$401. $ 已知椭圆\(\displaystyle M: \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1\)，\(P\)为\(M\)上一点，\(EF\)是圆\(N: x^2 + (y - 2)^2 = 1\)的任意一条直径，\(E,F\)为直径的两个端点，求\(\overrightarrow{PE} \cdot \overrightarrow{PF}\)的最大值。
$402. $ 已知定义域为\([a,b]\)的函数\(f(x)\)，其图像是一条连续不断的曲线，且满足下列条件：（1）\(f(x)\)的值域为\(G \subset [a, b]\)；（2）对任意不同的\(x,y \in [a, b]\)，都有\(|f(x) - f(y)| < |x - y|\)，那么\(f(x)=x\)在区间\([a,b]\)上有多少个实数解。
$403. $ 已知\(F_1,F_2\)分别是椭圆\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)\)的左右焦点，其左准线与\(x\)轴交于点\(N\)，并且满足\(\overrightarrow{F_1F_2} = 2\overrightarrow{NF_1},
|\overrightarrow{F_1F_2}|=2\)，设\(A,B\)是上半椭圆上满足\(\overrightarrow{NA} = \lambda
\overrightarrow{NB}\)的两点，其中\(\displaystyle N \in [\frac{1}{5},
\frac{1}{3}]\)；
（1）求直线\(AB\)的斜率的取值范围；
（2）过\(A,B\)两点分别作椭圆的切线，两切线交于点\(P\)，求证\(P\)在一定直线上，并求点\(P\)的纵坐标的取值范围。
$404. $ 已知\(f(x) = \ln (1 + e^x) - m x (m
\ge 1)\)；
（1）若\(x_1, x_2 \in \mathbb{R}, x_1 \ne
x_2\)，当\(m=1\)时，比较\(f(\dfrac{x_1+x_2}{2})\)与\(\dfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2}\)的大小；
（2）设\(A,B,C\)是函数\(f(x)\)图像上不同的三点，求证\(ABC\)是钝角三角形。
$405. $ 已知双曲线\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)的左右焦点分别为\(F_1,F_2\)，\(O\)为双曲线的中心，\(P\)为双曲线右支上一点，\(\triangle PF_1F_2\)的内切圆的圆心为\(I\)，且\(\odot I\)与\(x\)轴相切于点\(A\)，过\(F_2\)作直线\(PI\)的垂线，垂足为\(B\)，则\(\dfrac{OA}{OB}=\)？
$406. $ 已知抛物线的方程\(y^2 = 2px (p>0)\)，直线\(l\)与抛物线交于两点\(A,B\)，且以弦\(AB\)为直径的圆\(M\)与抛物线准线相切，则弦\(AB\)的中点\(M\)的轨迹方程为？
$407. $ 设\(a_0 + a_1 (x+1) + a_2 (x+1)^2 + \cdots + a_{2013} (x+1)^{2013} = (x^2 + x + 1)^{1006}(x+2)\)，则\(a_1 + a_2 + \cdots + a_{2012}=\)？
$408. $ 已知\(P(4,0)\)，\(A,B\)为抛物线\(y^2 = 4x\)上两点，且\(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 0\)，则\(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{BA}\)的最小值为？
$409. $ 已知定义在\((0, +\infty)\)上的单调函数\(f(x)\)，且\(f(x)f(f(x) + \dfrac{1}{x})=1\)，则\(f(1)=\)？
$410. $ 底面边长为\(4\)的正四棱柱高\(h>6\)形的容器，先放入一个半径为\(2\)的球，然后再放入一个半径为\(1\)的小球，则小球最高点距棱柱底面距离为？
$411. $ 已知函数\(f(x) = |\log_2 |x|| - (\dfrac{1}{2})^x\)，则\(f(x)\)有几个零点，且所有零点之和与\(-1\)的大小关系是？
$412. $ 设椭圆\(C: \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1\)，圆\(O: x^2 + y^2 = 1\)，直线\(l: mx + ny = 1\)，试证：当\(P(m,n)\)在椭圆上运动时，直线\(l\)与圆\(O\)恒相交，并求直线\(l\)被圆\(O\)所截得的弦长\(L\)的取值范围。
