$1. $ 递增等比数列\(\{a_n\}\)，有\(a_1^2+a_2^2+a_3^2 = 8, a_1 + a_2 + a_3 = 4\)，则该数列的公比为？
$2. $ 已知\(\displaystyle -\frac{\pi}{2} \le \beta < \alpha < \gamma \le \frac{\pi}{2}\)，且\(\displaystyle \tan (\alpha + \beta) = \frac{\sin 2\alpha - 1}{\cos 2\alpha}, \tan(\alpha + \gamma) = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha + 1}\)，则\(\tan (\beta + \gamma)=\)？
$3. $ 在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 3, AC = 4\)，\(O\)外心，\(G\)为重心，则\(|\overrightarrow{GC}|^2 - \overrightarrow{OG} \cdot \overrightarrow{BC} - |\overrightarrow{GB}|^2=\)？
$4. $ \(a,b,c\)为三角形\(ABC\)的三边长，满足\(a \le b \le c\)，令\(R,r\)分别是该三角形的外切圆半径和内切圆半径，则“三角形\(ABC\)是直角三角形“是“\(a, R+r, b\)按顺序成等差数列”的什么条件？
$5. $ 如图所示，\(\triangle ABC\)中，\(F,E\)分别在边\(AB,AC\)上，且\(\displaystyle \frac{AF}{FB} = k_1, \displaystyle \frac{AE}{EC}=k_2\)，线段\(CF\)与\(BE\)交于点\(O\)，作\(AO\)的延长线交\(BC\)于点\(D\)，则\(\displaystyle \frac{BD}{CD}=\)？
$6. $ 如图所示，在\(\triangle
ABC\)中，\(AD\)为\(\angle BAC\)的角平分线且交\(BC\)于点\(D\)，
（1）当\(\angle A =
90^\circ\)时，记该三角形面积，内切圆面积，外切圆面积分别为\(S, S_{内}, S_{外}\)，求证\(\displaystyle \frac{S_{内} + S_{外}}{3} >
S\)；
（2）求证：\(AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot
DC\)。
$7. $ 已知在\(\triangle
ABC\)中，\(a,b,c\)分别是角\(A,B,C\)的对边，\(h\)为最长边\(c\)上的高，且\(\displaystyle \frac{1}{h}, \frac{1}{a},
\frac{1}{b}\)成等差数列，记\(\lambda =
9 \cos B \sin 2B\)；
（1）求\(2\sin B - \sin A\)的值；
（2）是否存在正整数对\(p,q\)，使得\(p < \lambda <
q\)恒成立？若存在，求出\(q -
p\)的最小值；反之，请说明理由。
$8. $ 在\(\triangle ABC\)中，\(a, b, c\)分别是角\(A,B,C\)的对边，且\((a+b)\cos \alpha = c\)，其中\(\alpha\)为实数；
（1）若\(\angle C = 90^\circ\)，求\(\alpha\)的取值范围；
（2）若\(\sin C \cos \alpha = \sin
B\)，求证\(2a < 3c <
6b\)。
$9. $ 在平面直角坐标系\(xOy\)中，有两点\(A,B\)，已知点\(P\)到点\(A,B\)之间的距离之比\(\displaystyle \lambda =
\frac{|PA|}{|PB|}\)，\(\lambda\)为定值，且\(\lambda > 1\)；
（1）证明点\(P\)的轨迹形状为圆；
（2）记（1）中的圆的圆心为\(C\)，且\(|CP| \ge
|AB|\)对任意点\(P\)恒成立，求\(\lambda\)的取值范围。
$10. $ 已知函数\(\displaystyle f(x) = x -
\frac{1}{2^x + 1}\)；
（1）证明函数\(f(x)\)的零点唯一，且零点\(x_0 \in (-1, 1)\)；
（2）令\(x_1 = -1, x_2 =
1\)，记函数\(f(x)\)与\(x\)轴，\(x=x_1,
x=x_2\)构成的面积分别为\(S_1,
S_2\)，问\(S_1\)和\(S_2\)的大小关系，相差多少，试证之。
