$101. $ 已知\(g(x)\)的图像是\(f(x)\)的图像关于原点对称，且\(f(x) = x^2 + 2x\)；
（1）解不等式\(g(x) \ge f(x) - |x -
1|\)；
（2）若\(h(x) = g(x) - \lambda f(x) +
1\)在\([-1,1]\)上是增函数，求实数\(\lambda\)的取值范围。
$102. $ 已知\(\displaystyle \vec a = (\sqrt2 \sin wx, \cos wx + \sin wx), \vec b = (\cos wx, \frac{\sqrt 6}{2} \cos wx - \frac{\sqrt 6}{2} \sin wx)\)，其中\(0 < w < 2\)，函数\(f(x) = \vec a \cdot \vec b\)，且\(f(x)\)的图像关于直线\(\displaystyle x = \frac{\pi}{12}\)对称，且在\(\displaystyle x = \frac{\pi}{12}\)处取最大值，若\(\displaystyle x \in [\frac{5\pi}{24}, \frac{7 \pi}{12}]\)时，\(|f(x) - m| \le 3\)恒成立，求\(m\)的取值范围。
$103. $ 如图，\(Rt \triangle
ABC\)中，\(S,r\)分别是\(\triangle ABC\)的面积和内切圆半径，\(l\)是三角形周长，令\(\displaystyle t = \frac{lr}{S}\)；
（1）\(t\)表示为\(\angle A\)的函数\(t = f(A)\)；
（2）\(t = f(A)\)的取值范围。
$104. $ 在\(\triangle ABC\)中，若\(\displaystyle \frac{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC}}{3} = \frac{\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA}}{2} = \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow{AB}\)，则\(\tan A=\)?
$105. $ 已知\(\displaystyle \vec a = (\sqrt
3, -1), \vec b = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt 3}{2}), \vec c = \vec a +
(\cos \pi x - \sin pi x) \vec b, \vec d = (y - 1) \vec a + (\sin \pi x)
\vec b\)，其中\(\displaystyle x,y \in
\mathbb{R}, x \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), \vec c \perp \vec
d\)，
（1）求函数\(y=f(x)\)的解析式与最大值；
（2）若函数\(f(x)\)是区间\(\displaystyle [1 - \frac{p}{2},
\frac{p}{16}]\)上的减函数，求\(p\)的取值范围。
$106. $ \(l_1,l_2,l_3\)是三条平行的直线，\(l_1,l_2\)的距离为\(1\)，\(l_2,l_3\)的距离为\(2\)，正三角形\(ABC\)的三个顶点分别在\(l_1,l_2,l_3\)上，则\(\triangle ABC\)的边长是？
$107. $ 已知椭圆\(\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1\)的左右顶点为\(A,B\)，右焦点为\(F\)，设过点\(T(9,m)\)的直线\(TA,TB\)与椭圆分别交于\(M(x_1,y_2), N(x_2,y_2)\)，其中\(m>0, y_1>0, y_2<0\)，求证\(MN\)必过一定点。
$108. $ 已知关于\(x\)的不等式组\(1 \le kx^2 + 2x + k \le 2\)有唯一的实数解，则实数\(k\)的取值范围是？
