$601. $ 对于实数\(a \in \mathbb{R}\)，试探究函数\(f(x) = x|x-2a|+3\)是否是区间\([1,2]\)上的有界函数？如果是？求出上界减去下界的值。
$602. $ 设\(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5\)是空间找那个给定的\(5\)个不同的点，则使\(\overrightarrow{MA_1} + \overrightarrow{MA_2} + \cdots + \overrightarrow{MA_5} = \vec 0\)成立的点\(M\)的个数为？
$603. $ 设直线\(l\)与球\(O\)有且仅有一个公共点\(P\)，从直线\(l\)出发的两个半平面\(\alpha, \beta\)截球\(O\)的两个截面圆分别为\(1\)和\(\sqrt 3\)，两个半平面\(\alpha, \beta\)的夹角为\(\dfrac{5\pi}{6}\)，则球\(O\)的表面积为？
$604. $ 已知\(P\)是椭圆\(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16}=1\)上异于长轴端点的点，\(F_1,F_2\)是椭圆的焦点，\(I\)是\(\triangle PF_1F_2\)的内心，\(PI\)的延长线交\(F_1F_2\)于点\(B\)，则\(|PI|:|IB|=\)？
$605. $ 已知抛物线\(y^2 = 2px\)，过顶点的两弦\(OA\)和\(OB\)互相垂直，求以\(OA,OB\)为直径的两圆的另一交点\(Q\)的轨迹方程。
$606. $ 设抛物线\(y^2 = 2px\)的焦点为\(F\)，经过点\(F\)的直线交抛物线于\(A,B\)两点，\(M\)是抛物线准线上一点，\(O\)是坐标原点，记直线\(MA,MF,MB\)的斜率分别为\(k_{MA},k_{MF},k_{MB}\)，当\(k_{MF}=2\)时，求证\(k_{MA} + k_{MB}\)为定值。
$607. $ 若\(\cos (A-B) \cos (B-C) \cos (C-A) = 1\)，求证\(\triangle ABC\)为等边三角形。
$608. $ 在\(\triangle ABC\)中，若\(a,b,c\)三边成等差数列，则\(\cos A + 2\cos B + \cos C\)的值为多少？
$609. $ 某校对文明班的评选设计了\(a,b,c,d,e\)五个方面的多元评价指标，并通过经验公式\(\displaystyle S = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{1}{e}\)来计算各班的综合得分，\(S\)的值越高评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显出\(0 < c < d < e < b < a\)，则下阶段要把其中一个指标的值增加\(1\)个单位，而使\(S\)的值增加，那么该指标应该是？
$610. $ 在\(\triangle
ABC\)中，已知\(A(0,1),
B(0,-1)\)，\(AC\)与\(BC\)所在的直线分别与\(x\)轴交于\(E,F\)两点，且\(\overrightarrow{OE} \cdot \overrightarrow{OF} =
4\)；
（1）求点\(C\)的轨迹方程；
（2）若\(\overrightarrow{BC} = -8
\overrightarrow{CF}\)，
（\(\mathrm{i}\)）试确定\(F\)的坐标；
（\(\mathrm{ii}\)）设\(P\)是点\(C\)的轨迹上动点，\(\triangle PBF\)的周长最大时，求\(P\)的坐标。
$611. $ 平面向量的集合\(A\)的映射\(f\)由\(f(\vec x) = \vec x - 2(\vec x \cdot \vec a) \vec a\)确定，其中\(\vec a\)为常向量，若映射满足\(f(\vec x)f(\vec y) = \vec x \cdot \vec y\)对\(\vec y \in A\)恒成立，则\(\vec a\)的坐标应满足的条件是？
$612. $ 正三角形\(ABC\)的中线\(AF\)与中位线\(DE\)相交于点\(G\)，已知\(\triangle A^\prime ED\)是\(\triangle AED\)绕\(DE\)旋转过程中的一个图形，先给出下列四个命题，其中正确的是？
（1）动点\(A^\prime\)在平面\(ABC\)内的射影在线段\(AF\)上；
（2）恒有平面\(A^\prime GF
\perp\)平面\(BCDE\)；
（3）三棱锥\(A^\prime-FED\)的体积有最大值；
