$501. $ 在棱长都为\(a\)cm的四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒中任意转动，则正方体棱长最大为多少cm？
$502. $ 设\(S_n\)是数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和，\(S_n = 2a_n-3n+5 (n \in \mathbb{N^+})\)，证明：不存在正整数\(p,q,r(p<q<r)\)使得\(p,q,r\)和\(S_p,S_q,S_r\)同时成等差数列。
$503. $ 设\(A\)为双曲线\(\displaystyle \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)右支上一动点，\(F\)双曲线的右焦点，连接\(AF\)交双曲线右支于点\(B\)，过\(B\)作直线\(BC\)垂直于直线\(x=\dfrac{16}{5}\)，垂足为\(C\)，则直线\(AC\)必过定点？，如果是，求出定点坐标，否则说明原因。
$504. $ 已知\(\triangle ABC\)中，\(a=10, c-b=8\)，则\(\dfrac{\tan \frac{B}{2}}{\tan \frac{C}{2}}=\)?
$505. $ 设函数\(f(x) = (x+1)\ln (x+1)\)，若对所有的\(x \ge 0\)都有\(f(x) \ge ax\)成立，则实数\(a\)的取值范围是？
$506. $ 已知直线\(l_1: x - y = 0, l_2 x + y
= 0\)，点\(P\)是线性约束条件\(\left\{ \begin{aligned} x - y \ge 0 \\ x + y \ge 0
\end{aligned} \right.\)所表示区域内一动点，\(PM \perp l_1, PN \perp
l_2\)，垂足分别为\(M,N\)，且\(S_{\triangle OMN} = \dfrac{1}{2}\)（\(O\)为坐标原点）；
（1）求动点\(P\)的轨迹方程；
（2）是否存在过点\((2,0)\)的直线\(l\)与（1）中的轨迹交于点\(A,B\)，线段\(AB\)的垂直平分线交\(y\)轴与点\(Q\)，且使得\(\triangle
ABQ\)是等边三角形？若存在，求出\(l\)的方程；若不存在，请说明理由。
$507. $ 设函数\(f(x) = ax - (a+1)\ln (x+1)\)，当\(a>0\)时，设\(f(x)\)的最小值为\(g(a)\)，若\(g(a) < t\)恒成立，求实数\(t\)的最小值。
$508. $ 已知函数\(f(x) = \left\{
\begin{aligned} &(x^2-2x)e^x & x>0 \\ &bx & x \le
0\end{aligned}\right.\)，\(g(x) = c\ln
x + b\)；
（1）若方程\(f(x)=m\)有两个不相等的实数根，求\(m\)的取值范围；
（2）若直线\(l\)是函数\(f(x)\)在点\((2,
f(2))\)出的切线，且直线\(l\)与函数\(y =
g(x)\)的图像相切于点\(P(x_0,y_0), x_0
\in [e^{-1}, e]\)，求实数\(b\)的取值范围。
$509. $ 已知函数\(f(x) = \dfrac{a+\sin x}{2 + \cos x}-bx, (a, b \in \mathbb{R})\)，若\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上存在最大值，最小值，且其最大值与最小值的和为\(2680\)，求\(a\)和\(b\)的值。
$510. $ 如图在\(\triangle ABC\)和\(\triangle AEF\)中，\(B\)是\(EF\)的中点，\(AB=EF=1, CA=CB=2\)，若\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AF}=2\)，则\(\overrightarrow{EF}\)与\(\overrightarrow{BC}\)的夹角等于？
$511. $ 对于任意\(x \in \mathbb{R}\)，函数\(f(x)\)满足\(f(x+1)=\sqrt{f(x) - [f(x)]^2} + \dfrac{1}{2}\)，设\(a_n = [f(x)]^2 - f(x)\)，数列\(\{a_n\}\)的前\(15\)项和为\(-\dfrac{31}{16}\)，则\(f(15)=\)？
$512. $ 已知四面体\(ABCD\)中，\(DA=DB=DC=3\sqrt2\)，且\(DA，DB，DC\)两两互相垂直，点\(O\)是\(\triangle ABC\)的中点，将\(\triangle DAO\)绕直线\(DO\)旋转一周，则在旋转过程中，直线\(DA\)与直线\(BC\)所成角的余弦值的取值范围是？
$513. $ 函数\(y = -k |x-a| + b\)的图像与函数\(y = k|x- c| + d\)的图像（\(k>0\)且\(k \ne \dfrac{1}{3}\)）交于两点\((2,5),(8,3)\)，则\(\dfrac{a+c}{b+d}\)的值为？
$514. $ 已知直线\(l\perp\)平面\(\alpha\)，\(O\)为垂足，长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中\(AD=5, AB=6,AA_1=8, A \in l, B_1 \in \alpha\)，则\(OC_1\)的最大值为？
$515. $ 若\(g(x) = |\ln x| + \dfrac{a}{x+1} (a>0)\)，且对任意\(x_1,x_2 \in [0, 2], x_1 \ne x_2\)，都有\(\dfrac{g(x_2) - g(x_1)}{x_2 - x_1} < -1\)，求\(a\)的取值范围。
$516. $ 有四根长都为\(2\)的直铁条，若再选两根长为\(2\)的直铁条，使这六根直铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥的铁架，则\(a\)的取值范围是？
$517. $ 在\(\triangle ABC\)中，三边长\(a,b,c\)满足\(a+c=3b\)，则\(\tan \dfrac{A}{2} \tan \dfrac{C}{2}\)的值为？
$518. $ 已知函数\(f(x) = 2 \ln x - 2x - 3, h(x) = (p-2)x - \dfrac{p+2e}{x}-3\)，若在区间\([1,e]\)上至少存在一个\(x_0\)使得\(h(x_0) > f(x_0)\)处成立，求\(p\)的取值范围。
$519. $ 设有一组圆\(C_k: (x-k+1)^2 +
(y-3k)^2 = 2k^4 (k \in
\mathbb{N^+})\)，下列四个命题中真命题有？
（1）存在一条直线与所有圆相切；