$11. $ 数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=2\)，且\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n} = \frac{2
a_n}{n+1}\)；
（1）求\(\{a_n\}\)的通项公式；
（2）记数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(\displaystyle \{ \frac{2^n}{n^2}
\}\)的前\(n\)项和为\(T_n\)，求证\(\displaystyle a_n \le 2 + \frac{S_n -
T_n}{2}\)。
$12. $ 如图所示，已知椭圆\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)\)上存在过其左焦点的一条直线\(l\)与椭圆交于\(A,B\)两点，坐标原点\(O\)关于直线\(l\)的对称点为\(D\)，使得\(O,A,B,D\)四点共圆，求椭圆的离心率\(e\)的取值范围。
$13. $ 证明过抛物线准线上的任意一点作抛物线的两条切线，则两个切点和抛物线的焦点共线。类似的，探讨椭圆和双曲线是否具有相似的性质？
$14. $ 如图所示，已知椭圆\(\displaystyle G:
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)\)，抛物线\(C: y = x^2 - b^2\)，若椭圆\(G\)与抛物线\(C\)的其中一个交点\((x_0,y_0)\)到点\(\displaystyle (0, \frac{1}{4} -
b^2)\)的距离为\(\displaystyle
\frac{23}{12}\)，且椭圆\(G\)的离心率为\(\displaystyle \frac{\sqrt 6}{3}\)；
（1）求\(y_0\)的值；
（2）若直线\(\displaystyle l: y = \frac{\sqrt
3}{3}x + m\)与可行域\(\left \{
\begin{aligned} &y \le x^2 - b^2 \\& \frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} <= 1
\end{aligned}\right.\)的边界交于不同的四点，从左到右依次记为\(A,B,C,D\)，问是否存在这样的直线\(l\)使得\(|AB|,
|BC|, |CD|\)成等差数列？并说明理由。
$15. $ 已知在\(\triangle
ABC\)中，\(a,b, c\)分别是角\(A,B,C\)的对边，数列\(A: \{a^2,b^2,c^2\}\)，数列\(B: \{ \cot A, \cot B, \cot C \}\)；
（1）若数列\(A\)的项和与数列\(B\)的项和相等，求三角形\(ABC\)的面积；
（2）证明数列\(A\)成等差数列的充要条件是数列\(B\)成等差数列。
$16. $ 数列\(\{a_n\}\)满足\(\displaystyle a_{n+1} = \frac{1}{a - a_n}(n,a \in
\mathbb{N^+}, a \ge 2)\)，\(a_1=0\)；
（1）若\(a=2\)；
（i）求\(\lim \limits_{n \to + \infty}
a_n\)；
（ii）令\(\displaystyle b_n = a_n +
\frac{1}{a_n} (n \ge 2)\)，求\(b_2 +
b_3 + \cdots + b_n\)的值。
（2）求证对任意的\(n \ge 2\)，都有\(0 \le a_n < a_{n+1} <
\frac{1}{a-1}\)；
（3）令\(S_n = \dfrac{1}{n-1}\sum
\limits_{k=1}^n a_n (n \ge 2)\)，求证：\(\displaystyle S_n \ge (a_n^2 - aa_n +
1)^{\frac{1}{2(n-1)}} (n \ge 2)\)。
$17. $ 在椭圆上有一点\(M\)，记\(M\)在椭圆上的切线为\(l_1\)，过原点\(O\)做一直线\(l_2\)使得\(l_1 \perp l_2\)，记\(OM\)所在直线为\(l_3\)，求\(l_2\)与\(l_3\)的夹角\(\alpha\)的取值范围。
$18. $ 已知在\(\triangle ABC\)中，\(a,b, c\)分别是角\(A,B,C\)的对边，\(b \sin A + a \sin B = 3, \angle C = 60^\circ\)，求边长\(c\)的取值范围。
$19. $ 已知在\(\triangle
ABC\)中，\(a,b, c\)分别是角\(A,B,C\)的对边，且\(\displaystyle \cos A =