$413. $ 已知函数\(f(x) = \left\{ \begin{aligned} &-x^3 + x^2 &x<1 \\ &a \ln x &x \ge 1\end{aligned} \right.\)，对任意给定的正实数\(a\)，曲线\(y=f(x)\)上是否存在两点\(P,Q\)使得\(\triangle POQ\)是以\(O\)为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在\(y\)轴上。
$414. $ 已知椭圆\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a> b > 0)\)和圆\(O: x^2 + y^2 = b^2\)，过椭圆上一点\(P\)引圆\(O\)的两条切线，切点分别为\(A,B\)，设直线\(AB\)与\(x,y\)轴分别交于\(M,N\)，求证\(\displaystyle \frac{a^2}{|ON|^2} + \frac{b^2}{|OM|^2}\)为定值。
$415. $ 函数\(f(x)= (-x^2 + ax) e^x (x \in \mathbb{R})\)是否可能为\(\mathbb{R}\)上的单调函数。
$416. $ 已知数列\(\{a_n\}, a_n \ge 0, a_1 =
0, a_{n+1}^2 + a_{n+1} - 1 = a_n^2 (n \in
\mathbb{N^+})\)，记\(\displaystyle S_n
= a_1 + a_2 + \cdots + a_n\)，\(\displaystyle T_n = \frac{1}{1+a_1} +
\frac{1}{(1+a_1)(1+a_2)} + \cdots +
\frac{1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)}\)；
（1）证明：\(a_n < a_{n+1}\)；
（2）\(S_n > n-2\)；
（3）\(T_n < 3\)。
$417. $ 已知\(f(x) = \dfrac{\sin \pi
x}{(x^2+1)(x^2 - 2x + 2)}\)，对于下列命题：
（1）\(f(x)\)是周期函数；
（2）\(f(x)\)既有最大值，又有最小值；
（3）\(f(x)\)的定义域为\(R\)且其图像有对称轴；
（4）对于任意的\(x \in (-1, 0), f^\prime(x)
< 0\)；
其中真命题的序号为？
$418. $ 双曲线\(W: x^2 - \dfrac{y^2}{3} = 1\)的左右焦点分别为\(F_1,F_2\)，过\(Q(0, -2)\)的直线\(l\)交双曲线\(W\)的右支于\(A,B\)两个不同点（\(B\)在\(A,Q\)之间），若点\(H(7, 0)\)在以线段\(AB\)为直径的圆的外部，试求\(\triangle AQH\)与\(\triangle BQH\)面积之比的取值范围。
$419. $ \(f(x) = [x[x]]\)，当\(x \in [0, n] (n \in \mathbb{N^+})\)时，设函数\(f(x)\)的值域为集合\(A\)，记\(A\)中的元素个数为\(a_n\)，则使\(\dfrac{a_n + 71}{n}\)为最小时的\(n\)是？
$420. $ 已知\(f(x) = \dfrac{4x - a}{1 +
x^2}\)，若\(f(x)\)在\([m,n]\)上为增函数，且\(f(m)f(n) = -4\)，当\(f(n) - f(m)\)取最小值时；
（1）求\(a\)和\(n\)的值；
（2）如果\(P(x_1,y_1), Q(x_2,y_2) (a < x_1
< x_2 < n)\)是\(f(x)\)图像上两点，且存在实数\(x_0\)使得\(f^\prime(x_0) = \dfrac{f(x_2) -f(x_1)}{x_2 -
x_1}\)，求证\(x_1 < x_0 <
x_2\)。
$421. $ \(a_n = 2n + 1, b_n = 3^n\)，试确定所有的\(p \in \mathbb{N^+}\)，是数列\(\{b_n\}\)中存在某个连续\(p\)项的和为数列\(\{a_n\}\)中的某一项，试证明。
$422. $ 设\(M\)是圆\(x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0\)上的动点，\(O\)是坐标原点，\(N\)是射线\(OM\)上的点，若\(|OM||ON|=150\)，求点\(N\)的轨迹方程。
$423. $ 若关于\(x\)的实系数方程不等式\(ax^2 + bx + c \ge 0 (a < b)\)的解集为\(\mathbb{R}\)，则\(\dfrac{a+2b+4c}{b-a}\)的最小值是？
$424. $ 已知与圆\(C: x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0\)的相切的直线\(l\)与\(x,y\)轴的正半轴交于点\(A,B\)，点\(O\)是坐标原点，则\(\triangle ABC\)面积的最小值为？