（2）存在一条直线与所有圆相交；
（3）存在一条直线与所有圆都不相交；
（4）所有圆不经过任何圆点；
$520. $ 集合\(W\)是满足下列两个条件的无穷数列\(\{a_n\}\)的集合；
（1）\(\dfrac{a_n + a_{n+2}}{2} \le
a_{n+1}\)；
（2）\(a_n \le M; M\)是与\(n\)无关的常数；
设数列\(\{c_n\}\)的各项都为正整数，且\(\{c_n\} \in W\)，求证\(c_n \le C_{n+1}\)。
$521. $ 设函数\(f(x) = x^2 + ax + b (a,b
\in \mathbb{R})\)，满足不等式\(|f(x)|
\le |x^2 + 2x - 3|\)恒成立，定义数列\(\{a_n\}\)和数列\(\{b_n\}\)，\(a_1
= 3, 2a_n=f(a_{n-1}) + 3 (n \ge 3, n \in \mathbb{N^+}), b_n =
\dfrac{1}{a_n + 2}(n \in \mathbb{N^+})\)，数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)；
（1）求证：\(S_n <
\dfrac{1}{3}\)；
（2）求证：\(a_n > 2^{2^{n-1}} -
1\)。
$522. $ 已知数列\(a_n\)的前\(n\)项和\(S_n =
\dfrac{n}{2}a_n (n \in \mathbb{N+})\)，且\(a_2=1, b_n = (1 + \dfrac{1}{2a_n+2})^{a_{n+1}} (n
\in \mathbb{N+})\)；
（1）已知定理：若函数\(f(x)\)在区域\(D\)是凹函数，且\(f^\prime(x)\)存在，则当\(x>y (x,y \in D)\)时，总有\(\dfrac{f(x) - f(y)}{x-y} \le
f^\prime(x)\)，若函数\(y = x^{n+1} (n
\in \mathbb{N}^+)\)在\((0,
+\infty)\)上是凹函数，试判断\(b_n,b_{n+1}\)的大小；
（2）求证：\(\dfrac{3}{2} \le b_n <
2\)。
$523. $ 已知函数\(f(x) = x^2 + x -
1\)，\(\alpha,
\beta\)是方程\(f(x)=0\)的两个根（\(\alpha > \beta\)），\(f^\prime(x)\)是\(f(x)\)的导数，设\(a_1 = 1, a_{n+1} - \dfrac{f(a_n)}{f^\prime(a_n)}
(n=1,2,\cdots)\)；
（1）证明：对任意的正整数\(n\)都有\(a_n > \alpha\)；
（2）记\(b_n = \ln \dfrac{a_n - \beta}{a_n -
\alpha}\)，求数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和。
$524. $ 已知\(A,B\)分别为曲线\(C: \dfrac{x^2}{a^2} + y^2 = 1 (y \ge 0, a > 0)\)与\(x\)轴的左右两个交点，直线\(l\)过点\(B\)且与\(x\)轴垂直，\(S\)为\(l\)上异于\(B\)的一点，连接\(AS\)交曲线\(l\)于点\(T\)，点\(M\)是以\(SB\)为直径的圆与线段\(TB\)的交点，试问：是否存在\(a\)，使得\(O,M,S\)三点共线？若存在，求出\(a\)的值。
$525. $ 已知双曲线\(C: \dfrac{x^2}{a^2} -
\dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a > 0, b>0)\)，\(B\)是右顶点，\(F\)是右焦点，\(A\)点在\(x\)轴正半轴上，且满足\(|\overrightarrow{OA}|, |\overrightarrow{OB}|,
|\overrightarrow{OF}|\)成等比数列，过点\(F\)作双曲线在一、三象限的渐近线的垂线\(l\)，垂足为\(P\)；
（1）求证：\(\overrightarrow{PA} \cdot
\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{PA} \cdot
\overrightarrow{FP}\)；
（2）若\(l\)与双曲线\(C\)的左右两支分别交于\(D,E\)，求双曲线\(C\)的离心率\(e\)的取值范围。
$526. $ 在棱长为\(1\)的正方体中，有两个球相外切并且分别于正方体的面相切，球的半径为多少时，两球体积之和最小？
$527. $ 已知\(f(x) = x^2 + (a-3)x + a^2 -
3a\)；
（1）设实数\(p,q,r\)满足\(p,q,r\)中的某一个数为\(a\)，且另外两个恰为方程\(f(x)=0\)的两实根，判断\(p + q + r\)，\(p^2 + q^2 + r^2\)，\(3 \ p^3 + q^3 +
r^3\)这三个式子是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数\(g(a)\)，并求\(g(a)\)的最小值；
（2）对于（1）中的\(g(a)\)，设\(H(a) = -\dfrac{1}{6}[g(a) -
27]\)，数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{n+1} = H(a_n) (n \in \mathbb{N^+}), a_n \in (0,
1)\)，试判断\(a_{n+1}\)与\(a_n\)的大小。并证明。
$528. $ 设\(V\)是已知平面\(M\)上所有向量的集合，对于映射\(f: V \to V, \vec a \in V\)，记\(\vec a\)的象为\(f(\vec a)\)，若映射\(f\)满足：对所有\(\vec a, \vec b \in V\)及任意实数\(\lambda, \mu\)，都有\(f(\lambda \vec a + \mu \vec b) = \lambda f(\vec a)
+ \mu f(\vec a)\)，则称\(f\)为平面\(M\)上的线性变换，现有下列命题：
（1）设\(f\)是\(M\)上的线性变换，则\(f(\vec 0) = \vec 0\)；
（2） 对于\(\vec a \in V\)，则\(f(\vec a) = 2 \vec a\)，则\(f\)是\(M\)上的线性变换；
（3） 若\(\vec e\)是平面\(M\)上的单位向量，对\(\vec a \in V\)，设\(f(\vec a) = \vec a - \vec e\)，则\(f\)是\(M\)上的线性变换；
（4） 设\(f\)是\(M\)上的线性变换，\(\vec a, \vec b \in V\)，若\(\vec a, \vec b\)共线，则\(f(\vec a)\)与\(f(\vec b)\)也共线；
其中真命题有?