（4）异面直线\(A^\prime E\)与\(BD\)不可能垂直。
$613. $
现有甲，乙，丙，丁四名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（即第一次传球是由甲传向乙或丙或丁），记第\(n\)次球传回甲的不同传球方式种树为\(a_n\)；
（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；
（2）证明当\(n \ge 2\)时，\(\displaystyle \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} +
\cdots + \frac{1}{a_n} < \frac{2}{3}\)。
$614. $ 已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = \dfrac{1}{4}\)，\(a_n = \dfrac{a_{n-1}}{(-1)^na_{n-1} - 2} (n \ge 2, n \in \mathbb{N})\)，设\(c_n = a_n \sin (\dfrac{2n-1}{2}\pi)\)，数列\(\{c_n\}\)的前\(n\)项和为\(T_n\)，求证\(T_n < \dfrac{4}{7}\)。
$615. $ 对任意的实数\(a\)，若函数\(y = ax^2 + ax + 1\)的图像都不经过点\(P\)，则点\(P\)的轨迹是？
$616. $ 已知抛物线方程\(y^2 =
4x\)，过点\(Q(2,0)\)作直线\(l\)；
（1）若\(l\)与\(x\)轴不垂直，交抛物线于\(A,B\)两点，是否存在\(x\)轴上一定点\(E(m,0)\)使得\(\angle AEQ = \angle BEQ\)？
（2）若\(l\)与\(x\)轴垂直，抛物线的任一切线与\(y\)轴和\(l\)分别交于\(M,N\)两点，则点\(M\)到以\(QN\)为直径的圆的切线长\(|MT|\)为定值，试证之。
$617. $ 已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)满足\(S_1 =
-1, S_{n+1} + 2S_n = -1\)，数列\(\{b_n\}\)的通项公式为\(b_n = 3n - 4 (n \in \mathbb{N^+})\)；
（1）试比较\(a_n\)与\(b_n\)的大小；
（2）某圆的圆心\(C\)在\(x\)轴上，问点列\(\{A_n(b_n,a_n): A_1(b_1,a_1), A_2(b_2,a_2),
\cdots, A_n(b_n,a_n),\cdots\}\)是否至少存在三点落在圆\(C\)上？
$618. $ 在平面直角坐标系中，点集\(A=\{(x,y) \mid x^2 + y^2 \le 1\}, B = \{(x,y) \mid x \le 4, y \ge 0, 3x-4y \ge 0\}\)，则点集\(Q=\{(x,y) \mid x = x_1 + x_2, y = y_1+y_2, (x_1,y_1) \in A, (x_2, y_2) \in B\}\)所表示的区域的面积为？
$619. $ 已知函数\(f(x) = x - \sin x\)，若\(x,\theta \in [k\pi, (k+1)\pi], k \in \mathbb{Z}\)，试比较\(\dfrac{2f(\theta)+f(x)}{3}\)与\(f(\dfrac{2\theta + x}{3})\)的大小关系。
$620. $ 三角形\(ABC\)中，\(A = 60^\circ\)，求\(t = \dfrac{\sin B + \cos C}{\cos B + \sin C}\)的取值范围。
$621. $ 已知数列\(\{a_n\}\)是一个公差不为零的等差数列，\(a_5 = 6\)，若存在自然数\(n_1,n_2,\cdots,n_t,\cdots\)满足\(5 < n_1 < n_2 < \cdots < n_t < \cdots\)且\(a_3,a_5,a_{n_1},a_{n_2},\cdots,a_{n_t},\cdots\)构成一个等比数列，求证当\(a_3\)是整数时，\(a_3\)必为\(12\)的正约数。
$622. $ 若数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{n+1}a_n + 3a_{n+1} + a_n + 4 = 0\)且\(a_{2009}\)为数列\(\{a_n\}\)中的最小项，求\(a_1\)的取值范围。
$623. $ 集合\(A = \{x \mid x = 3n + 1, n