$425. $ 已知过点\(P(0,-1)\)的直线\(l\)与抛物线\(x^2 = 4y\)相交于\(A,B\)两点，\(l_1,l_2\)分别是抛物线在\(A,B\)两点处的切线，\(M,N\)分别是\(l_1,l_2\)与直线\(y=-1\)的交点，试比较\(|PM|\)与\(|PN|\)的大小。
$426. $ 已知\(f(x) = ax - \ln(-x), x \in
[-e, 0]\)，\(g(x) =
-\dfrac{\ln(-x)}{x}\)；
（1）当\(a=-1\)时，证明\(|f(x)| > g(x) + \dfrac{1}{2}\)；
（2）是否存在实数\(a\)，使得\(f(x)\)的最小值为\(3\)？
$427. $ 对于任意函数\(f(x), x\in D\)（定义域），现给出一个数列构造法，若\(x_1 \in D\)，令\(x_2 = f(x_1)\)，依此类推，现定义\(f(x) = \dfrac{4x - 2}{x + 1}\)，若初始数据为\(x_0\)时，产生无穷数列\(\{x_n\}\)满足，对任意正整数\(n\)，均有\(x_n < x_{n+1}\)，求\(x_0\)的值。
$428. $ 若\(f(x) = e^x - 1, g(x) = \ln(x+1)\)，当\(x_1>x_2>0\)时，试比较\(f(x_1-x_2), g(x_1-x_2), g(x_1) - g(x_2)\)的大小。
$429. $ 在\(\triangle ABC\)中，角\(A,B,C\)所对的边为\(a,b,c\)，且\(BC\)边上的高为\(\dfrac{a}{2}\)，则\(\dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c}\)的取值范围是？
$430. $ 已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 0, a_2 = 2\)，且对任意\(m,n \in \mathbb{N^+}\)，都有\(a_{2m-1} + a_{2n-1} = 2a_{m+n-1} + 2(m-n)^2\)，设\(c_n = (a_{n+1} - a_n)q^{n-1} (q \ne 0, n \in \mathbb{N^+})\)，求数列\(\{c_n\}\)的前\(n\)项和。
$431. $ 若数列\(\{b_n\}\)满足：\(b_{n+1} = b_n^2 - (n-2)b_n + 3\)，且\(b_1 \ge 1, n\in \mathbb{N^+}, a_n =
n\)；
（1）证明\(b_n \ge a_n, n\in
\mathbb{N^+}\)；
（2）记\(\displaystyle T_n = \frac{1}{3+b_1} +
\frac{1}{3+b_2} + \cdots + \frac{1}{3+b_n}\)，证明\(T_n < \dfrac{1}{2}\)。
$432. $ 已知二次函数\(f(x) = ax^2 + x(a \ne
0, a\in \mathbb{R})\)；
（1）对任意的\(x \in
\mathbb{R}\)，总有\(|f(\sin x \cos x)|
\le 1\)，试求\(a\)的取值范围；
（2）令\(a=1\)，求证：\(\displaystyle 1 < \sum_{i=n}^{3n}
\frac{i}{f(i)} < 2\)。
$433. $ 是否存在各项都是正整数的无穷数列\(\{c_n\}\)，使得\(c_{n+1}^2 > 2 c_n c_{n+2}\)都一切\(n \in \mathbb{N^+}\)都成立。
$434. $ 已知函数\(f(x) = \dfrac{1+x}{1-x} e^{-ax}\)，若对任意的\(x \in (0, 1)\)，恒有\(f(x)>1\)，求\(a\)的取值范围。
$435. $ 已知\(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\)，对于定义在\((e, +\infty)\)上的函数\(h(x)\)有\(h(x) = (f(x) - e)(x-e)^2\)，已知\(a_1,a_2,a_3,a_4 \in (e, +\infty), a_1 < a_2, a_3 = ta_1 + (1-t)a_2, a_4 = (1-t)a_1 + ta_2\)，若\(\displaystyle \left| \dfrac{h(a_3) - h(a_4)}{h(a_1) - h(a_2)} \right| < 1\)，求\(t\)的取值范围。
$436. $ 是否存在过点\((-1,1)\)的直线与函数\(f(x) = \ln x - \dfrac{x-1}{x}\)的图像相切？若存在，有多少条？若不存在，请说明理由。
$437. $ 已知\(x, y\)满足约束条件\(\left\{ \begin{aligned} x + y & \le 3 \\ x - y & \ge -1 \\ y & \ge 1 \end{aligned} \right.\)，若\(0 \le ax + by \le 2\)，则\(\dfrac{b+2}{a+1}\)的取值范围是？