$529. $ 已经集合\(A = \{a_1,a_2,\dots,
a_k\} (k \ge 2)\)，其中\(a_i \in
\mathbb{Z} (i=1,2,\cdots,k)\)，有\(A\)中的元素构成两个相应的集合：\(S = \{ (a, b) \mid a \in A, b \in A , a+b \in A\},
T = \{(a,b) \mid a \in A, b \in A, a - b \in A\}\)，其中\((a,b)\)是有序数对，集合\(S\)和\(T\)中的元素个数分别为\(m,n\)，若对任意的\(a \in A\)，总有\(-a \in A\)，则称集合具有性质\(P\)；
（1）对任何具有性质\(P\)的集合\(A\)，证明\(n \le
\dfrac{k(k-1)}{2}\)；
（2）判断\(m\)和\(n\)的大小关系，并证明你的结论。
$530. $ 若对给定的实数\(a(a \ne
0)\)函数\(y = f(x+a)\)与\(y = f^{-1}(x+a)\)互为反函数，则称\(y = f(x)\)满足\(a\)和性质；若对函数\(y = f(ax)\)和\(y
= f^{-1}(ax)\)互为反函数，则称\(y =
f(x)\)满足\(a\)积性质；
（1）求所有满足\(2\)和性质的一次函数；
（2）设函数\(y = f(x) (x
>0)\)，对任何\(a >
0\)，满足\(a\)积性质，求\(y = f(x)\)的表达式。
$531. $ 若\(x^4 + ax - 4 = 0\)的各个实根\(x_1,x_2,\cdots,x_k (k\le 4)\)，所对应的点\((x_i, \dfrac{4}{x_i}) (i=1,2,\cdots,k)\)均在直线\(y=x\)的同侧，则实数\(a\)的取值范围是？
$532. $ 若\(x_1\)满足\(2x + 2^x = 5\)，\(x_2\)满足\(2x + 2\log_2 (x-1) = 5\)，则\(x_1+x_2=\)？
$533. $ 设函数\(f_1(x) =
3^{|x-p_1|}\)，\(f_2(x) = 2 \cdot 3^{|x
- p_2|}\)，\(x \in
\mathbb{R}\)，\(p_1,p_2\)为常数，函数\(f(x)\)定义为，对任意的实数\(x\)，\(f(x) =
\left\{ \begin{aligned} & f_1(x) & f_1(x) \le f_2(x) \\
&f_2(x) & f_1(x) > f_2(x)\end{aligned}
\right.\)；
（1）求\(f(x) =
f_1(x)\)对任意的实数\(x\)都成立的充分必要条件；
（2）设\(a,b\)为两个实数，\(a<b\)，且\(p_1,p_2 \in (a, b)\)，若\(f(a) = f(b)\)，求证：\(f(x)\)在\([a,b]\)上的单调增区间的长度和为\(\dfrac{b-a}{2}\)。
$534. $ 在锐角三角形\(ABC\)中，\(BC=1, B=2A\)，则\(AC\)的取值范围是？
$535. $ 若有穷数列\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)（\(n\)是正整数），满足\(a_1 = a_n, a_2 = a_{n-1}, \cdots a_n = a_1\)，即\(a_i = a_{n-i+1}\)（\(i\)是正整数，且\(1 \le i \le n\)），就称数列为对称数列。对于给定的正整数\(m>1\)，试写出所有项数不超过\(2m\)的对称数列，使得\(1,2,2^2,\cdots,2^{m-1}\)依次是数列中连续的项，当\(m>1500\)时，求其中一个数列的前\(2008\)项和\(S_{2008}\)。
$536. $ 设\(S_n\)是数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和，\(a_1 = a, S_n^2 = 3n^2a_n + S_{n-1}^2, a_n \ne 0, n=2,3,\cdots\)，试找出一个奇数\(a\)，使以\(18\)为首项，\(7\)为公比的等比数列\(\{b_n\}\)中所有项都是数列\(\{a_n\}\)中的项并指出\(b_n\)是数列\(\{a_n\}\)中的第几项。
$537. $ 设\(m\)个不全相等的正数\(a_1,a_2,\cdots,a_m (m \ge 7)\)依次围成一个圈，若每个数\(a_n (n \le m)\)是其左右相邻两数的平分的等比中项，求证\(a_1 + \cdots + a_6 + a_7^2 + \cdots + a_m^2 > m a_1 \cdots a_m\)。
$538. $ 对于数列\(\{\mu_n\}\)，若存在常数\(M > 0\)，对任意的\(n \in \mathbb{N^+}\)，恒有\(|\mu_{n+1} - \mu_n| + |\mu_n - \mu_{n-1}| + \cdots
+ |\mu_2 - \mu_1| \le M\)，则称该数列\(\{\mu_n\}\)为\(B-\)数列；
（1）设\(S_n\)是数列\(\{x_n\}\)的前\(n\)项和，给出下列两组论断：
