函数积分十二：$n$重积分

定义1

定义$f: I \to \mathbb{R}$，其中$I$是$\mathbb{R}^n$中的一个闭长方体，即$I = I_1 \times I_2 \times \cdots I_n$，其中$i_i=[a_i, b_i] (i=1,2,\cdots,n)$是$\mathbb{R}$中的有界闭区间。$I$的$n$维体积定义为
\[ \mu(I) = \prod_{i=1}^n (b_i - a_i) \]
用平行于各个坐标平面的$n$组超平面对$I$进行划分，得到有限多个小的子长方体，不妨设为$k$个，这称为$I$的一个分割$\pi$，这时可以定义Riemann和
\[ \sum_{i=1}^k f(\boldsymbol{\xi_i}) \mu(I_i) \]
其中$\boldsymbol{\xi_i} \in I_i$，$\mu(I_i)$表示子长方体$I_i$的体积。

有了定义1，仿照二重积分，三重积分的推理方法，可以定义和证明相似的定理。比如可以记$\Vert \pi \Vert$为这些子长方体的对角线的长度的最大值，若$\Vert \pi \Vert \to 0$时，上式的Riemann和极限存在且不依赖于子长方体中值点的选取，则称该极限为$f$在$I$上的积分，记作
\[ \idotsint \limits_I f(x_1, x_2, \cdots, x_n) \mathrm{d} x_1 \mathrm{d} x_2 \cdots \mathrm{d} x_n \]
也记为
\[ \int_I f \mathrm{d} \mu \]
这时称$f$在$I$上可积，而且若$f$在$I$可积，那么$f$在$I$上必有界。包括上和，下和以及可积性的充分必要条件都与前面二重积分的结论一样，以及$I$上的$n$重积分计算，也可以化为累次积分来进行，这时共有$n!$中不同的顺序。关于$n$重积分的Lebesgue定理，也可以引入零测集与零体积集的概念，可以证明：一个有界点集有体积的充分必要条件是它的边界是零体积集。同理，$n$重积分也可以化为一个$n-1$重积分和一个定积分来计算。

定理1

设$V \subset \mathbb{R}^n$是有体积的有界闭集，有界函数$f: V \to \mathbb{R}$连续，
（1）如果
$V = \{ \boldsymbol{x} = (x_1, x_2,\cdots,x_n) \in \mathbb{R}^n \}$，当$(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}） \in D \subset \mathbb{R}^{n-1}$时，
\[ \varphi_1(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}) \le x_n \le \varphi_2(x_1, x_2, \cdots,x_{n-1}) \]
其中$\varphi_1, \varphi_2$是$D$上的连续函数，那么
\[ \int_V f \mathrm{d} \mu = \idotsint \limits_D \mathrm{d} x_1 \mathrm{d} x_2 \mathrm{d} x_{n-1} \int_{\varphi_1(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1})}^{\varphi_2(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1})} f(x_1, x_2,\cdots,x_{n-1}, x_n) \mathrm{d} x_n \]
（2）如果
$V = \{ \boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_{n}) \in \mathbb{R}^n\}$，当$x_n \in [a, b]$时,
\[ (x_1,x_2,\cdots, x_{n-1}) \in D_{x_n} \in \mathbb{R}^{n-1} \]
那么
\[ \int_V f \mathrm{d} \mu = \int_a^b \mathrm{d} x_n \idotsint \limits_{D_{x_n}} f(x_1, x_2,\cdots,x_n) \mathrm{d} x_1 \mathrm{d} x_2 \cdots \mathrm{d} x_{n-1} \]
（3）当然，也可把$n$重积分化成一个$k (1 \le k < n)$重积分与一个$n-k$重积分来计算，即当$(x_{k+1}, \cdots, x_n) \in D_1 \subset \mathbb{R}^{n-k}$时，
\[ (x_1, x_2, \cdots, x_{k}) \in D_2 \subset \mathbb{R}^{k} \]
那么
\[ \int_V f \mathrm{d} \mu = \overbrace{\idotsint \limits_{D_1}}^{n-k \text{个}} \mathrm{d} x_{k+1} \cdots \mathrm{d} x_n \overbrace{\idotsint \limits_{D_2}}^{k \text{个}} f(x_1, x_2,\cdots,x_n) \mathrm{d} x_{1} \cdots \mathrm{d} x_k \]