$438. $ 已知圆\(M: x^2 + y^2 = \dfrac{2}{3}\)的切线\(l\)与椭圆\(\dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1\)相交于\(A,B\)两点，那么以\(AB\)为直径的圆是否经过定点？
$439. $ 在\(\triangle ABC\)中，角\(A,B,C\)所对的边为\(a,b,c\)，面积\(S = \dfrac{1}{4}(b^2 + c^2 - a^2)\)，若\(a = 10\)，则\(bc\)的最大值为？
$440. $ 求证：对任意不小于\(3\)的正整数\(n\)，不等式\(\displaystyle (\frac{2}{n!})^2 < \ln \frac{n+1}{3} < \frac{2}{n!}\)都成立。
$441. $ 已知\(f(x) = x^2 + bx + 2, x \in
\mathbb{R}\)；
（1）若函数\(F(x) = f(f(x))\)与\(f(x)\)在\(x \in
\mathbb{R}\)上有相同的值域，求\(b\)的取值范围；
（2）若方程\(f(x) + |x^2 - 1| =
2\)在\((0,2)\)上有两个不同的解\(x_1,x_2\)，求\(b\)的取值范围，并证明\(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} <
4\)。
$442. $ 已知角\(\alpha\)为锐角，求证\(\displaystyle (1 + \frac{1}{\sin \alpha})(1 + \frac{1}{\sin \alpha}) \ge 3 + 2 \sqrt 2\)。
$443. $ 已知\(\alpha, \beta \in (0, \pi)\)，且\(\cos \alpha + \cos \beta - \cos(\alpha + \beta) = \dfrac{2}{3}\)，试求\(\alpha, \beta\)的值。
$444. $ 已知\(x_1,x_2,x_3,x_4\)为实数，且\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6, x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 12\)，求证\(0 \le x_i \le 3, i = 1,2,3,4\)。
$445. $ 设\(a_i \in \mathbb{R}_+ (i=1,2,\cdots,n), a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1\)，求证：\(\displaystyle (a_1 + \frac{1}{a_1})^2 + (a_2 + \frac{1}{a_2})^2 + \cdots + (a_n + \frac{1}{a_n})^2 \ge \frac{(n^2 + 1)^2}{n}\)。
$446. $ \(a,b,c\)为三角形三边，求证\((a^2 + b^2 + c^2)^2 \ge 2 (a^4 + b^4 + c^4)\)。
$447. $ 已知\(i, m, n\)是正整数，且\(1 < i \le m \le n\)，证明\(n^i A_{m}^i < m^i A_n^i\)。
$448. $ 已知圆\(M: x^2 + (y - 2)^2 =
1\)，\(Q\)是\(x\)轴上的动点，\(QA,QB\)分别切圆\(M\)于\(A,B\)两点；
（1）若\(|AB| = \dfrac{4 \sqrt
2}{3}\)，求直线\(MQ\)的方程；
（2）求证：直线\(AB\)恒过定点。
$449. $ 已知抛物线\(x^2 =
4y\)的焦点\(F\)，过焦点\(F\)且不平行于\(x\)轴的直线\(l\)交抛物线于\(A,B\)两点，抛物线在\(A,B\)两点处的切线交于点\(M\)；
（1）求证：\(A,M,B\)三点的横坐标成等差数列；
（2）设直线\(MF\)交抛物线\(C,D\)两点，求四边形\(ABCD\)的面积。
$450. $ 对于直角坐标系内任意两点\(P_1,P_2\)，定义运算\(P_1 \otimes P_1 = (x_1, y_2) \otimes (x_2, y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2 + x_2y_1)\)，若点\(M\)是与坐标原点\(O\)相异的点，且\(M \otimes (1, 1) = N\)，则\(\angle MON=\)？
$451. $ \(O\)是\(\triangle ABC\)内任意一点，若存在实数\(k, \lambda\)，使得\(\overrightarrow{AE} = k \overrightarrow{EC}, \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OE}\)，则\(k,\lambda\)的值分别为？