\frac{a}{b}\)；
（1）若\(\displaystyle \frac{c}{a} = 1, b =
2\)，求三角形的面积；
（2）若\(\triangle
ABC\)为锐角三角形，求\(\displaystyle
\frac{c}{a}\)的取值范围。
$20. $ 设三角形的周长为\(l\)，外切圆和内切圆的半径分别为\(R,r\)，求\(\displaystyle \frac{Rr}{l^2}\)的最大值。
$21. $ 如图所示，已知抛物线\(C: y^2 = 2px
(p>0)\)的焦点为\(F\)，准线与\(x\)轴的交点为\(K\)，过点\(F\)作一动直线\(l\)与抛物线交于\(A,B\)两点，当直线\(l\)的倾斜角为\(30^\circ\)时，\(\triangle ABK\)的面积为\(8\)；
（1）求抛物线\(C\)的方程；
（2）记\(\triangle
ABK\)的内切圆半径为\(r\)，求\(r\)的取值范围。
$22. $ （1）已知\(-c \le x, y \le
c\)（\(c\)为正常实数）,求证\(\displaystyle x + y \le c +
\frac{xy}{c}\)；
（2）已知\(-1 \le m, n \le 1\)，求\(\displaystyle (1+m)(1+n)(1 - \frac{m + n}{1 +
mn})\)的取值范围。
（3）\(a,b,c\)是一个三角形的三边长，求\(\displaystyle
(\frac{a+b}{c}-1)(\frac{a+c}{b}-1)(\frac{b+c}{a}-1)\)的取值范围。
$23. $ 如图所示，抛物线\(y^2 = 4(x+1) (x
\le 0)\)的一部分与其关于\(y\)轴对称的曲线合成的曲线称为“类椭圆”，设\(F_1(0, \sqrt 3), F_2(0, -\sqrt 3)\)；
（1）若\(P\)为该“类椭圆”上一点，试证明\(|PF_1| + |PF_2| \le 4\)；
（2）过点\(D(2,
0)\)的直线与“类椭圆”交于\(A,B\)两点，若\(\overrightarrow {DB} = \lambda \overrightarrow
{DA}\)，求\(\lambda\)的取值范围；
（3）过“类椭圆”内任意一点作相互垂直的两条直线\(l_1, l_2\)分别交“类椭圆”于\(M,N\)和\(S,T\)四点，求四边形\(MSNT\)的最大值。
$24. $ 在\(\triangle ABC\)中，\(a, b, c\)分别是角\(A,B,C\)的对边，\(h\)为边\(c\)上的高，\(p\)为\(\triangle
ABC\)的半周长，已知\(a < b <
c\)，且\(\displaystyle \frac{1}{a},
\frac {1}{b}, \frac{1}{h},
\frac{1}{p}\)按某种次序成等差数列，并记该数列为\(K_4\)；
（1）试写出所有可能排列的\(K_4\)，并说明理由；
（2）求\(a:b:c\)。
$25. $ 记平面内三角形全体构成的集合为\(\Delta\)，任取三角形\(\delta\)，记\(R_\delta,r_\delta\)分别为该三角形的外切圆和内切圆半径，\(\displaystyle t_\delta =
\frac{r_\delta}{R_\delta}\)；
（1）求\(S = \{t_\delta | \delta \in
\Delta\}\)；
（2）求\(T = \{t \big| \exists A_t, \forall
\delta \in A_t, t_\delta = t\),其中\(A_t\)为无穷多个互不相似的三角形构成的集合\(\}\)。
\(26.\)
（1）在三角形\(ABC\)的边\(BC\)上任取一个不与\(B,C\)重合的点\(D\)，记\(\triangle ABC, \triangle ABD, \triangle
ADC\)的内切圆半径分别为\(r,r_1,r_2\)，求\(\dfrac{r}{r_1+r_2}\)的取值范围（用三角形\(ABC\)的三边长表示）。
（2）在三角形\(AD_0D\)的边\(D_0D\)上任取\(n\)个点\(D_1,D_2,\cdots,D_n\)，这时不妨记\(D\)为\(D_{n+1}\)，并满足\(D_0D_{i+1} > D_0D_i (i=0, 1, \cdots,
n)\)，记\(\triangle
AD_iD_{i+1}\)的内切圆半径为\(r_i\)，并记\(\triangle AD_0D_{n+1}\)的内切圆半径为\(r\)，求\(\displaystyle \frac{r}{\sum \limits_{i=0}^n
r_i}\)的取值范围（用三角形\(AD_0D\)的三边长表示），其中\(i=0,1,\cdots,n\)。