\in \mathbb{Z}\}, B = \{x | x = 3n + 2, n \in \mathbb{Z}\}, C = \{ x
\mid 6n + 3, n \in \mathbb{Z} \}\)；
（1）若\(c \in C\)，求证：必存在\(a \in A, b \in B\)，使得\(c = a + b\)；
（2）对任意\(a \in A, b \in
B\)，是否一定有\(a + b \in
c\)。
$624. $ \(A = \{ x \mid x = 2k-1, k \in \mathbb{Z} \}, B = \{ x \mid x = 4k \pm 1, k \in \mathbb{Z} \}\)，试证\(A=B\)。
$625. $ 已知\(y = f(x)\)是定义在\(\mathbb{R}\)上的单调函数，实数\(x_1 \ne x_2, \lambda \ne 1, \alpha = \dfrac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \beta = \dfrac{x_2 + \lambda x_1}{1 + \lambda}\)，若\(|f(x_1) - f(x_2)| < |f(\alpha) - f(\beta)|\)，则\(\lambda\)的取值范围是？
$626. $ 关于\(x\)的方程\((x^2-1)^2 - |x^2 - 1| + k =
0\)，给出下列四个命题：
（1）存在实数\(k\)，使得方程恰有\(2\)个不同的实根；
（2）存在实数\(k\)，使得方程恰有\(4\)个不同的实根；
（3）存在实数\(k\)，使得方程恰有\(5\)个不同的实根；
（4）存在实数\(k\)，使得方程恰有\(8\)个不同的实根；
其中真命题为？
$627. $ 已知\(x,y \in \mathbb{R}, 3^x + 3^y > 3^{-x} + 3^{-y}\)，判断\(x+y\)的符号。
$628. $ 已知\(a,b,c,m\)都是实数，且\(a^m = b^m + c^m\)，长度分别为\(a,b,c\)的三线段能构成三角形，求\(m\)的取值范围。
$629. $ 若函数\(f(x) = \dfrac{m + 6x - x^2}{x^2 + 2x + 1}\)的最大值为\(\dfrac{1}{3}\)，则$m = $？
$630. $ 已知\(\alpha,
\beta\)是方程\(4x^2 - 4tx - 1 = 0(t \in
\mathbb{R})\)的两个不等实根，函数\(f(x)
= \dfrac{2x - t}{x^2 + 1}\)的定义域为\([\alpha, \beta]\)；
（1）求\(g(t) = \max f(x) - \min
f(x)\)；
（2）证明：对于\(\mu_i \in (0, \dfrac{\pi}{2})
(i=1,2,3)\)，若\(\sin \mu_1 + \sin
\mu_2 + \sin \mu_3 = 1\)，则\(\displaystyle \frac{1}{g(\tan \mu_1)} +
\frac{1}{g(\tan \mu_2)} + \frac{1}{g(\tan \mu_3)} < \frac{3}{4}\sqrt
6\)。
$631. $ 设\(S = \{ (x,y) \mid x^2 - y^2 =
\text{奇数}, x, y \in \mathbb{R} \}, T = \{ (x,y) \mid \sin(2\pi x^2) -
\sin (2\pi y^2) = \cos (2\pi x^2) - \cos (2\pi y^2), x, y \in \mathbb{R}
\}\)，则有
（1）\(S \subset T\)；
（2）\(T \subset S\)；
（3）\(S = T\)；
（4）\(S \cap T = \varnothing\)。
$632. $ 若函数\(y = 4^x - 3x2^x + 3\)的值域为\([1,7]\)，则\(x\)的取值范围是？
$633. $ 集合\(M = \{ \mu \mid \mu = 12m + 8n+ 4l, m, n, l \in \mathbb{Z} \}, N = \{ \mu \mid \mu = 20p+16q + 12r, p,q,r \in \mathbb{Z} \}\)，则\(M\)与\(N\)的关系是？
$634. $ 设二次函数\(f(x) = ax^2 + bx + c (a
> 0)\)，方程\(f(x) - x =
0\)的两个根\(x_1,x_2\)满足\(0 < x_1 < x_2 <
\dfrac{1}{a}\)；
（1）当\(x \in (0, x_1)\)时，证明\(x < f(x) < x_1\)；