$109. $ 当\(\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2}\)时，函数\(\displaystyle f(x) = \frac{1 + \cos 2x + 8 \sin^2 x}{\sin 2x}\)的最小值是？
$110. $ 已知\(a \ge 0, b \ge 0, a + b = 1\)，则\(\displaystyle \sqrt {a + \frac{1}{2}} + \sqrt {b + \frac{1}{2}}\)的取值范围是？
$111. $ 在平行四边形\(ABCD\)中，\(AB=AC=1\)，\(\angle ACD = 90^\circ\)，将它们沿对角线\(AC\)折起，使\(AB\)与\(CD\)成\(60^\circ\)角，求\(BD\)的长度。
$112. $ 过抛物线\(C: y =
x^2\)上两点\(M,N\)的直线\(l\)交\(y\)轴于点\(D(0,
b)\)；
（1）若\(\angle MDN\)为钝角（\(O\)为坐标原点），求\(b\)的取值范围；
（2）若\(b = 2\)，曲线\(C\)在\(M,N\)处的切线的交点为\(Q\)，求证点\(Q\)必在一条定直线上运动。
$113. $ 设\(G,M\)分别为不等边\(\triangle ABC\)的垂心与外心，\(A(-1, 0), B(1, 0)\)，且\(GM \parallel AB\)，求点\(C\)的轨迹方程。
$114. $ 在平面直角坐标系中，过顶点\(C(0,p)\)作直线与抛物线\(x^2 = 2py (p>0)\)相交于\(A,B\)两点，若点\(N\)是点\(C\)关于原点\(O\)的对称点，
（1）求\(\triangle
ANB\)面积的最小值；
（2）是否存在垂直于\(y\)轴的直线\(l\)，使得\(l\)被以\(AC\)为直径的圆截得的弦长恒为定值。
$115. $ 已知双曲线\(\displaystyle \frac{x^2}{m^2} - \frac{y^2}{n^2} = 1 (m >0, n>0)\)的顶点\(A_1,A_2\)，与\(y\)轴平线的直线\(l\)交双曲线于点\(P,Q\)，求直线\(A_1P\)与\(A_2Q\)交点\(M\)的轨迹方程。
$116. $ 已知\(f(f(x) - x^2 + x) = f(x) - x^2 + x\)，设有且仅有一个实数\(x_0\)使得\(f(x_0) = x_0\)，求函数\(f(x)\)的解析式。
$117. $ 设\(x \ge 0, y \ge 0\)，且\(\displaystyle 2x + y = \frac{1}{2}\)，那么函数\(\displaystyle y = \log_{\frac{1}{5}} (4x^2 + 8xy + 1)\)的最大值为？
$118. $ 将半径为\(1\)的四个钢球完全装入正四面体的容器里，则这个四面体的高的最小值为？
$119. $ 过点\(A(11, 2)\)作圆\(x^2 + y^2 + 2x - 4y - 164 = 0\)的弦，其中弦为整数的共有多少条？
$120. $ 若圆\(O_1: x^2 + y^2 = 5\)与圆\(O_2: (x-m)^2 + y^2 = 20 (m \in \mathbb{R})\)相交于\(A,B\)两点，且两圆在点\(A\)处的切线相互垂直，则线段\(AB\)的长度是？
$121. $ 若圆\(x^2 + y^2 = 4\)与圆\(x^2 + y^2 + 2ay - 6 = 0 (a > 0)\)的公共弦长为\(2\sqrt 3\)，则\(a=\)?
$122. $ 已知圆\(x^2 + y^2 = 1\)，过点\(A(1, 0)\)作直线交圆于\(Q\)，在直线上取一点\(P\)，作\(P\)到\(x=-1\)的距离等于\(|PQ|\)，求点\(P\)的运动轨迹。
$123. $ 已知\(x_1 + \lg x_1 = 3, x_2 + 10^{x_2} = 3\)，求\(x_1 + x_2\)。
$124. $ 过圆\(x^2 + y^2 = 5\)内一点\(\displaystyle P(\frac{\sqrt 5}{2}, \frac{\sqrt 3}{2})\)有\(n\)条弦，这\(n\)条弦长成等差数列\(\{a_n\}\)，如果过点\(P\)的最短弦长为\(a_1\)，最长弦长为\(a_n\)，且公差\(\displaystyle d \in (\frac{1}{6}, \frac{1}{3})\)，那么\(n\)的取值集合为?