定理2

设$\Omega$是$\mathbb{R}^n$中的开集，$\Delta \subset \Omega$有体积，映射$\boldsymbol{\varphi}: x_i = x_i(u_1,u_2,\cdots,u_n) (i=1,2,\cdots,n)$在$\Delta$上是正则的，那么对$\boldsymbol{\varphi} (\Delta)$上的连续函数$\boldsymbol{F}$，有
\[ \idotsint \limits_{\boldsymbol{\varphi}(\Delta)} \boldsymbol{F}(x_1, x_2, \cdots,x_n) \mathrm{d} x_1 \mathrm{d} x_2 \cdots \mathrm{d} x_n = \idotsint \limits_{\Delta} \boldsymbol{F}(x_1(u_1,\cdots,u_n), \cdots, x_n(u_1,\cdots,u_n)) \left| \frac{\partial (x_1, \cdots,x_n)}{\partial (u_1, \cdots, u_n)} \right| \mathrm{d} u_1 \cdots \mathrm{d} u_n \]

定理3

令映射
\[ \left\{ \begin{matrix} x_1 = & r \cos \theta_1, \\ x_2 = & r \sin \theta_1 \cos \theta_2, \\ x_3 = & r \sin \theta_1 \sin \theta_2 \cos \theta_2, \\ \cdots\\ x_{n-1} = & r \sin \theta_1 \sin \theta_2 \cdots r \sin \theta_{n-2} \cos \theta_{n-1} \\ x_n = & r \sin \theta_1 \sin \theta_2 \cdots \sin \theta_{n-2} \sin \theta_{n-1} \end{matrix} \right. \]
称为$n$维球坐标变换，改变换将有界集$\Delta$映射到$V$，则
\[ \int_V F(x_1,\cdots, x_n) \mathrm{d} \mu = \idotsint \limits_{\Delta} \boldsymbol{F}(\theta_1, \cdots, \theta_n) r^{n-1} \sin^{n-2} \theta_1 \sin ^{n-3} \theta_2 \cdots \sin \theta_{n-2} \mathrm{d} \theta_1 \cdots \mathrm{d} \theta_n \]

证：关键需要证明
\[ \frac{\partial (x_1, x_2, \cdots, x_n)}{\partial (r, \theta_1, \cdots, \theta_{n-1})} = r^{n-1} \sin^{n-2} \theta_1 \sin ^{n-3} \theta_2 \cdots \sin \theta_{n-2} \]
这时考虑方程组
\[ \left\{ \begin{matrix} F_1 = & r^2 - (x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2) = 0 \\ F_2 = & r^2 \sin^2 \theta_1 - (x_2^2 + \cdots + x_n^2) = 0 \\ F_3 = & r^2 \sin^2 \theta_1 \sin^2 \theta_2 - (x_3^2 + \cdots + x_n^2) = 0 \\ \cdots \\ F_n = & r^2 \sin^2 \theta_1 \cdots \sin^ \theta_{n-1} - x_n^2 = 0 \end{matrix} \right. \tag {1} \]
令$\boldsymbol{u} = (r, \theta_1, \cdots, \theta_{n-1}), \boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n)$，则根据隐映射定理可知
\[ \left(\begin{matrix} \frac{\partial r}{\partial \theta_1} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial \theta_{n-1}} \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{x_n}{\partial r} & \cdots & \frac{x_n}{\partial \theta_{n-1}} \end{matrix} \right) = - (J_{\boldsymbol{x}}F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{u}))^{-1} J_{\boldsymbol{u}}F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{u}) \]
两边取行列式即得
\[ \frac{\partial (x_1, x_2, \cdots, x_n)}{\partial (r, \theta_1, \cdots, \theta_{n-1})} = (-1)^n \frac{\det J_{\boldsymbol{u}}F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{u})}{\det J_{x}F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{u})} \]
通过方程组(1)可以求出
\[ \begin{aligned} &\det J_{\boldsymbol{u}}F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{u}) = 2^n r^{2n-1} \sin^{2n-3} \theta_1 \cos \theta_1 \sin^{2n-5} \theta_2 \cos \theta_2 \cdots \sin \theta_{n-1} \cos \theta_{n-1} \\ &\det J_{\boldsymbol{x}} F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{u}) = (-1)^n 2^n r^n \sin^{n-1} \theta_1 \cos \theta_1 \sin^{n-2} \theta_2 \cos \theta_2 \cdots \sin \theta_{n-1} \cos \theta_{n-1} \end{aligned} \]
所以
\[ \frac{\partial (x_1, x_2, \cdots, x_n)}{\partial (r, \theta_1, \cdots, \theta_{n-1})} = r^{n-1} \sin^{n-2} \theta_1 \sin ^{n-3} \theta_2 \cdots \sin \theta_{n-2} \]

Q.E.D.