尘雨尘风

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Bar柱状图

死有感

深秋叶落谢花飞，几许忧愁几许悲；
好雨清风终散去，夕阳皓月暂轮回。
焉无万紫争奇艳，更有千红斗正魁；
待到新春初霁后，凭风会自百花归。

生有感

魄净七重日，魂安一处沙；
平生趋富贵，暮世系荣华。
善水出坚木，春泥育毅花；
文章传万载，绿叶蔓青崖。

定理1

设\(\mathbb{R}^2\)上的曲线\(\Gamma\)由极坐标方程
\[ r = r(\theta) \quad (\boldsymbol{\alpha} \le \theta \le \boldsymbol{\beta}) \]
表示，从而由此曲线和射线
\[ \theta = \alpha, \quad \theta = \beta \]
围城的区域的面积\(S\)为
\[ S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 (\theta) \mathrm{d}(\theta) \]

定义1

设空间曲线段\(\Gamma\)有参数方程
\[ \left\{ \begin{aligned} & x = x(t), \\ & y = y(t), \\ & z = z(t), \end{aligned} \right. \quad (\alpha \le t \le \beta) \]
或用向量形式表示为
\[ \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t) \quad (\alpha \le t \le \beta) \]
其中\(x(t),y(t),z(t)\)都在区间\(I = [\alpha, \beta]\)上连续可导，且满足条件
\[ (x^\prime(t))^2 + (y^\prime(t))^2 + (z^\prime(t))^2 \ne 0 \quad (\alpha \le t \le \beta) \]
称满足这些条件的曲线为光滑曲线。

定义1

定义\(f: I \to \mathbb{R}\)，其中\(I\)是\(\mathbb{R}^n\)中的一个闭长方体，即\(I = I_1 \times I_2 \times \cdots I_n\)，其中\(i_i=[a_i, b_i] (i=1,2,\cdots,n)\)是\(\mathbb{R}\)中的有界闭区间。\(I\)的\(n\)维体积定义为
\[ \mu(I) = \prod_{i=1}^n (b_i - a_i) \]
用平行于各个坐标平面的\(n\)组超平面对\(I\)进行划分，得到有限多个小的子长方体，不妨设为\(k\)个，这称为\(I\)的一个分割\(\pi\)，这时可以定义Riemann和
\[ \sum_{i=1}^k f(\boldsymbol{\xi_i}) \mu(I_i) \]
其中\(\boldsymbol{\xi_i} \in I_i\)，\(\mu(I_i)\)表示子长方体\(I_i\)的体积。

定义1

定义\(f: I \to \mathbb{R}\)，其中\(I\)是\(\mathbb{R}^3\)中的一个有限长方体，即\(I = I_1 \times I_2 \times I_3\)，其中\(i_i=[a_i, b_i] (i=1,2,3)\)是\(\mathbb{R}\)中的有界闭区间。长方体\(I\)的体积定义为
\[ \mu(I) = (b_1 - a_1)(b_2 - a_2)(b_3 - a_3) \]
用平行于三个坐标平面的三组平面对\(I\)进行划分，得到有限多个小的长方体，不妨设为\(k\)个，这称为\(I\)的一个分割\(\pi\)，这时可以定义Riemann和
\[ \sum_{i=1}^k f(\boldsymbol{\xi_i}) \mu(I_i) \]
其中\(\boldsymbol{\xi_i} \in I_i\)，\(\mu(I_i)\)表示子长方体\(I_i\)的体积。

定理1

如果\(f\)在\(I = [a,b] \times [c,d]\)上可积，那么单变量函数\(\displaystyle \varphi(x) = \underline \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y\)和\(\displaystyle \psi(x) = \overline \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y\)在区间\([a,b]\)上可积，且
\[ \int_I f \mathrm{d} \sigma = \int_a^b \varphi(x) \mathrm{d} x = \int_a^b \psi(x) \mathrm{d} x \]

描述

该题来自于力扣第25题

给你一个链表，每 k 个节点一组进行翻转，请你返回翻转后的链表。
k 是一个正整数，它的值小于或等于链表的长度。
如果节点总数不是 k 的整数倍，那么请将最后剩余的节点保持原有顺序。

进阶：
你可以设计一个只使用常数额外空间的算法来解决此问题吗？
你不能只是单纯的改变节点内部的值，而是需要实际进行节点交换。

定义1

设\(B \subset \mathbb{R}^2\)是有界集，函数\(f: B \to \mathbb{R}\)，令
\[ f_B(\boldsymbol{p}) = \left\{ \begin{aligned} & f(\boldsymbol{p}), & \boldsymbol{p} \in B \\ & 0, & \boldsymbol{p} \in B^c \end{aligned} \right. \]
则函数\(f_B\)在全平面\(\mathbb{R}^2\)上有定义，如果限制在集合\(B\)上，\(f_B\)与\(f\)相等。