A组：\(\mathrm{i}\)：数列\(\{x_n\}\)是\(B-\)数列；\(\mathrm{ii}\)：数列\(\{x_n\}\)不是\(B-\)数列；
B组：\(\mathrm{i}\)：数列\(\{S_n\}\)是\(B-\)数列；\(\mathrm{ii}\)：数列\(\{S_n\}\)不是\(B-\)数列；
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论，组成一个命题，判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（2）若数列\(\{a_n\},
\{b_n\}\)都是\(B-\)数列；证明数列\(\{a_nb_n\}\)也是\(B-\)数列。
$539. $ 如图，过圆\(C: (x - 1)^2 + (y-1)^2 = 1\)的圆心作直线分别于\(x,y\)正半轴交于\(A,B\)两点，\(\triangle AOB\)被圆分成四部分，若这四部分图像的面积满足\(S_{\mathrm{I}} + S_{\mathrm{IV}} = S_{\mathrm{II}} + S_{\mathrm{III}}\)，证明这样的直线只有一条。
$540. $ 点\(P(x_0,y_0)\)在椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a >
b> 0)\)上，\(x_0 = a\cos \beta, y_0
= a \sin \beta, 0 < \beta < \dfrac{\pi}{2}\)，直线\(l_2\)与直线\(l_1:
\dfrac{x_0x}{a^2} + \dfrac{y_0y}{b^2}=1\)垂直，\(O\)为坐标原点；直线\(OP\)的倾斜角为\(\alpha\)，直线\(l_2\)的倾斜角为\(\gamma\)；
（1）证明：点\(P\)是椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2} +
\dfrac{y^2}{b^2}=1\)与直线\(l_1\)的唯一交点；
（2）证明：\(\tan \alpha, \tan \beta, \tan
\gamma\)构成等比数列。
$541. $ 已知椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2} +
\dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a > b >0)\)的两个焦点分别为\(F_1(-c,0), F_2(c,0) (c>0)\)，过点\(E(\dfrac{a^2}{c},
0)\)的直线与椭圆相交于\(A,B\)两点，且\(\overrightarrow{F_1A} \parallel
\overrightarrow{F_2B}, |\overrightarrow{F_1A}| =
2|\overrightarrow{F_2B}|\)；
（1）求椭圆的离心率与直线\(AB\)的斜率；
（2）设点\(C\)是\(A\)点关于坐标原点的对称点，直线\(F_2B\)上有一点\(H(m,n)(m \ne 0)\)在\(\triangle AF_1C\)的外接圆上，求\(\dfrac{n}{m}\)的值。
$542. $ 过双曲线\(x^2 - y^2 = 4\)的右焦点\(F\)作倾斜角为\(105^\circ\)的直线交双曲线于\(P,Q\)两点，则\(|FP| \cdot |FQ|\)的值为？
$543. $ 已知双曲线\(x^2 - y^2 =
2\)的左右焦点分别为\(F_1,F_2\)，过点\(F_2\)的动直线与双曲线相交于\(A,B\)两点；
（1）若动点\(M\)满足\(\overrightarrow{F_1M} = \overrightarrow{F_1A} +
\overrightarrow{F_1B} + \overrightarrow{F_1O}\)（其中\(O\)为坐标原点），求点\(M\)的轨迹方程；
（2）在\(x\)轴上是否存在定点\(C\)，使得\(\overrightarrow{CA} \cdot
\overrightarrow{CB}\)为常数？若存在，求点\(C\)的坐标，若不存在，请说明理由。
$544. $ 若\(A,B\)是抛物线\(y^2 = 4x\)上的不同两点，不平行于\(y\)轴的弦\(AB\)的垂直平分线与\(x\)轴相交于点\(P\)，则称弦\(AB\)是点\(P\)的一条相关弦，已知当\(x_0 > 2\)时，点\(P(x_0, 0)\)有无穷多个相关弦；给出\(x_0 > 2\)，试问点\(P(x_0, 2)\)的相关弦的弦长是否存在最大值？若存在，求其最大值，若不存在，说明理由。
$545. $ 双曲线\(C_1: \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>0, b>0)\)的左准线为\(l\)，左右焦点分别为\(F_1,F_2\)，抛物线\(C_2\)的准线为\(l\)，焦点为\(F_2\)，\(C_1\)与\(C_2\)的一个交点为\(M\)，则\(\displaystyle \dfrac{|F_1F_2|}{|MF_1|} - \dfrac{MF_1}{MF_2}\)等于？
$546. $ 如图，已知抛物线\(C: y^2 =