$125. $ 已知\(a > b >0\)，则\(\displaystyle a^2 + \frac{25}{b(a-b)}\)的最小值为？
$126. $ 已知\(a, b, c \in (0, 1)\)，求证\((1-a)b, (1-b)c, (1-c)a\)不能同时大于\(\frac{1}{4}\)。
$127. $ 设\(f(x) = |\lg x|\)，\(a,b\)满足\(\displaystyle f(a) = f(b) =
2f(\frac{a+b}{2})\)，其中\(0 < a
< b\)；
（1）求证：\(a < 1 < b\)；
（2）求证：\(2 < 4b - b^2 <
3\)。
$128. $ 已知\(\displaystyle f(x) = 4 \sin^2 (\frac{\pi}{4} + x) - 2 \sqrt 3 \cos 2x - 1\)，且给定条件\(\displaystyle p: \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}\)，条件\(q: |f(x) - m| < 2\)，且\(p\)是\(q\)的充分条件，求\(m\)的取值范围。
$129. $ 在棱长为\(a\)的正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(\displaystyle \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB_1}\)，在平面\(ABCD\)中取一点\(F\)，使\(\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG}\)最小，则最小值为？
$130. $ 设\(f(x) = ax^2 - (a^2 - b^2) x - 4c^2\)，且\(f(2) = 0\)，在\(\triangle ABC\)中，\(a,b, c\)分别是角\(A,B,C\)的对边，求角\(C\)的取值范围。
$131. $ 在\(\triangle ABC\)中，\(A\)最大，\(C\)最小，且\(A = 2C\)，\(a + c = 2b\)，求此三边之比。
$132. $ 已知\(\triangle ABC\)满足\(a^2 - a - 2b - 2c = 0, a + 2b - 2c + 3 = 0\)，判断哪一个角最大，并求出最大角。
$133. $ \(B_1,B_2,\cdots,B_n\)依次为曲线\(\displaystyle y = \frac{1}{x} (x >
0)\)上的点，\(A_1,A_2,\cdots,
A_n\)依次为\(x\)轴上的点，且\(\triangle OB_1A_1, \triangle A_1B_2A_2, \cdots,
\triangle A_{n-1}B_nA_n\)均为等腰直角三角形（其中\(B_1,B_2,\cdots,B_n\)为直角顶点），设\(A_n\)的坐标为\((x_n, 0)\)；
（1）求数列\(\{x_n\}\)的通项公式；
（2）设\(S_n\)为数列\(\displaystyle \{ \frac{1}{x_n}
\}\)的前\(n\)项和，试比较\(\log_a (S_n + 1)\)与\(\displaystyle \frac{1}{2} \log_a
(n+1)\)的大小，其中\(a > 0, a \ne
1\)。
$134. $ 已知等比数列\(\{a_n\}\)的公比\(q > 1\)，第17项的平方等于第24项，求使\(\displaystyle a_1 + a_2 + \cdots + a_n > \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}\)成立的\(n\)的取值范围。
$135. $ 已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)满足\(\displaystyle S_n - S_{n-2} = 3 (-\frac{1}{2})^{n-1} (n \ge 3)\)且\(\displaystyle S_1 = 1, S_2 = -\frac{3}{2}\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。
$136. $ 函数\(f(x) = ax^2 + bx + c (a > 0)\)，方程\(f(x) = x\)有两个实根\(x_1, x_2\)，满足\(\displaystyle 0 < x_1 < x_2 < \frac{1}{a}\)，当\(x \in (0, x_1)\)时，证明\(x < f(x) < x_1\)。
$137. $ 已知函数\(f(x) = ax^2 + bx + c (a,b
\in \mathbb{R}, a > 0)\)，设方程\(f(x) = x\)的两个实根\(x_1, x_2\)；
（1）如果\(x_1 < 2 < x_2 <
4\)，设\(f(x)\)的对称轴为\(x = x_0\)，求证\(x_0 > -1\)；
（2）如果\(|x_1| < 2, |x_2 - x_1| =
2\)，求\(b\)的取值范围。
$138. $ 设\(\{a_n\}\)是由正数组成的等比数列，\(S_n\)是其\(n\)项和；
（1）证明：\(\displaystyle \frac{1}{2} (\lg