（2）设函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x = x_0\)对称，证明\(x_0 < \dfrac{x_1}{2}\)。
$635. $ 设二次函数\(f(x) = ax^2 + bx + c (a
\ne 0)\)满足条件：
（\(\mathrm{i}\)）\(f(x - 4) = f(2-x)\)且\(f(x) \ge x\)；
（\(\mathrm{ii}\)）当\(x \in (0,2)\)时，\(f(x) \le (\dfrac{x+1}{2})^2\)；
（\(\mathrm{iii}\)）\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上的最小值为\(0\)；
（1）求\(f(x)\)的表达式；
（2）求最大的\(m (m >
1)\)使得存在\(t \in
\mathbb{R}\)，只要\(x \in [1,
m]\)，就有\(f(x+t) \le
x\)恒成立。
$636. $ 已知\(f(x) = ax^2 + 2bx +
4c\)；
（1）当\(b = 4, c =
\dfrac{3}{4}\)时，对于给定的负数\(a\)，有一个最大正数\(M(a)\)，使得\(x
\in [0, M(a)]\)时都有\(|f(x)| \le
5\)，问\(a\)为何值时，\(M(a)\)最大，并求出这个最大值\(M(a)\)？
（2）若\(f(x)\)同时满足下列条件：（\(\mathrm{i}\)）\(a>0\)，(\(\mathrm{ii}\)）当\(|x| \le 2\)时，\(|f(x)| \le 2\)，（\(\mathrm{iii}\)）当\(|x| \le 1\)时，\(f(x)\)的最大值为\(2\)，求\(f(x)\)的解析式。
$637. $ 设函数\(f(x) = a^x + 3a(a>0,a
\ne 1)\)的反函数\(y =
f^{-1}(x)\)，已知函数\(y =
g(x)\)的图像与函数\(y =
f^{-1}(x)\)的图像关于点\((a,0)\)对称；
（1）求\(y = g(x)\)的解析式；
（2）是否存在实数\(a\)，使得\(x \in [a+2, a+3]\)时，恒有\(|f^{-1}(x) - g(-x)| \le
1\)成立？若存在，求出\(a\)的取值范围；若不存在，请说明理由；
$638. $ 已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)满足\(S_n =
2a_n + (-1)^n, (n \ge 1)\)；
（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；
（2）证明：对任意的整数\(m \ge
4\)，都有
\[
\frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_5} + \cdots + \frac{1}{a_m} <
\frac{7}{8}
\]
$639. $ 数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 1, a_{n+1} = (1 + \dfrac{1}{n^2 + n})a_n + \dfrac{1}{2^n} (n \ge 1)\)；证明：\(2 \le a_n \le e^2 (n \ge 2)\)。
$640. $ 已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = a, a_{n+1} = 1 +
\dfrac{1}{a_n}\)，当\(a=1\)时，得到无穷数列\(1,2,\dfrac{3}{2},\cdots\)，当\(a = -\dfrac{1}{2}\)时，得到有穷数列\(-\dfrac{1}{2},-1,0\)；
（1）设数列\(\{b_n\}\)满足\(b_1 = -1, b_{n+1} = \dfrac{1}{b_n - 1} (n \in
\mathbb{N^+})\)，求证：\(a\)取数列的\(\{b_n\}\)中的任一个数，都可以得到一个有穷数列；
（2）若\(\dfrac{3}{2} < a_n < 2 (n \ge
4)\)，求\(a\)的取值范围。
$641. $ 删除正整数数列\(1,2,3,\cdots\)中的所有完全平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第\(2003\)项是？