x\)与圆\(M: (x-4)^2 + y^2 = r^2 (r
>0)\)相交于\(A,B,C,D\)四个点；
（1）求\(r\)的取值范围；
（2）当四边形\(ABCD\)的面积最大时；求\(AC,BD\)的交点\(P\)的坐标。
$547. $ 已知双曲线\(C: x^2 - \dfrac{y^2}{2} = 1\)，直线\(l\)是圆\(O: (x-4)^2 + y^2 = 2\)上一动点\(P(x_0,y_0) (x_0y_0 \ne 0)\)处的切线，\(l\)与双曲线\(C\)交于不同的两点\(A,B\)，证明：\(\angle AOB\)的大小为定值。
$548. $ 椭圆\(C_1: \dfrac{y^2}{4} + x^2 = 1\)的右顶点为\(A\)，设点\(P\)在抛物线\(C_2: y = x^2 + h (h \in \mathbb{R})\)上，\(C_2\)在点\(P\)处的切线与\(C_1\)交于点\(M,N\)，当线段\(AP\)的中点与\(MN\)的中点的横坐标相等时，求\(h\)的最小值。
$549. $ 设\(P(a,b)\)是平面直角坐标系\(xOy\)中的一点，\(l\)是经过原点与点\((1,b)\)的直线，记\(Q\)是直线\(l\)与抛物线\(x^2
= 2py (p\ne 0)\)的异于原点的交点；
（1）已知点\(P(a,b) (ab \ne
0)\)在椭圆\(\dfrac{x^2}{4} + y^2 =
1\)上，\(p =
\dfrac{1}{2ab}\)，求证\(Q\)落在\(4x^2 -
4y^2= 1\)上；
（2）已知动点\(P(a,b)\)满足\(ab \ne 0, p=\dfrac{1}{2ab}\)，若点\(Q\)始终在一条关于\(x\)轴对称的抛物线上，试问动点\(P\)的轨迹落在哪一种二次曲线上，请说明理由。
$550. $ 在平面直角坐标系\(xOy\)中，点\(P\)到\(F(3,0)\)的距离的\(4\)倍与它到直线\(x=2\)的距离的\(3\)倍之和记为\(d\)，当点\(P\)运动时，\(d\)恒等于\(P\)的横坐标与\(18\)之和；
（1）求点\(P\)的轨迹方程\(C\)；
（2）设过点\(F\)的直线\(l\)与轨迹\(C\)相交于\(M,N\)两点，求线段\(MN\)长度的最大值。
$551. $ 已知球的半径为\(2\)，相互垂直的平面分别截球面得到得到两个圆，若两圆的公共弦长为\(2\)，则两圆的圆心距等于？
$552. $ 已知数列\(\{a_n\}, \{b_n\}\)与函数\(f(x), g(x), x \in \mathbb{R}\)满足条件\(b_1=1, a_n = f(b_n) = g(b_{n+1}) (n \in \mathbb{N^+}), g(x) = f^{-1}(x), f(1)<1\)，若函数\(f(x)\)为\(\mathbb{R}\)上的增函数，证明对任意的\(n \in \mathbb{N^+}\)，\(a_{n+1} < a_n\)。
$553. $ 已知函数\(f(x) = \dfrac{1}{(1-x)^n} + \ln (x-1)\)，其中\(n \in \mathbb{N^+}\)，证明：对任意正整数\(n\)，当\(x \ge 2\)时，\(f(x) \le x - 1\)。
$554. $ 已知函数\(f(x) = x^3 - (k^2 - k +
1)x^2 + 5x - 2, g(x) = k^2x^2 + kx + 1\)，其中\(k \in \mathbb{R}\)；
（1）设函数\(p(x) = f(x) +
g(x)\)，若\(p(x)\)在区间\((0,3)\)内不单调，求\(k\)的取值范围；
（2）设函数\(g(x) = \left\{ \begin{aligned}
& g(x) & x \ge 0 \\ & f(x) & x < 0
\end{aligned}\right.\)，是否存在\(k\)，对任意给定的非零实数\(x_1\)，都存在唯一的非零实数\(x_2 (x_2 \ne x_1)\)，使得\(g^\prime(x_2) =
g^\prime(x_1)\)成立？若存在，求出\(k\)的值；若不存在，请说明理由。
$555. $ 在\(\mathbb{R}\)上定义运算\(\bigotimes\)，\(p
\bigotimes q = -\dfrac{1}{3}(p-c)(q-b) + 4bc\)（\(b,c\)为实常数），记\(f_1(x) = x^2 - 2c, f_2(x) = x - 2b, x \in
\mathbb{R}\)，令\(f(x) = f_1(x)
\bigotimes f_2(x)\)；
（1）求曲线\(y = f(x)\)上斜率为\(c\)的切线与该曲线的公共点；
（2）记\(g(x) = |f^\prime(x)| (-1 \le x \le
1)\)的最大值为\(M\)，若\(M \ge k\)对任意的\(b, c\)恒成立，试求\(k\)的最大值。
$556. $ 如图，已知\(\triangle
ABC\)的两条角平分线\(AD\)和\(CE\)相交于\(H\)，\(\angle B =
60^\circ\)，\(F\)在\(AC\)上，且\(AE =
AF\)；
证明：（1）\(B,D,H,E\)四点共圆；
（2）\(CE\)平分\(\angle DEF\)。