s_n + \lg S_{n+2}) < \lg S_{n+1}\)；
（2）是否存在常数\(C>0\)，使得\(\displaystyle \frac{1}{2}[\lg (S_n - C) + \lg
(S_{n+2} - C)] = \lg (S_{n+1} - C)\)成立，并证明你的结论。
$139. $ 已知圆\((x - 3)^2 + y^2 = 4\)和过原点的直线\(y = kx\)的交点为\(P,Q\)，则\(|OP|\cdot |OQ|=\)？
$140. $ 如图，在四面体\(ABCD\)中，截面\(AEF\)经过四面体的内切球的球心\(O\)，且与\(BC,DC\)分别交于\(E,F\)，如该截面将四面体分成体积相等的两部分，设\(A-BEFD\)与三棱锥\(A-EFC\)的表面积分别为\(S_1,S_2\)，则\(S_1\)与\(S_2\)的大小关系为？
$141. $ 证明：过椭圆\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)\)外一点\(P\)作其两条切线\(PA,PB\)，其中\(A,B\)为切点，点\(F\)为椭圆的一个焦点，则\(\angle PFA = \angle PFB\)。
$142. $ 证明：过抛物线\(x^2 = 2py (p>0)\)外一点\(P\)作其两条切线\(PA,PB\)，若\(F\)为抛物线的焦点，则\(\angle PFA = \angle PFB\)。
$143. $ 过双曲线\(\displaystyle
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0,
b>0)\)外（两支之间）一点\(P\)（\(P\)不在渐近线上）作双曲线的两条切线\(A,B\)，若\(F\)为双曲线的一个焦点，证明：
（1）若\(A,B\)在同一支，则\(\angle PFA = \angle PFB\)；
（2）若\(A,B\)不在同一支，则\(PF\)平分\(\angle
AFB\)的邻补角。
$144. $ 在四面体\(ABCD\)中，\(AB,AC,AD\)两两垂直，\(AO \perp\)平面\(BCD\)，垂足为\(O\)，则有\(\displaystyle \frac{1}{AO^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{AD^2}\)。
$145. $ 在四面体\(ABCD\)中，\(AD \perp\)平面\(ABC\)，\(AO \perp\)平面\(BCD\)，垂足为\(O\)，则有\(S^2_{\triangle ABC} = S_{\triangle BOC} S_{\triangle BCD}\)。
$146. $ 点\(O\)在\(\triangle ABC\)内，证明\(S_{\triangle OBC \cdot \overrightarrow{OA}} + S_{\triangle OAC} \cdot \overrightarrow{OB} + S_{\triangle OAB}\cdot \overrightarrow{OC} = \vec 0\)。
$147. $ 点\(O\)在四面体内，证明\(V_{O-BCD} \cdot \overrightarrow {OA} + V_{O-ACD} \cdot \overrightarrow{OB} + V_{O-ABD} \cdot \overrightarrow{OC} + V_{O-ABC} \cdot \overrightarrow{OD} = \vec 0\)。
$148. $ 若\(n\)个实数\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)满足\(a^2_1 + a^2_2 + \cdots + a^2_n = 1\)，证明\(a_1 + a_2 + \cdots + a_n < \sqrt n\)。
$149. $ 锐角\(\alpha, \beta\)满足\(\displaystyle \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \frac{1}{4} = \sin \alpha \sin \beta + \frac{1}{2}(\sin \alpha + \sin \beta)\)，证明\(\alpha = \beta = 30^\circ\)。
$150. $ 已知\(\triangle ABC\)中，\(\sin A \sin B \cos C = \sin B \sin C \cos A + \sin A \sin C \cos B\)，令\(R\)为外切圆半径，\(S\)为其面积，则\(\displaystyle y = \frac{RS}{c^3}\)的取值范围是?
$151. $ 已知函数\(\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{x}{4} + \frac{3}{4x} - 1, g(x) = x^2 - 2bx + 4\)，若对任意\(x_1 \in (0, 2)\)存在\(x_2 \in [1, 2]\)使得\(f(x_1) \ge g(x_2)\)，求实数\(b\)的取值范围。
$152. $ 已知函数\(\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{a}{x}\)，若\(f(x)\)在\([1,e]\)上的最小值为\(\displaystyle \frac{3}{2}\)，求\(a\)的值。