$452. $ 设锐角三角形\(\triangle ABC\)的内角\(A,B,C\)所对的边为\(a,b,c\)且\(\cos C = a - \dfrac{1}{2}c, b = 1\)，求\(\triangle ABC\)周长\(l\)的取值范围。
$453. $ 若方程\(\ln (x + 1) = \dfrac{1}{6}x^3 + b\)在\((0, +\infty)\)上有且仅有两个不同的实数解\(x_1,x_2\)，比较\(x_1x_2+1\)与\(x_1 + x_2\)的大小。
$454. $ 求证：\(\displaystyle \frac{\ln 2}{2!} + \frac{\ln 3}{3!} + \cdots + \frac{\ln n}{n!} < 1\)。
$455. $ 求证：\(\displaystyle \frac{\ln 2}{2^4} + \frac{\ln 3}{3^4} + \cdots + \frac{\ln n}{n^4} < \frac{1}{2e}\)。
$456. $ 求证：\(\displaystyle \frac{\ln 2^2}{2^2} + \frac{\ln 3^2}{3^2} + \cdots + \frac{\ln (n + 1)^2}{(n+1)^2} > \frac{n}{2(n+1)(n+2)}, n \in \mathbb{N^+}\)。
$457. $ 设抛物线过定点\(A(2,0)\)且以直线\(x=-2\)为准线；
（1）求抛物线顶点的轨迹\(C\)的方程；
（2）若\(A,B\)是轨迹\(C\)上的两个动点，且\(OA \perp OB\)，\(O\)为坐标原点，过点\(D\)作直线\(AB\)的垂线\(OD\)，垂足为\(D\)，求证点\(D\)在定圆上。
$458. $ 数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1 = \dfrac{1}{2}, a_{n+1} = \dfrac{na_n}{(n+1)(na_n + 1)}\)，若其前\(n\)项和为\(S_n\)，求证\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(1 - \frac{S_i}{S_{i+1}})\frac{1}{\sqrt{S_i + 1}} < 2(2\sqrt2 -1)\)。
$459. $ 从数列\(\{a_n\}\)中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个新的数列\(a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3},
\dots\)，称之为数列\(\{a_n\}\)的一个子数列，设数列\(\{a_n\}\)是一个公差不为零的等差数列，且\(a_3 = 6\)，取\(n_1 = 1, n_2 = 3\)；
（1）若\(a_1 = 4\)，那么数列\(\{a_n\}\)中是否存在以\(a_1,a_3\)为首前\(2\)项的无穷等比数列\(\{a_{n_k}\}\)，若存在，求\(n_k\)的表达式；
（2）在（1）问中，若\(a_1\)未知，也满足（1）中的其他条件，试求\(a_1\)的最小正整数值及\(n_k\)的表达式。
$460. $ 已知数列\(a_n = \dfrac{n}{2^n}, b_n = \ln (1 + a_n) + \dfrac{1}{2}a_n^2\)，记数列\(\{a_n^2\}, \{b_n\}\)的前\(n\)项和分别为\(A_n,B_n\)，证明\(2B_n - A_n < 4\)。
$461. $ 在\((0 + \infty)\)上，\(xg^\prime(x) > g(x)\)恒成立（\(g^\prime(x)\)为\(g(x)\)的导函数），当\(x_1>0,x_2>0\)时，求证\(g(x_1) + g(x_2) < g(x_1 + x_2)\)。
$462. $ 已知\(A,B\)为椭圆\(\displaystyle \frac{x^2}{4} +
\frac{y^2}{3}=1\)上的两点且直线\(AB
\perp x\)轴，点\(N(4,0)\)，直线\(AF\)与\(BN\)交于点\(M\)，
（1）求证点\(M\)在椭圆上；
（2）求\(\triangle
AMN\)面积的最大值。
$463. $ 在平面直角坐标系中，定义点\(P(x_1,x_2),Q(x_2,y_2)\)之间的交通距离\(\rho(P,Q) = |x_1-x_2| + |y_1-y_2|\)，则与点\(A(2,3),B(-6,9),C(-3,-8)\)的交通距离均相等的交通距离为？
$464. $ 已知双曲线\(C:\displaystyle
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)\)和圆\(O: x^2+y^2 = b^2\)，过双曲线\(C\)上一点\(P\)引圆\(O\)的切线，切点分别为\(A,B\)；
（1）若双曲线上存在点\(P\)，使得\(\angle APB =
\dfrac{\pi}{2}\)，求双曲线离心率的取值范围；