$557. $ 对于给定的\(n \in \mathbb{N^+}\)，定义\(C_{n}^x = \dfrac{n(n-1)\cdots(n - [x] - 1)}{x(x-1)\cdots(x - [x] + 1)}, x \in [1, +\infty)\)，则当\(x \in [\dfrac{3}{2}, 3)\)时，\(C_{8}^x\)的值域是？
$558. $ 已知函数\(f(2x+2)-1\)是定义在\(\mathbb{R}\)上的奇函数，函数\(y = g(x)\)的图像与函数\(f(x)\)的图像交于\(y=x\)对称，若\(x_1 + x_2 = 2\)，则\(g(x_1) + g(x_2)=\)？
$559. $ 设函数\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上满足\(f(2-x) = f(2+x),
f(7-x)=f(7+x)\)，且在闭区间\([0,
7]\)上，只有\(f(1)=f(3)=0\)；
（1）试判断\(f(x)\)的奇偶性；
（2）试求方程\(f(x)\)在区间\([-2005, 2005]\)上的根的个数。
$560. $ 已知函数\(f(x) = \dfrac{2a+1}{a} - \dfrac{1}{a^2x}\)，设\(0 < m < n\)且\(f(x)\)的定义域与值域都为\([m,n]\)，求\(m+n\)的最大值。
$561. $ 函数\(f(x) = \log_a(2-3a) (a>0,a\ne 1)\)，当点\(p(x,y)\)是函数\(y = f(x)\)的图像上的点时，\(Q(x-2a,-y)\)是函数\(y=g(x)\)的图像上的点，且\(x \in [a+2, a+3]\)时，恒有\(|f(x) - g(x)| \le 1\)，试确定\(a\)的取值范围。
$562. $ 已知数列\(\{x_n\}\)满足\(x_n^2 + 4 = 2x_n x_{n+1}, x_1 = 4\)，\(T_n\)是数列\(\{x_n\}\)的前\(n\)项和，证明\(T_n < 3 + 2n\)。
$563. $ 已知数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1 = 3, a_2 = 5\)，其前\(n\)项和为\(S_n\)，\(S_n +
S_{n-2} = 2S_{n-1} + 2^{n-1} (n \ge 3)\)；
（1）求\(\{a_n\}\)；
（2）令\(b_n =
\dfrac{1}{a_na_{n+1}}\)，试求一个函数\(f(x)\)，使得对任意的正整数\(n\)，有\(T_n =
b_1f(1) + b_2f(2) + \cdots + b_n f(n) <
\dfrac{1}{6}\)且对任意的\(m \in (0,
\dfrac{1}{6})\)，存在\(n_0 \in
\mathbb{N^+}\)使得\(n \ge
n_0\)时，\(T_n > m\)。
$564. $ 已知\(D\)为\(\triangle ABC\)的边\(AB\)上一点，\(P\)是\(\triangle ABC\)内一点，满足\(\overrightarrow{AD} = \dfrac{\lambda+1}{\lambda^2 + \sqrt{2}\lambda + 1} \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AD} + \dfrac{\lambda}{1+\lambda}\overrightarrow{BC}, \lambda>0\)，则\(\dfrac{S_{\triangle APD}}{S_{\triangle ABC}}\)的最大值为？
$565. $ 已知变量\(x,y\)满足\(\left\{ \begin{aligned} & y \le x \\ & x+y\ge2 \\ &y \ge 3x - 6 \end{aligned} \right.\)，则\(z=x-y + |x+2y - 2|\)的最大值为？
$566. $ 设圆\(O: x^2 + y^2 = \dfrac{16}{9}\)，直线\(l: x + 3y -8 = 0\)，点\(A \in l\)，且圆\(O\)上存在点\(B\)，使得$AOB = 30^\(（\)O\(为坐标原点），则点\)A$的横坐标的取值范围是？
$567. $ 设\(a,b,c\)是不全相等的正数，求证\(\lg \dfrac{a+b}{2} + \lg \dfrac{b+c}{2} + \lg \dfrac{c+a}{2} \ge \lg a + \lg b + \lg c\)。
$568. $ 正方体的一个顶点\(A\)在平面\(\alpha\)内，其余顶点在\(\alpha\)的同侧，正方体上与顶点\(A\)相邻的三个顶点到\(\alpha\)的距离分别是\(1,2,4\)，\(P\)是正方体的其余四个顶点中的一个，则\(P\)到平面\(\alpha\)的距离可能是（1）3， （2）4，（3）5，（4）6，（5）7。
$569. $ 空间四边形\(ABCD\)中，\(EFGH\)分别是\(AB,BC,CD,DA\)的中点，\(|AC|\)与\(|BD|\)是方程\(x^2 - ax + b = 0\)的两个实根，则\(EG^2 + FH^2=\)?
