定义1：变上限积分
设\(f\)在\([a,b]\)上可积，从而对任何\(x \in [a,b]\)，\(f\)在\([a,x]\)上也可积，因此定义函数
\[ F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d} t \]
其中\(x\)可在\([a,b]\)上变化，称\(F(x)\)为上限变动的积分。
函数积分五：可积函数的性质
定理1：积分的可加性
设\(c \in (a,b)\)，函数\(f\)在\([a,c],[c,b]\)上可积，那么\(f\)在\([a,b]\)上也可积，且
\[ \int_a^b f(x) \mathrm{d} x = \int_a^c f(x) \mathrm{d} x + \int_c^b f(x) \mathrm{d} x \]
函数积分四：Lebesgue定理
定义1：零测度集
设\(A\)为实数的集合，如果对任意给定的\(\varepsilon > 0\)， 存在至多可数个开区间\(\{I_n: n \in \mathbb{N}^*\}\)组成\(A\)的一个开覆盖，并且\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |I_n| \le \varepsilon\)(\(|I_n|\)表示开区间\(I_n\)的长度)，那么称\(A\)是零测度集，简称零测集。
函数积分三：可积性理论
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函数积分二：Riemann积分
定义1：分割
在区间\([a,b]\)上，记分割
\[ \pi : a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b \]
把\([a,b]\)分成\(n\)个小区间\([x_{i-1},x_i]\)，其长度为\(\Delta x_i = x_i - x_{i-1} (i=-1,2,\cdots,n)\)。并称\(\{x_0, x_1, \cdots,x_n\}\)为\(\pi\)的分点序列。令
\[ \Vert \pi \Vert = \max \limits_{1 \le i \le n} \{ \Delta x_i \} \]
称\(\Vert \pi \Vert\)为分割\(\pi\)的宽度。
函数积分一：原函数
定义1：原函数
已知区间\(D\)和函数\(f: D \to \mathbb{R}, F: D \to \mathbb{R}\)，如果两个函数满足关系
\[ F^\prime(x) = f(x) \]
则称\(F\)为\(f\)在\(D\)上的一个原函数。
函数导数十三：极值
定义1
设开集\(D \subset \mathbb{R}^n\)，函数\(f: D \to \mathbb{R}\)，点\(\boldsymbol{x}_0 \in D\)，如果存在一个去心球\(B_r(\boldsymbol{\check x}_0) \subset D\)，使得对任意的\(\boldsymbol{x} \in B_r(\boldsymbol{\check x}_0)\)，都有\(f(\boldsymbol{x}) \ge f(\boldsymbol{x}_0)(f(\boldsymbol{x}) > f(\boldsymbol{x}_0))\)，那么\(\boldsymbol{x}_0\)称为\(f\)的一个(严格)极小值点，\(f(\boldsymbol{x}_0)\)称为函数\(f\)的一个(严格)极小值。同样可以定义(严格)极大值点与(严格)极大值。极小值与极大值统称为极值。