$642. $ 如图所示，有一列曲线\(P_0,P_1,P_2,\cdots\)，已知\(P_0\)所围成的图形是面积为\(1\)的等边三角形，\(P_{k+1}\)是\(P_k\)进行如下操作得到：将\(P_k\)的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（\(k = 0,1,2,\ldots\)），记\(S_n\)为曲线\(P_n\)所围成图形的面积，求\(\lim \limits_{n \to \infty} S_n\)。
$643. $ 设\(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),\cdots,P_n(x_n,y_n) (n
\ge 3, n \in \mathbb{Z})\)是二次曲线\(C\)上的点，且\(a_1 = |OP_1|^2,a_2 = |OP_2|^2, \cdots, a_n =
|OP_n|^2\)构成一个公差为\(d(d\ne
0)\)的等差数列，其中\(O\)为坐标原点，记\(S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n\)；
（1）若\(C\)的方程为\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =
1 (a > b> 0)\)，点\(P_1(a,0)\)，对于任意给定的自然数\(n\)，当公差\(d\)变化时，求\(S_n\)的最小值；
（2）请选定一条除椭圆外的二次曲线\(C\)及\(C\)上一点\(P\)，对于给定的自然数\(n\)，写出符合条件的点\(P_1,P_2,\cdots,P_n\)存在的充要条件，并说明理由。
$644. $ 求证\(\displaystyle \tan^2 x + \cot^2 x = \frac{2(3 + \cos 4x)}{1 - \cos 4x}\)。
$645. $ 已知\(\alpha, \beta\)为锐角，且满足\(3 \sin^2 \alpha + 2 \sin^2\beta = 1, 3 \sin 2\alpha - 2 \sin 2\beta = 0\)，求证\(\alpha + 2\beta = \dfrac{\pi}{2}\)。
$646. $ 在三角形\(ABC\)中，\(\sin A = \dfrac{\sin B + \sin C}{\cos B + \cos C}\)，试判断三角形\(ABC\)的形状。
$647. $ 已知\(f(x) = (\dfrac{\cos \alpha}{\sin \beta})^x + (\dfrac{\cos \beta}{\sin \alpha})^x (x > 0)\)，其中\(\alpha, \beta \in (0, \dfrac{\pi}{2})\)，求证\(f(x) < 2\)的充要条件是\(\alpha + \beta > \dfrac{\pi}{2}\)。
$648. $ 设函数\(f(x) = x\sin
x\)；
（1）设\(x_0\)是\(f(x)\)的一个极值点，证明\([f(x_0)]^2 = \dfrac{x_0^4}{1 +
x_0^2}\)；
（2）设\(f(x)\)在\((0,
+\infty)\)的全部极值点按从小到大的顺序为\(a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots\)，证明\(\dfrac{\pi}{2} < a_{n+1} - a_n <
\pi\)。
$649. $ 设\(A = \{ x \mid \log_x (5x^2 - 8x + 3) > 2\}, B = \{ x \mid x^2 - 2x - a^4 + 1 \ge 0\}\)，已知\(A \subset B\)，则\(a\)的取值范围是？
$650. $ 已知不等式\(ax^2 + bx + c > 0\)的解集是\(\{x \mid a < x < b\}\)，其中\(b > a > 1\)，则不等式\(a(ax^2+bx+c)(x^2 + bx + a) < 0\)的解集是？
$651. $ （1）若\(A,B,C \in [0,
\pi]\)，求证\(\sin A + \sin B + \sin C
\le 3 \sin \dfrac{A+B+C}{3}\)；
（2）\(\triangle
ABC\)的三内角平分线分别交其外接圆于\(A_1,B_1,C_1\)，求证\(S_{\triangle ABC} < S_{\triangle
A_1B_1C_1}\)。
$652. $ 设\(\dfrac{3}{2} \le x \le 5\)，证明\(2\sqrt{x+1} + \sqrt{2x-3} + \sqrt{15-3x} < 2\sqrt{19}\)。
$653. $ 求所有的实数\(k\)，使得\(a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + 1 \ge k (a+b+c+d)\)对任意\(a,b,c,d \in [1, +\infty)\)都成立。
