设\(\mathbb{R}^2\)上的曲线\(\Gamma\)由极坐标方程
\[ r = r(\theta) \quad (\boldsymbol{\alpha} \le \theta \le \boldsymbol{\beta}) \]
表示，从而由此曲线和射线
\[ \theta = \alpha, \quad \theta = \beta \]
围城的区域的面积\(S\)为
\[ S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 (\theta) \mathrm{d}(\theta) \]
设空间曲线段\(\Gamma\)有参数方程
\[ \left\{ \begin{aligned} & x = x(t), \\ & y = y(t), \\ & z = z(t), \end{aligned} \right. \quad (\alpha \le t \le \beta) \]
或用向量形式表示为
\[ \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t) \quad (\alpha \le t \le \beta) \]
其中\(x(t),y(t),z(t)\)都在区间\(I = [\alpha, \beta]\)上连续可导，且满足条件
\[ (x^\prime(t))^2 + (y^\prime(t))^2 + (z^\prime(t))^2 \ne 0 \quad (\alpha \le t \le \beta) \]
称满足这些条件的曲线为光滑曲线。
定义\(f: I \to \mathbb{R}\)，其中\(I\)是\(\mathbb{R}^n\)中的一个闭长方体，即\(I = I_1 \times I_2 \times \cdots I_n\)，其中\(i_i=[a_i, b_i] (i=1,2,\cdots,n)\)是\(\mathbb{R}\)中的有界闭区间。\(I\)的\(n\)维体积定义为
\[ \mu(I) = \prod_{i=1}^n (b_i - a_i) \]
用平行于各个坐标平面的\(n\)组超平面对\(I\)进行划分，得到有限多个小的子长方体，不妨设为\(k\)个，这称为\(I\)的一个分割\(\pi\)，这时可以定义Riemann和
\[ \sum_{i=1}^k f(\boldsymbol{\xi_i}) \mu(I_i) \]
其中\(\boldsymbol{\xi_i} \in I_i\)，\(\mu(I_i)\)表示子长方体\(I_i\)的体积。
定义\(f: I \to \mathbb{R}\)，其中\(I\)是\(\mathbb{R}^3\)中的一个有限长方体，即\(I = I_1 \times I_2 \times I_3\)，其中\(i_i=[a_i, b_i] (i=1,2,3)\)是\(\mathbb{R}\)中的有界闭区间。长方体\(I\)的体积定义为
\[ \mu(I) = (b_1 - a_1)(b_2 - a_2)(b_3 - a_3) \]
用平行于三个坐标平面的三组平面对\(I\)进行划分，得到有限多个小的长方体，不妨设为\(k\)个，这称为\(I\)的一个分割\(\pi\)，这时可以定义Riemann和
\[ \sum_{i=1}^k f(\boldsymbol{\xi_i}) \mu(I_i) \]
其中\(\boldsymbol{\xi_i} \in I_i\)，\(\mu(I_i)\)表示子长方体\(I_i\)的体积。
如果\(f\)在\(I = [a,b] \times [c,d]\)上可积，那么单变量函数\(\displaystyle \varphi(x) = \underline \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y\)和\(\displaystyle \psi(x) = \overline \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y\)在区间\([a,b]\)上可积，且
\[ \int_I f \mathrm{d} \sigma = \int_a^b \varphi(x) \mathrm{d} x = \int_a^b \psi(x) \mathrm{d} x \]
设\(B \subset \mathbb{R}^2\)是有界集，函数\(f: B \to \mathbb{R}\)，令
\[ f_B(\boldsymbol{p}) = \left\{ \begin{aligned} & f(\boldsymbol{p}), & \boldsymbol{p} \in B \\ & 0, & \boldsymbol{p} \in B^c \end{aligned} \right. \]
则函数\(f_B\)在全平面\(\mathbb{R}^2\)上有定义，如果限制在集合\(B\)上，\(f_B\)与\(f\)相等。
设\(B \subset \mathbb{R}^2\)，如果对任意给定的\(\varepsilon > 0\)，存在可数个闭矩形序列\(\{I_i\}(i=1,2,\cdots)\)，使得
\[ B \subset \bigcup \limits_{i=1}^\infty I_i, \qquad \sum_{i=1}^\infty \sigma(I_i) < \varepsilon \]
则称\(B\)为(二维)零测集。定义中的闭矩形可以换成开矩形。
定义\(f: I \to \mathbb{R}\)， 其中\(I\)是\(\mathbb{R}^2\)中的闭矩形，\(I = [a,b] \times [c, d]\)，作\([a,b]\)的分割
\[ \pi_x : a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b; \]
又作\([c,d]\)的分割
\[ \pi_y : c = y_0 < y_1 < \cdots < y_n = d; \]
两族平行直线\(x = x_i(i=0,1,\cdots,n)\)与\(y=y_j(j=0,1,\cdots,m)\)把\(I\)分割成\(k= n \times m\)个子矩形：
\[ [x_{i-1}, x_i] \times [y_{j-1}, y_j] \quad (i=1,2,\cdots,n; j=1,2,\cdots,m) \]
这\(k\)个子矩形的全体组成\(I\)的一个分割\(\pi = \pi_x \times \pi_y\)，用一定次序重排这\(k\)个子矩形，将它们编号为\(I_1,I_2,\cdots, I_k\)，在每一个\(I_i\)中任取一点\(\xi_i (i=1,2,\cdots,k)\)，作积分和
\[ \sum_{i=1}^k f(\xi_i) \sigma(I_i) \tag{1} \]
其中\(\sigma(I_i)\)表示\(I_i\)区域的面积。记
\[ \Vert \pi \Vert = \max(\mathrm{diam}(I_1), \mathrm{diam}(I_2), \cdots, \mathrm{diam}(I_k)) \]
这里\(\mathrm{diam}(I_i)\)表示矩形\(I_i\)的对角线的长度，称\(\Vert \pi \Vert\)为分割\(\pi\)的宽度。令\(\boldsymbol{\xi} = (\boldsymbol{\xi_1}, \boldsymbol{\xi_2}, \cdots, \boldsymbol{\xi_k})\)，称\(\boldsymbol{\xi}\)为积分和\((1)\)的值点向量，称\(\boldsymbol{\xi_1}, \boldsymbol{\xi_2},\cdots, \boldsymbol{\xi_k}\)为值点。