$153. $ 已知曲线\(C_1: y = x^2\)与曲线\(C_2: y = x^2 + 2ax (a>1)\)交于\(O,A\)两点，直线\(x = t(0 \le t \le 1)\)与曲线\(C_1,C_2\)分别交于\(D, B\)，设\(S\)为梯形\(ABOD\)的面积，求\(S\)的最大值。
$154. $ 已知\(A,B\)分别是直线\(\displaystyle y = \frac{\sqrt 3}{3}x\)与\(\displaystyle y = -\frac{\sqrt 3}{3}x\)上两动点，线段\(AB\)的长为\(2\sqrt 3\)，\(P\)是\(AB\)的中点，设动点\(P\)的轨迹为\(C\)，过点\(Q(1, 0)\)作直线\(l\)（与\(x\)轴不垂直）与轨迹\(C\)交于\(M,N\)两点，与\(y\)轴交于\(R\)，若\(\overrightarrow{RM} = \lambda \overrightarrow{MQ}, \overrightarrow{RN} = \mu \overrightarrow{NQ}\)，求证\(\lambda + \mu\)为定值。
$155. $ 已知\(f(x) = x^3 - 3x^2\)，设\(m>1\)，若过点\((m,n)\)可作函数的三条切线，求证\(1 - 3m < n < f(m)\)。
$156. $ 设\(f(x) = x(x+1)(x+2)\cdots (x+n)\)，求\(f^\prime(0)\)的值。
$157. $ 已知函数在定义域\(R\)上可导，设点\(P\)是函数\(y=f(x)\)的图像上距离原点\(O\)最近的点；
（1）设点\(P\)的坐标\((a,f(a))\)，求证\(a + f(a)f^\prime(a) = 0\)；
（2）若函数\(y =
f(x)\)的图像不通过坐标原点\(O\)，证明：直线\(OP\)与函数\(y=f(x)\)的图像上过\(P\)点切线互相垂直。
$158. $ 设直线\(l_1\)与曲线\(y=\sqrt x\)相切于点\(P\)，直线\(l_2\)过点\(P\)且垂直\(l_1\)，若\(l_2\)交\(x\)轴于点\(Q\)，又作\(PK \perp x\)轴于点\(K\)，求证\(KQ\)的长度为定值。
$159. $ 设\(f(x) = x^2 + bx + c，x \in [-1, 1]\)，试证明：当\(b < -2\)时，在\([-1,1]\)上总存在一个\(x\)使得\(|f(x)| \ge |b|\)。
$160. $ 已知\(f(x) = x(x-1)(x-a)，(a>1)\)的两个极值点\(x_1,x_2\)，如果\(f(x_1) + f(x_2) \le 0\)恒成立，求\(a\)的最小值。
$161. $ 已知\(a>0\)且\(a \ne 1\)，\(f(x)\)是奇函数，\(\displaystyle \varphi(x) = (a-1)f(x)\left(
\frac{1}{a^x-1} + \frac{1}{2} \right)\)；
（1）判断\(\varphi(x)\)的奇偶性；
（2）证明：若\(xf(x)>0\)，则\(\varphi(x) > 0\)。
$162. $ 设\(x_1,x_2\)是函数\(f(x) = e^x\)定义域内的两个变量且\(x_1 < x_2\)，若\(\displaystyle x_0 = \frac{1}{2}(x_1 + x_2)\)，那么\(|f(x_0) - f(x_1)|\)与\(|f(x_2) - f(x_0)|\)的大小关系为？
$163. $ 已知函数\(f(x) = \lg (a^x - kb^x)\)的定义域是\((0, +\infty), (k \in \mathbb{N^+}, 0<b<1<a)\)，是否存在这样的\(a\)与\(b\)使\(f(x)\)在\((1, +\infty)\)上的值域为\((0, +\infty)\)且\(f(3) = \lg 4\)？若存在求出\(a\)与\(b\)的值，若不存在，请说明理由。
$164. $ 证明：两个既约分数的和与积不能同时为整数。
$165. $ 证明：\(\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \cdots \frac{2n-1}{2n} < \frac{\sqrt{2n+1}}{2n+1} (n \in \mathbb{N^+})\)。
$166. $ 已知\(a, b \in \mathbb{R}^*\)，集合\(A = \{x \mid |x+1| < a, x \in \mathbb{R}\}，B = \{ x \mid |x-2| > b, x \in \mathbb{R}\}\)，且\(A \subseteq B\)，则\(a+b\)的最大值为？
$167. $ 椭圆\(\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)上到直线\(2x + 3y + 1 = 0\)的距离等于\(\displaystyle \frac{\sqrt 3 + 1}{2}\)的点的个数为？
$168. $ 直线\(MN\)过\(\triangle ABC\)的重心\(G\)，且\(\overrightarrow AM = m \overrightarrow AB, \overrightarrow AN = n \overrightarrow AC\)（其中\(m>0,n>0\)），则\(mn\)的最小值为？