$654. $ \(n\)是正整数，\(a_j (j=1,2,\cdots,n)\)为复数，且对集合\(\{1,2,\cdots,n\}\)的任一非空子集\(I\)有\(|\prod \limits_{j \in I}(1+a_j) - 1| \le \dfrac{1}{2}\)，证明：\(\sum \limits_{j=1}^n |a_j| \le 3\)。
$655. $ 证明：\(\displaystyle (1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{5})\cdots(1+\frac{1}{2n-1}) > \frac{\sqrt{2n+1}}{2}, (n \in \mathbb{N^+}), n > 1\)。
$656. $ 设\(P\)是\(A,B,C\)三点所在直线上的任意一点，求证：\(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\)。
$657. $ 在\(\triangle ABC\)中，\(\angle A = 90^\circ\)，\(D,E\)是斜边\(BC\)的两个三等分点，若\(|AD| = \sin \alpha, |AE| = \cos \alpha (0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2})\)，求斜边\(BC\)的长。
$658. $ 已知双曲线\(x^2 - \dfrac{y^2}{2} = 1\)，过点\(A(2,1)\)的直线与双曲线交于两点\(P_1,P_2\)，求线段\(P_1P_2\)的中点\(P\)的轨迹方程。
$659. $ 已知双曲线\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0)\)的左右焦点为\(F_1,F_2\)，左准线为\(l\)，\(P\)是双曲线左半支上一点，并且有\(|PF_1|\)是\(P\)到\(l\)的距离\(d\)与\(|PF_2|\)的比例中项，求双曲线离心率\(e\)的取值范围。
$660. $ \(P\)是抛物线\(y = \dfrac{1}{2}x^2\)上一点，直线\(l\)过点\(P\)并与抛物线在点\(P\)的切线垂直，\(l\)与抛物线相交于另一点\(Q\)，当点\(P\)在抛物线上移动时，求线段\(PQ\)中点\(M\)的轨迹方程，并求\(M\)点到\(x\)轴的最短距离。
$661. $ 椭圆的长轴\(A_1A_2\)与\(x\)轴平行，短轴\(B_1B_2\)在\(y\)轴上，中心\(M(0,r)\)；
（1）直线\(y = k_1x\)交椭圆与两点\(C(x_1,y_1), D(x_2,y_2) (y_2 >
0)\)，直线\(y =
k_2x\)与椭圆交于两点\(G(x_3,y_3),H(x_4,y_4)
(y_4>0)\)，求证：\(\dfrac{k_1x_1x_2}{x_1+x_2} =
\dfrac{k_2x_3x_4}{x_3+x_4}\)；
（2）对于（1）中的\(C,D,G,H\)，设\(CH\)交\(x\)轴于点\(P\)，\(DG\)交\(x\)轴于点\(Q\)，求证\(|OP| =
|OQ|\)。
$662. $ 设椭圆\(\dfrac{x^2}{m+1} + y^2 =
1\)的两个焦点是\(F_1(-c,0),
F_2(c,0)\)，且椭圆上存在点\(P\)使得直线\(PF_1\)与直线\(PF_2\)垂直；
（1）求实数\(m\)的取值范围；
（2）设\(l\)是相应于焦点\(F_2\)的准线，直线\(PF_2\)与\(l\)相交于点\(Q\)，若\(\dfrac{|QF_2|}{|PF_2|} = 2 -
\sqrt{3}\)，求直线\(PF_2\)的方程。
$663. $ 已知\(l_1,l_2\)是过点\((-\sqrt 2,
0)\)的两条互相垂直的直线，且\(l_1,l_2\)与双曲线\(y^2 - x^2 = 1\)各有两个焦点，分别为\(A_1,B_1\)和\(A_2,B_2\)；
（1）求\(l_1\)的斜率\(k_1\)的取值范围；
（2）若\(|A_1B_1| = \sqrt
5|A_2B_2|\)，求\(l_1,l_2\)的方程。
$664. $ 设点\(A,F\)分别是双曲线\(9x^2 - 3y^2 = 1\)的左顶点和右焦点，点\(P\)是双曲线右支上的动点；
（1）若\(\triangle
PAF\)是直角三角形，求点\(P\)的坐标；
（2）是否存在常数\(\lambda\)，使得\(\angle PFA = \lambda PAF\)对于任意的点\(P\)恒成立？