$570. $ 已知椭圆\(\displaystyle
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b>
0)\)的左右焦点分别是\(F_1(-c,0),
F_2(c,0)\)，\(Q\)是椭圆外的动点，且满足\(|\overrightarrow{F_1Q}|=2a\)，点\(P\)是线段\(F_1Q\)与该椭圆的交点，点\(T\)在线段\(F_2Q\)上，并满足\(\overrightarrow{PT} \cdot \overrightarrow{TF_2} =
0, |\overrightarrow{TF_2}| \ne 0\)；
（1）求点\(T\)的轨迹\(C\)的方程；
（2）试问在点\(T\)的轨迹\(C\)上，是否存在点\(M\)，使得\(\triangle MF_1F_2\)的面积\(S = b^2\)？若存在，求\(\angle
F_1MF_2\)的正切值；若不存在，请说明理由。
$571. $ 记函数\(g(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a \ne 0)\)的图像为\(C\)，若对任意不等与\(-\dfrac{b}{3a}\)的实数\(x_1\)，曲线\(C\)与其在\(P_1(x_1, g(x_1))\)处的切线交于另一点\(P_2(x_2, g(x_2))\)，曲线\(C\)与其在\(P_2\)处的切线交于另一点\(P_3(x_3,g(x_3))\)，线段\(P_1P_2, P_2P_3\)与曲线\(C\)所围成封闭图像的面积分别记为\(S_1,S_2\)，证明\(\dfrac{S_1}{S_2}\)为定值。
$572. $ 已知\(a\)是给定的实常数，设函数\(f(x) = (x-a)^2(x+b)e^x, b \in
\mathbb{R}\)，\(x=a\)是\(f(x)\)的一个极大值点；
（1）求\(b\)的取值范围；
（2）设\(x_1,x_2,x_3\)是\(f(x)\)的\(3\)个极值点，问是否存在实数\(b\)，可找到\(x_4
\in \mathbb{R}\)，使得\(x_1,x_2,x_3,x_4\)的某种排列\(x_{i_1}, x_{i_2}, x_{i_3},
x_{i_4}\)，其中\(\{i_1,i_2,i_3,i_4\} =
\{1,2,3,4\}\)依次成等差数列？若存在，求所有的\(b\)及相应的\(x_4\)，若不存在，请说明理由。
$573. $ 若\(f(x) = x^2 - x + c, |x-a| < 1\)，求证\(|f(x) - f(a)| < 2(|a| + 1)\)。
$574. $ 设数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，已知\(S_n
= 2a_n - 2^{n+1}, (n \in \mathbb{N^+})\)；
（1）设\(b_n =
\log_{\frac{a_n}{n+1}}2\)，数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和为\(B_n\)，若存在整数\(m\)，使对任意\(n
\in \mathbb{N^+}\)且\(n \ge
2\)都有\(B_{3n} - B_n >
\dfrac{m}{20}\)成立，求\(m\)的最最大值。
$575. $ 已知数列\(\{x_n\}\)满足\(x_{n+1} = \dfrac{x_{n}+2}{x_n+1}, x_1=1, a_n = x_n - \sqrt2\)，数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，证明\(S_n < \dfrac{\sqrt2}{2}\)。
$576. $ 证明：\(\displaystyle 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{n^3} < \dfrac{5}{4}\)，\((n \in \mathbb{N^+})\)。
$577. $ 数列\(\{a_n\},
\{b_n\}\)满足\(a_{n+1} = a_n - \ln (1 +
a_n), 0 < a_1 < 1, b_1 = \dfrac{1}{2}, b_{n+1} \ge
\dfrac{1}{2}(n+1)b_n\)，求证：
（1）\(a_{n+1} <
\dfrac{1}{2}a_n^2\)；
（2）若\(a_1 = \dfrac{\sqrt
2}{2}\)，则当\(n \ge
2\)时有\(b_n > a_n \cdot
n!\)。
$578. $ 从曲线\(x^2 - y^2 = 4\)上一点\(M\)引直线\(x - y = 3\)的垂线，垂足为\(N\)，求线段\(MN\)的中点\(P\)的轨迹方程。
$579. $ 已知双曲线\(C: \dfrac{x^2}{a^2} -
\dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0)\)，\(l_1,l_2\)为其渐近线，\(F\)为右焦点，过点\(F\)作直线\(l
\parallel l_2\)，且\(l\)交双曲线于点\(R\)，\(l_1 \cap l
= M\)，又过点\(F\)作\(x\)轴的垂线与\(C\)交于第一象限内的\(P\)点；
（1）求证\(\dfrac{|FP|}{|FR|}\)为定值；
（2）若\(\overrightarrow{FR} = \lambda
\overrightarrow{FM}\)，且\(\lambda \in
(\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3})\)，试求双曲线\(C\)的离心率\(e\)的取值范围。
$580. $ 过点\(N(0,1)\)和\(M(m,-1)(m \ne 0)\)的动直线\(l\)与抛物线\(C: x^2 = 2py\)交于\(P,Q\)两点，点\(P\)在\(MN\)之间，\(O\)为原点坐标，对于任意的动直线\(l\)，是否存在常数\(p\)，总有\(\angle MOP = \angle PON\)？
$581. $ 设过原点的一条射线\(l\)分别与\(\displaystyle \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1, \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8}=1\)交于\(A,B\)两点，其中点\(A\)在线段\(OB\)上，求\(\dfrac{|OA|}{|OB|}\)的最大值与最小值。
$582. $ 过原点的一条射线分别与相似比为\(2\)（即\(\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{b_2}{b_1} = 2\)）的两个椭圆\(C_1: \dfrac{x^2}{a_1^2} + \dfrac{y^2}{b_1^2} = 1 (a_1 > b_1 >0)\)和椭圆\(C_2: \dfrac{x^2}{a_2^2} + \dfrac{y^2}{b_2^2} = 1 (a_2>b_2>0)\)交于\(A,B\)两点，\(P\)为线段\(AB\)上一点，若\(|OA|,|OP|,|OB|\)成等比数列，证明\(P\)的轨迹方程为\(\dfrac{x^2}{b_2^2} + \dfrac{y^2}{b_1^2} = 1\)。
$583. $ 已知\(P(a,0)(a>0)\)为\(x\)轴上一动点，过\(P\)作直线交抛物线\(y^2 = 2px (p>0)\)于\(A,B\)两点，设\(S_{\triangle AOB} = t \cdot \tan \angle AOB\)，试问：\(a\)为何值时，\(t\)取得最小值，求出最小值。
$584. $ 若椭圆\(C_1:\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1\)的左右顶点分别为\(A,B\)，过\(F\)的直线交\(C_1\)于\(M,N\)零点，记\(\triangle AMB, \triangle ANB\)的面积分别为\(S_1,S_2\)，求\(\dfrac{S_1}{S_2}\)的取值范围。
$585. $ 在\(\triangle ABC\)中，若\(\sin C = \dfrac{\sin A + \sin B}{\cos A + \cos B}\)，则\(\triangle ABC\)是什么三角形？（直角，等腰，等边，锐角）
$586. $ 已知\(T=4\)的周期函数\(f(x) = \left\{ \begin{aligned} & m\sqrt{1-x^2} & x \in (-1,1] \\ & 1 - |x-2| & x \in (1, 3] \end{aligned}\right.\)，其中\(m > 0\)，若方程\(3f(x) = x\)有\(5\)个实数解，则\(m\)的取值范围是？
$587. $ 在\(\triangle ABC\)中，\(a,b,c\)成等差数列，则\(\dfrac{\cos A + \cos C}{1 + \cos A \cos C}=\)？
$588. $ 已知实数\(x,y\)满足\((3x + y)^5 + x^5 + 4x +y = 0\)，则\(4x + y=\)?