$169. $ 已知四面体\(ABCD\)，\(AB=AC=AD=BC=1, CD = \sqrt 2\)，则该四面体的内切球半径为？
$170. $ 从直线\(\displaystyle l: \frac{x}{8} + \frac{y}{4} = 1\)上的任意一点\(P\)作圆\(O: x^2 + y^2 = 8\)的两条切线，切点为\(A,B\)，则弦\(AB\)的最小值为？
$171. $ 在半径为\(1\)的大球内放入\(6\)个半径相同的小球，当小球的体积最大时，小球的半径为？此时在6个小球之间的空隙里还可以放入一个小球，该小球的最大半径为？
$172. $ 关于\(x\)的不等式\(\displaystyle \frac{mx+1}{2x^2+ax-1} \ge n\)（\(m,a,n\)是实数）的解集为\(\displaystyle [-2, -1) \cup (\frac{1}{2}, 1]\)，则\(a=?,m=?\)
$173. $ 若不等式\(\displaystyle (-1)^n a < 2 + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\)对任意正整数\(n\)恒成立，则实数\(a\)的取值范围是？
$174. $ \(a,b,c\)为互不相等的正数且\(abc=1\)，求证：\(\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c\)。
$175. $ 在\(\triangle ABC\)中，求证：\(\displaystyle \sin^2A + \sin^2B + \sin^2C \le \frac{4}{9}\)。
$176. $ 已知函数\(f(x) = x^3 - x +
c\)定义在区间\([0, 1]\)上，\(x_1,x_2 \in [0, 1]\)且\(x_1 \ne x_2\)，求证：
（1）\(|f(x_2) - f(x_1)| < 2|x_1 -
x_2|\)；
（2）\(|f(x_2) - f(x_1)| < 1\)。
$177. $ 已知\(a,b,c \in
\mathbb{R}\)，且\(ab + bc + ac =
1\)，求证：
（1）\(a + b + c \ge \sqrt 3\)；
（2）\(\displaystyle \sqrt {\frac{a}{bc}} +
\sqrt {\frac{b}{ac}} + \sqrt {\frac{c}{ab}} \ge \sqrt 3 (\sqrt a + \sqrt
b + \sqrt c)\)。
$178. $ 已知\(a>b>0\)，求证\(\displaystyle \frac{(a-b)^2}{8a} < \frac{a+b}{2} - \sqrt {ab} < \frac{(a-b)^2}{8b}\)。
$179. $ 在\(\triangle ABC\)中，若\(\angle A: \angle B: \angle C = 4:2:1\)，\(a,b,c\)分别为\(\angle A, \angle B, \angle C\)的对边，求证：\(\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}\)。
$180. $ 设\(a,b,c\)均为大于\(1\)的正数，且\(ab = 10\)，求证\(\log_a c + \log_b c \ge 4 \lg c\)。
$181. $ 已知函数\(f(x) = - x^3 + ax^2 + b(a, b \in \mathbb{R})\)，记在\(f(x)\)图像上任意一点处的切线斜率为\(k\)，当\(x \in [0, 1]\),有\(|k| \le 1\)，求\(a\)的取值范围。
$182. $ 已知\(f(x) = \ln (1 + x) - x, g(x) = x \ln x\)。设\(0 < a < b\)，证明：\(\displaystyle 0 < g(a) + g(b) - 2g\left( \frac{a+b}{2} \right) < (b - a) \ln 2\)。
$183. $ 设\(z\)为虚数，\(\displaystyle w = z + \frac{1}{z}\)是实数且\(-1 < w < 2\)，\(\displaystyle u = \frac{1-z}{1+z}\)，求\(w - u^2\)的最小值。
$184. $ 证明：首项系数为\(1\)的整系数多项式的有理根必是整数。
$185. $ 设在\(\triangle ABC\)中有\(\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C < 1\)，证明\(\triangle ABC\)是锐角三角形。
$186. $ \(\displaystyle f(x) = x + \frac{x}{x-1}\)，证明：曲线\(y=f(x)\)上任一点的切线与直线\(x=1\)和直线\(y=x\)所围成的三角形的面积为定值。
$187. $ 已知\(A,B,C\)是直线\(l\)上的点，向量\(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB},