$665. $ \(O\)在四面体\(ABCD\)内，有\(\overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC} + 4\overrightarrow{OD} = \vec 0\)，则\(V_{ABCD}:V_{OBCD}=\)？
$666. $ 圆内接四边形\(ABCD\)的四条边长\(AB,BC,CD,DA\)的长均为正整数，\(DA=2005, \angle ABC = \angle ADC=90^\circ\)，且\(\max{AB,BC,CD} < 2005\)，求四边形\(ABCD\)的周长的最大与最小值。
$667. $ 在平面直角坐标系\(xOy\)中，给定三点\(A(0, \dfrac{4}{3}), B(-1,0),
C(1,0)\)，点\(P\)到直线\(BC\)的距离是该点到直线\(AB,AC\)距离的等比中项；
（1）求点\(P\)的轨迹方程；
（2）若直线\(l\)经过\(\triangle ABC\)的内心（设\(D\)）且与\(P\)点的轨迹方程恰好有\(3\)个公共点，求\(l\)的斜率\(k\)的取值范围。
$668. $ 设圆满足：（1）截\(y\)轴所得的弦长为\(2\)；（2）被\(x\)轴分成两段圆弧，且弧长比例为\(3:1\)；在满足（1）（2）的所有圆中，求圆心到直线\(l: x - 2y = 0\)的距离最小的圆的方程。
$669. $ 已知椭圆\(\dfrac{x^2}{24} + \dfrac{y^2}{16} = 1\)，直线\(l: \dfrac{x}{12} + \dfrac{y}{8} = 1\)，\(P\)是\(l\)上一点，射线\(OP\)交椭圆于点\(R\)，又点\(Q\)在\(OP\)上，且满足\(|OQ||OP| = |OR|^2\)，当点\(P\)在\(l\)上移动时，求点\(Q\)的轨迹方程。
$670. $ 若三棱锥\(V-ABC\)各侧面与底面所成的三面角都相等，求此三棱锥的三面角多大时，其体积最大？
$671. $ 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，要求同一场地种同一种植物，相邻的两块中不同的植物，现有\(4\)中不同的植物可供选择，则有多少栽种方案？
$672. $ 点\(P_1,P_2,\cdots,P_{10}\)分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面内四点组\((P_1,P_i,P_j,P_k) (1 < i < j < k< 10)\)有多少个？
$673. $ 设三位数\(n = \overline {abc}\)，若以\(a,b,c\)为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数\(n\)有多少个？
$674. $ 设抛物线\(C: y =
x^2\)的焦点为\(F\)，动点\(P\)在直线\(l: x -
y - 2 = 0\)上运动，过\(P\)作抛物线\(C\)的两条切线\(PA,PB\)且与抛物线\(C\)分别相切于\(A,B\)两点；
（1）求\(\triangle APB\)的重心\(G\)的轨迹方程；
（2）证明\(\angle PFA = \angle
PFB\)。
$675. $ 对于\(Q \in [0, \dfrac{\pi}{2}]\)，不等式\(\sin 2\theta - (2\sqrt 2 + \sqrt 2 a)\sin(\theta + \dfrac{\pi}{4}) + 2a+3 > \dfrac{2\sqrt 2}{\cos (\theta - \dfrac{\pi}{4})}\)恒成立，求\(a\)的取值范围。
$676. $ 已知抛物线\(C_1: y^2 = x + 7\)，圆\(C_2: x^2 + y^2 = 5\)，过点\(P(a,0)\)作与\(x\)轴不垂直的直线\(l\)交\(C_1,C_2\)依次为\(A,B,C,D\)，若\(|AB| = |CD|\)，求实数\(a\)的取值范围。
$677. $ 若函数\(g(x) = |x^2 - ax - a|\)在区间\([0,1]\)上递增，求实数\(a\)的取值范围。
$678. $ 已知梯形\(ABCD\)中，\(|AB|=2|CD|\)，点\(E\)分有向线段\(\overrightarrow{AC}\)所成的比为\(\lambda\)，双曲线过\(C,D,E\)三点，且以\(A,B\)为焦点，当\(\dfrac{2}{3} \le \lambda \le \dfrac{3}{4}\)，求双曲线离心率\(e\)的取值范围。
$679. $ 直线\(l_1: y = kx + 1 - k (k \ne 0,
k \ne \pm\dfrac{1}{2})\)与\(l_2: y =