（2）设直线\(AB\)与\(x,y\)轴分别交于\(M,N\)点，求\(\displaystyle \frac{a^2}{|ON|^2} -
\frac{b^2}{|OM|^2}\)的值。
$465. $ 已知函数\(f(x) = \dfrac{9^x+k3^x+1}{9^x+3^x+1}\)，若对任意的实数\(x_1,x_2,x_3\)均存在\(f(x_1),f(x_2),f(x_3)\)为三边长的三角形，则\(k\)的取值范围是？
$466. $ 过直线\(y = -m
(m>0)\)上一动点\(Q\)作\(x\)轴的垂线交抛物线\(C: y = x^2\)相交于点\(P\)，抛物线上两点\(A,B\)满足\(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} =
2\overrightarrow{QP}\)；
（1）求证：直线\(AB\)与抛物线\(C\)在在点\(P\)出的切线\(l\)平行，且直线\(AB\)恒过定点；
（2）是否存在\(m\)，使得点\(Q\)在直线\(y=-m\)上运动时，恒有\(\overrightarrow{QA} \perp
\overrightarrow{QB}\)？
$467. $ 已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1,
a_n+a_{n+1}+(-1)^{n+1}a_na_{n+1}=0\)；
（1）证明：当\(n>1\)时，\(\dfrac{1}{2} \le a_1 + a_2 + \cdots + a_n <
1\)；
（2）设\(b_n = |a_1a_2\cdots
a_n|\)，函数\(f_n(x)=1+b_1x+b_2x^2+
\cdots b_{2n}x^{2n}, n \in \mathbb{N^+}\)，证明对任意的\(n \in \mathbb{N^+}\)，函数\(f_n(x)\)无零点。
$468. $ 已知\(f(x) = x^2 + \dfrac{8}{x}\)，证明：当\(a>3\)时，关于\(x\)的方程\(f(x)=f(a)\)有三个实数解。
$469. $ 已知定义在\(\mathbb{R}\)上的函数\(f(x)\)满足以下条件，（1）对任意\(x \in \mathbb{R},
f(x)>0\)；（2）对任意\(x \in
\mathbb{R}, y \in \mathbb{R}\)，有\(f(xy) = [f(x)]^y\)；（3）\(f(\dfrac{1}{3})>1\)；
（1）求证：\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上为递增函数；
（2）若\(a>b>c>0\)且\(b^2=ac\)，求证\(f(a)+f(c)>2f(b)\)。
$470. $ 函数\(f(x)=2x^2 + (x-a)|x-a|, a \in \mathbb{R}\)，求\(f(x)\)的最小值。
$471. $ 如果函数\(f(x) = a^x(a^x - 3a^2 - 1) (a>0\)且\(a \ne 1)\)在区间\([0, +\infty)\)上是增函数，那么实数\(a\)的取值范围是？
$472. $ 等差数列的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(S_n-S_m=a (n >m )\)，则\(S_{n+m}=\)？
$473. $ 已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1, a_{n+1}=\left\{ \begin{aligned} &
\dfrac{1}{2}a_n+n & n\text{为奇数}\\ & a_n-2n &
n\text{为偶数} \end{aligned}\right.\)，且\(b_n = a_n -2\)；
（1）求证\(\{b_n\}\)为等比数列；
（2）求\(S_{2n+1}=a_1+a_2+\cdots+a_{2n+1}\)。
$474. $ 证明：两个公比不相等的等比数列\(\{a_n\}, \{b_n\}\)的和\(\{a_n + b_n\}\)不是等比数列。
$475. $ 已知\(P(4,0)\)是圆\(x^2+y^2=36\)内一点，\(A,B\)是圆上两动点且满足\(\angle APB = 90^\circ\)，求矩形\(APBQ\)的顶点\(Q\)的轨迹方程。
$476. $ 已知双曲线\(C: \dfrac{x^2}{4} - y^2 = 1\)，如图过点\(M(x_1,y_1)\)的直线\(l_1: x_1x+4y_1y=4\)与过点\(N(x_2,y_2)\)的直线\(l_2: x_2x+4y_2y=4\)的交点\(E\)在双曲线\(C\)上，直线\(MN\)与双曲线的两条渐近线分别交于\(G,H\)两点，求\(\overrightarrow{OG} \cdot \overrightarrow{OH}\)的值。
