(a\)； 存在极限的数列称为收敛数列，否则称为发散数列。