\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}\)相交于点\(P\)，直线\(l_1\)与\(x\)轴交于点\(P_1\)，过\(P_1\)作\(x\)轴的垂线交直线\(l_2\)于点\(Q_1\)，过点\(Q_1\)作\(y\)轴的垂线交直线\(l_1\)于点\(P_2\)，过点\(P_2\)作\(x\)轴的垂线交直线\(l_2\)于点\(Q_2\)，\(\cdots\)这样已知下去，可得到一系列点\(P_1,Q_1,P_2,Q_2,\cdots\)，记点\(P_n(n=1,2,\ldots)\)横坐标构成的数列\(\{x_n\}\)；
（1）求数列\(\{x_n\}\)的通项公式；
（2）比较\(2|PP_n|^2\)与\(4k^2|PP_1|^2 + 5\)的大小。
$680. $ 已知数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，且\(a_{2k} = a_{2k-1} + (-1)^k, a_{2k+1} = a_{2k} + 3^k\)，其中\(k=1,2,\ldots\)，求\(\{a_n\}\)的通项公式。
$681. $ 设\(f(x)\)是定义在\(\mathbb{R}\)上的增函数，问是否存在实数\(k\)，使不等式\(f(k + \sin 2x) \ge f[(k-4)(\sin x + \cos x)]\)对于任意实数\(x\)恒成立？并说明理由。
$682. $ 在锐角三角形\(ABC\)中，若\(\cos A = \cos \alpha \sin \beta, \cos B = \cos \beta \sin \gamma, \cos C = \cos \gamma \cos \alpha\)，求证\(\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma = 1\)。
$683. $ 设\(A,B,C\)分别是复数\(z_0 = ai, z_1 = \frac{1}{2} + bi, z_2 = 1 + ci\)（其中\(a,b,c\)都是实数）对应不共线的三点，证明：曲线\(z = z_0 \cos^4 t + 2z_1 \cos^2 t \sin^2 t + z_2 \sin^4 t (t \in \mathbb{R})\)与\(\triangle ABC\)中平行于\(AC\)的中位线只有一个交点。
$684. $ 设\(a,b \in \mathbb{R}\)，满足\(2a +b + 2 \le 0\)，试证：方程\(x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1=0\)至少存在一个正实数解。
$685. $ 直线\(l_1: y = kx (k >0)\)与直线\(l_2: y = -kx\)之间的阴影区域（不含边界）记为\(W\)，若左半部分为\(W_1\)，右半部分为\(W_2\)，设不过原点\(O\)的直线\(l\)与曲线\(C: k^2x^2 - y^2 - (k^2 + 1)d^2 = 0\)相交于\(M_1,M_2\)两点，且与\(l_1,l_2\)分别交于\(M_2,M_4\)两点，求证\(\triangle OM_1M_2\)的重心与\(\triangle OM_3M_4\)的重心重合。
$686. $ 已知函数\(f(x) = \dfrac{x^n - x^{-n}}{x^n + x^{-n}} (n \in \mathbb{N})\)，试比较\(f(\sqrt 2)\)与\(\dfrac{n^2-1}{n^2+1}\)的大小关系。
$687. $ 给定有限个正数，满足条件\(T\)：每个数都不小于\(50\)，且总和\(L=1275\)，现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于\(150\)且分组步骤是：首先从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得\(150\)与这组数之和的差\(r_1\)与所有可能其他选择相比是最小的，\(r_1\)称为第一组余差；然后在去掉已选入第一组数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组数，这是余差为\(r_2\)，如此继续，直到第\(N\)组（余差为\(r_N\)），把这些数全部分为为止；
（1）当构成第\(n (n <
N)\)组后，指出余下的每个数与\(r_n\)的大小关系，并证明\(r_{n-1} > \dfrac{150n -
L}{n-1}\)；
（2）对任何满足条件\(T\)的有限个正数，证明\(N \le 11\)。