$477. $ 已知\(A(-1,1),B(1,-1)\)，点\(P\)是抛物线\(x^2 + 3y^2=4\)的一动点，直线\(AP\)和\(BP\)分别与\(x=3\)交于点\(M,N\)，是否存在点\(P\)使得\(\triangle PAB\)与\(\triangle PMN\)的面积相等？
$478. $ 已知\(E\)的方程为\(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)， 设直线\(l\)与圆\(C: x^2 + y^2 = R^2 (1<R<2)\)相切于\(A_1\)，且\(l\)与轨迹\(E\)只有一个公共点\(B_1\)，当\(R\)为何值时，\(|A_1B_1|\)取得最大值？
$479. $ 已知复平面内一个点列\(z_n = \dfrac{n+1}{2n}+i\dfrac{3+n}{4n}\)（\(n\)为正整数），是否存在一个圆使得\(\{z_n\}\)中任意一点都不在圆内？若存在，求出半径最小的圆的方程，若不存在，请说明理由。
$480. $ 已知椭圆方程\(\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{27}=1\)，在椭圆内任取三个不同点\(P_1,P_2,P_3\)使得\(\angle P_1FP_2=\angle P_2FP_3 = \angle P_3FP_1\)，证明\(\displaystyle \frac{1}{|FP_1|} + \frac{1}{|FP_2|} + \frac{1}{|FP_3|}\)为定值，并求出此定值。（\(F\)为右焦点）
$481. $ 如果\(x \in [0, 1]\)时，\(|ax^2+x| \le 1\)恒成立，试求\(a\)的取值范围。
$482. $ 设函数\(f(x) = \ln [(x-1)(2-x)]\)的定义域为\(A\)，函数\(g(x)=\lg (\sqrt{a^2-2^x}-1)\)的定义域是\(B\)，若\(A \subset B\)，则正数\(a\)的取值范围是？
$483. $ 设\(f(x) = x^2-1\)，对任意\(x \in [\dfrac{3}{2}, +\infty]\)，\(f(\dfrac{x}{m}) - 4m^2f(x) \le f(x-1) + 4f(m)\)恒成立，则实数\(m\)的取值范围是？
$484. $ 关于\(x\)的不等式组\(\left\{ \begin{aligned} &x^2-x-2>0 \\ &2x^2+(2k+5)x+5k<0 \end{aligned}\right.\) 的整数解的集合为\(\{-2\}\)，则实数\(k\)的取值范围是？
$485. $ 不等式\(e^x-x>ax\)的解集为\(P\)，且\([0,2] \subset P\)，则实数\(a\)的取值范围是？
$486. $ 已知\(f(x) = x + \dfrac{1}{x} -2\)，若方程\(f(k^x-1) + k(\dfrac{2}{|2^x-1|}-3)=0\)有三个不同的实数解，则\(k\)的取值范围是？
$487. $ 若数列\(\{x_n\}\)满足\(x_{n+1} = \dfrac{2x_n}{x_n^2+1} (n \in \mathbb{N^+})\)，求证\(\dfrac{(x_1-x_2)^2}{x_1x_2} + \dfrac{(x_2-x_3)^2}{x_2x_3} + \cdots + \dfrac{(x_n-x_{n+1})^2}{x_nx_{n+1}} < \dfrac{5}{16}\)。
$488. $ 已知函数\(f(x) = 1 - \dfrac{\sin x}{1 + |x|} (x \in \mathbb{R})\)的最大值为\(M\)，最小值为\(m\)，则\(M+m=\)？
$489. $ 已知函数\(f(x) = \ln x + 2x, g(x) = a(x^2+x)\)，若\(f(x) \le g(x)\)恒成立，则\(a\)的取值范围是？
$490. $ 已知函数\(f(x) = ax^3 -
\dfrac{1}{2}\sin \theta \cdot x^2 - 2x + C\)的图像过点\((1, \dfrac{37}{6})\)，且在\([-2,1)\)内单调递减，在\([1, +\infty)\)内单调递增；
（1）求\(f(x)\)的解析式；
（2）若对任意的\(x_1,x_2 \in [m, m+3] (m \ge
0)\)不等式\(|f(x_1) - f(x_2)| \le
\frac{45}{2}\)恒成立，求\(m\)的取值范围。
$491. $ 设\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)是各项均不为\(0\)的等差数列，\(n \ge 4\)且公差\(d \ne
0\)，若将数列删去一项后所得（按原来顺序）的数列为等比数列；
（1）求\(n\)的所有可能取值；
（2）求证：对于给定的正整数\(n (n \ge
4)\)，存在一个各项及公差均不为\(0\)的数列\(b_1,b_2,\cdots,b_n\)，其中任意三项不能成等比数列。