\overrightarrow{OC}\)及函数\(f(x)\)满足：\(\displaystyle \overrightarrow{OA} - \left[ f(x) -
f^\prime(\frac{1}{2})\right]\overrightarrow{OB} + x^2
\overrightarrow{OC} = \vec 0\)。
（1）求函数\(f(x)\)的表达式；
（2）设\(a>0, g(x) = ax + 5 -
2a\)，若对任意\(x_0 \in
[0,1]\)，总存在\(x_1 \in [0,
1]\)使\(f(x_0) =
g(x_1)\)成立，求实数\(a\)的取值范围。
$188. $ 已知\(f(x) = (x^2 + bx +
c)e^x\)，其中\(b,c \in
\mathbb{R}\)为常数；
（1）若\(b^2 >
4(c-1)\)，讨论函数\(f(x)\)的单调性；
（2）若\(b^2 \le 4(c-1)\)，且\(\displaystyle \lim \limits_{x\to 0} \frac{f(x) -
c}{x} = 4\)，求\(b\)的取值范围。
$189. $ 已知\(f(x) = \ln x\)，当\(0 < a < b\)时，求证\(\displaystyle f(b) - f(a) > \frac{2a (b-a)}{a^2 + b^2}\)。
$190. $ 已知\(i,m,n\)是正整数，且\(1 < i \le m \le n\)，证明\(n^i A_m^i < m^i A_n^i\)。
$191. $ 设关于\(x\)的方程\(2x^2 - ax - 2 = 0\)的两根为\(\alpha, \beta (\alpha <
\beta)\)，函数\(\displaystyle f(x) =
\frac{4x - n}{x^2 + 1}\)；
（1）证明：\(f(x)\)是\([\alpha, \beta]\)上的增函数；
（2）当\(a\)为何值时，\(f(x)\)在区间\([\alpha,
\beta]\)上的最大值与最小值之差最小？
$192. $ 已知关于\(x\)的方程\(x^2 - (6 + i)x + 9 + ai = 0 (a \in
\mathbb{R})\)有实根\(b\)；
（1）求\(a,b\)的值；
（2）若复数\(z\)满足\(|\bar z - a - bi| - 2|z| = 0\)，求\(z\)为何值时，\(|z|\)有最小值，并求出\(|z|\)的值。
$193. $ 对于\(\mathbb{R}\)上可导的任意函数\(f(x)\)，若满足\((x-1)f^\prime(x) \ge 0\)，则\(f(0) + f(2)\)与\(2f(1)\)的大小关系是？
$194. $ 已知椭圆\(\displaystyle
\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)，\(AA^\prime\)是椭圆的长轴，\(P(x_1,y_1)\)是椭圆上异于\(A,A^\prime\)的任意一点，过点\(P\)斜率为\(\displaystyle -
\frac{4x_1}{9y_1}\)的直线\(l\)，若直线\(l\)上的两点\(M,M^\prime\)在\(x\)轴上的射影分别为\(A,A^\prime\)，证明：
（1）\(|AM| \cdot |A^\prime
M^\prime|\)为定值；
（2）求由\(A,A^\prime, M^\prime,
M\)四点构成的四边形的面积的最小值。
$195. $ 过双曲线\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)\)的右焦点\(F(c,0)\)的直线交双曲线于\(M,N\)两点，交\(y\)轴于点\(P\)，点\(M,N\)分\(\overrightarrow{PF}\)所成的比例分别为\(\lambda_1, \lambda_2\)，求证\(\lambda_1 + \lambda_2\)为定值。
$196. $ 求证\(a^2 + b^2 + 3 \ge ab + \sqrt 3 (a+b)\)。
$197. $ 若\(\displaystyle |x - a| + \frac{1}{x} \ge \frac{1}{2}\)对任意\(x>0\)恒成立，则\(a\)的取值范围是？
$198. $ 在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 4, AC = 3\)，\(G\)为外心，则\(\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BC}=\)？
$199. $ 已知\(\displaystyle (2x + 1)^10 = a_0 + a_1(x+1) + \frac{a_2}{2}(x+1)^2 + \cdots + \frac{a_10}{10}(x+1)^10\)，则\(a_1 + a_2 + \cdots + a_10=\)?
$200. $ 已知\(\displaystyle f(x) =
\frac{(x+1)[1 + \ln (x+1)]}{x}\)，\(g(x) = x^2 f^\prime(x) (x > 0)\)；
（1）若存在唯一的实数\(a \in (m,
m+1)\)，使得\(g(a) =
0\)成立，求正整数\(m\)的值；
（2）若\(x > 0\)时，\(f(x) > n\)恒成立，求正整数\(n\)的最大值。