$589. $ 过抛物线\(x^2 = 4y\)准线上任一点作抛物线的两条切线，切点分别为\(M,M\)，求证：直线\(MN\)过一定点。
$590. $ 若规定\(E = \{a_1,a_2,\cdots,a_{10}\}\)的子集\(\{a_{i_1}, a_{i_2}, \cdots, a_{i_n}\}\)为\(E\)的第\(k\)个子集，其中\(k = 2^{i_1-1} + 2^{i_2-1} + \cdots + 2^{i_n-1}\)，则\(E\)的第\(211\)个子集是？
$591. $ 已知曲线\(C_1: \dfrac{y^2}{a^2} +
\dfrac{x^2}{b^2} = 1 (a >b >0, y \ge 0)\)与抛物线\(C_2: x^2 = 2py (p>0)\)的交点分别是\(A,B\)，曲线\(C_1\)与抛物线\(C_2\)在点\(A\)处的切线分别为\(l_1,l_2\)，且\(l_1,l_2\)的斜率分别为\(k_1,k_2\)；
（1）求证\(k_1 \cdot k_2 = -
\dfrac{2a^2}{b^2}\)；
（2）若\(l_2\)与\(y\)轴的焦点为\((0,-2)\)，当\(a^2
+ b^2\)取最小值\(9\)时，求曲线\(C_1\)和\(C_2\)的方程。
$592. $ 已知\(m \ge 0, n \ ge 0\)，求证\(\dfrac{1}{2}(m+n)^2 + \dfrac{1}{4}(m+n) \ge m\sqrt n + n \sqrt m\)。
$593. $ 求\(\sin^2 20^\circ + \cos^2 80^\circ + \sqrt 3 \sin 20^\circ \cos 80^\circ\)。
$594. $ 已知椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a >b > 0)\)，其长轴顶点为\(A,B\)，如果椭圆上存在一点\(Q\)，使得\(\angle AQB = 120^\circ\)，求该椭圆离心率的取值范围。
$595. $ 若曲线\(y=x^2\)的所有弦都不能被直线\(y = m(x-3)\)垂直平分，求\(m\)的最小值。
$596. $ 数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n^2 - a_n + 2\)，证明当\(n \ge 5\)时，\(\sum \limits_{i=1}^n \dfrac{1}{a_i} < n - 1\)。
$597. $ 对于每项均是正整数的数列\(A:
a_1,a_2,\cdots,a_n\)，定义变换\(T_1\)，将数列\(A\)变换成数列\(T_1(A):
a_1-1,a_2-1,\cdots,a_n-1\)，对于每项均是非负整数的数列\(B: b_1,b_2,\cdots,b_n\)，定义变换\(T_2\)，将数列\(B\)的各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列\(T_2(B)\)，又定义\(S(B) = 2(b_1+2b_2+\cdots+nb_n) + b_1^2 + b_2^2 +
\cdots + b_n^2\)，设\(A_0\)是每项都为正整数的有穷数列，零\(A_{k+1} = T_2(T_1(A_k)) (k=0,1,2,
\cdots)\)；
（1）对于各项均是正整数的有穷数列\(A\)，证明\(S(T_1(A)) = S(A)\)；
（2）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列\(A_0\)，存在正整数\(K\)，当\(k \ge
K\)时，有\(S(A_{k+1}) =
S(A_k)\)。
$598. $ 已知\(f_n(x)\)满足\(\left\{ \begin{aligned} & f_n(0) =
\dfrac{1}{2} \\ & n[f_n(\dfrac{k+1}{n}) - f_n(\dfrac{k}{n})] =
[f_n(\dfrac{k}{n}) - 1]f_n(\dfrac{k+1}{n}) & k=0,1,2,\cdots,n-1
\end{aligned} \right.\)；
（1）当\(n\)固定时，记\(a_k =
\dfrac{1}{f_n(\frac{k}{n})}\)，求\(a_k
(k=0,1,2,\cdots,n)\)；
（2）对\(n \in
\mathbb{N^+}\)，证明\(\dfrac{1}{4} <
f_n(1) < \dfrac{1}{3}\)。
$599. $ 若关于\(x\)的不等式\(x^2 + |x - a| < 2\)至少有一个正解，则实数\(a\)的取值范围是？
$600. $ 已知\(f(x) = ax^2 + (4a + 2)x + 4a - 6\)，则使函数\(f(x)\)至少有一个整数零点的所有正整数\(a\)的值之和为？