$492. $ 数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，且\(n
\ge 2\)时，\(\displaystyle a_n = n^2
(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \dfrac{1}{(n+1)^2})\)；
（1）证明：当\(n \ge 2\)时，\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{(n+1)^2} -
\frac{a_n}{n^2} = \frac{1}{n^2}\)；
（2）证明：\(\displaystyle
(1+\frac{1}{a_1})(1+\frac{1}{a_2})\cdots(1+\frac{1}{a_n}) <
4\)。
$493. $ 对于各项均为整数的数列\(\{a_n\}\)，如果\(a_i+i(i=1,2,\cdots,n)\)为完全平方数，则称数列\(\{a_n\}\)具有P性质，不论数列\(\{a_n\}\)是否具有P性质，如果存在与\(\{a_n\}\)不是同一数列的\(\{b_n\}\)，且满足（1）\(b_1,b_2,\cdots,b_n\)是\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)的一个排列，（2）数列\(\{b_n\}\)具有P性质，则称数列具有变换P性质；对于有限数列\(A: 1,2,\cdots,n\)，某人已验证当\(n \in [12,m^2](m \ge 5)\)时，数列\(A\)具有变换P性质，试证明当\(n \in [m^2+1, (m+1)^2]\)时数列\(A\)也具有变换P性质。（\(m\)为常数）
$494. $ 对于各数互不相等的整数数组\((i_1,i_2,\cdots,i_n)(n \ge 3)\)，对于任意的\(p,q \in \{1, 2, \cdots, n\}\)，当\(p<q\)时，有\(i_p > i_q\)，则称\(i_p,i_q\)是该数组的一个逆序，一个数组中的所有逆序的个数成为逆序数，若数组\((i_1,i_2,\cdots,i_n)\)中的逆序数为\(n\)，则数组\(i_n,i_{n-1},\cdots,i_1\)中的逆序数为？
$495. $ 一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数\(x\)，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数\(x\)生成两个数，一个是\(-x\)，另一个是\(x+3\)，若\(x=1\)，前\(n\)次生成所有数中不同的数的个数为\(T_n\)，则\(T_n=\)？
$496. $ 对于数列\(A:
a_1,a_2,\cdots,a_n\)，若满足\(a_i \in
\{0, 1\} (i=1,2,\cdots,n)\)，则称数列\(A\)为“0-1数列”，定义变换\(T\)，\(T\)将"0-1"数列\(A\)中原有的每个\(1\)都变成\(0,1\)，原有的每个\(0\)都变成\(1,0\)，例如\(A:
1,0,1\)，则\(T(A):
0,1,1,0,0,1\)，设\(A_0\)是"0-1"数列，令\(A_k = T(A_{k-1}) (k=1,2,\cdots)\)；
（1）若数列\(A_0\)共有\(10\)项，这数列\(A_2\)中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由。
（2）若\(A_0\)为\(0,1\)，记数列\(A_k\)中连续两项都是\(0\)的数对的个数为\(l_k(k=1,2,3\cdots)\)，求\(l_k\)关于\(k\)的表达式。
$497. $ 如图，\(O,A,B\)是平面上的三点，向量\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec b\)，设\(P\)是线段\(AB\)的垂直平分线上的一点，向量\(\overrightarrow{OP} = \vec p\)，若\(|\vec a| = 4, |\vec b|=2\)，则\(\vec p (\vec a - \vec p)=\)？
$498. $ 已知直线\(l: x=my+1\)，过椭圆\(C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=1\)的右焦点\(F\)且交椭圆\(C\)于\(A,B\)两点，\(AB\)在直线\(l_1: x=a^2\)上的射影依次为\(D,E\)，连接\(AE,BD\)，试证明\(AE,BD\)交于一定点，并求出定点坐标。
$499. $ 抛物线定点为坐标原点\(O\)，焦点为\(F\)，\(M\)是抛物线上的动点，则\(\frac{MO}{MF}\)的最大值为？
$500. $ 在一个棱长为\(6\)厘米的密封正方体盒子中，放一个半径为\(1\)厘米的小球，任意滚动盒子，小球不能到达的空间为\(G\)，则这个正方体盒子中的任意一点属于\(G\)的概率是？