定义1
定义\(f: I \to \mathbb{R}\)，其中\(I\)是\(\mathbb{R}^3\)中的一个有限长方体，即\(I = I_1 \times I_2 \times I_3\)，其中\(i_i=[a_i, b_i] (i=1,2,3)\)是\(\mathbb{R}\)中的有界闭区间。长方体\(I\)的体积定义为
\[ \mu(I) = (b_1 - a_1)(b_2 - a_2)(b_3 - a_3) \]
用平行于三个坐标平面的三组平面对\(I\)进行划分，得到有限多个小的长方体，不妨设为\(k\)个，这称为\(I\)的一个分割\(\pi\)，这时可以定义Riemann和
\[ \sum_{i=1}^k f(\boldsymbol{\xi_i}) \mu(I_i) \]
其中\(\boldsymbol{\xi_i} \in I_i\)，\(\mu(I_i)\)表示子长方体\(I_i\)的体积。
定义2
记\(\Vert \pi \Vert\)为小长方体对角线的最大者，称为分割\(\Vert \pi \Vert\)的宽度，在\(\Vert \pi \Vert \to 0\)对定义1中的Riemann和取极限，如果该极限的存在性和数值不依赖与小长方体中值点的选择，则这个极限值就称为\(f\)在\(I\)上的积分，记作
\[ \iiint \nolimits_I f(x,y,z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z \]
或
\[ \int_I f \mathrm{d} \mu \]
仿照二重积分的方法，可以依次定义上和，下和，并且可以得到关于可积充分必要条件的相同结论；三重积分的累次积分也同样可以证明。
定理1
如果\(f\)在\(I\)上可积，那么\(f\)必在\(I\)上有界。
证：与函数积分三的定理1证明方法一样。
Q.E.D.
定义3
点集\(B \subset \mathbb{R}^3\)称为零测集（零面积集），是指对任何的\(\varepsilon > 0\)，存在可数（有限）个长方体\(J_i\)，使得
\[ \bigcup_{i} J_i \subset B, \quad \sum_{i} \mu(J_i) < \varepsilon \]
定理2：Lebesgue
设长方体\(I \subset \mathbb{R}^3, f \to \mathbb{R}\)，则积分\(\displaystyle \int_I f \mathrm{d} \mu\)存在的充分必要条件是\(f\)在\(I\)上的间断点集为零测集。
证：与函数积分八的定理7证明方法一致。
Q.E.D
定义4
设有界点集\(B \subset \mathbb{R}^3, f: B \to \mathbb{R}\)，函数\(f\)在\(B\)上的积分定义与函数积分九的定义2完全一致，也记为
\[ \int_B f \mathrm{d} \mu \]
同样可以定义\(B\)的面积为
\[ \mu(B) = \int_B 1 \mathrm{d} \mu \]
定义一样，相关结论也与二重积分一样。
定理3
\(\mathbb{R}^3\)上的有界点集\(B\)为零体积集当且仅当\(\mu(B) = 0\)
证：与函数积分九的定理5的证明方法一致。
Q.E.D.
定理4
设有界集\(B \subset \mathbb{R}^3\)，则\(B\)有面积当且仅当\(B\)的边界\(\partial B\)是一零面积集。
证：与函数积分九的定理6的证明方法一致。
Q.E.D.
定理5
设有界集\(V \subset \mathbb{R}^3\)有体积，有界函数\(f: V \to \mathbb{R}\)连续
（1）设\(V\)在\(xy\)平面上的垂直投影为\(D\)，且当\((x, y) \in D\)时，过这一点且垂直于\(D\)的直线与\(V\)交成一个区间\([\varphi_1(x, y), \varphi_2(x, y)]\)，那么
\[ \int_V f \mathrm{d} \mu = \iint_D \mathrm{d}x \mathrm{d}y \int_{\varphi_1(x, y)}^{\varphi_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{z} \]
（2）设\(V\)在\(z\)轴上的垂直投影为区间\(J\)，且当\(z \in J\)时，通过点\((0, 0, z)\)又垂直于\(z\)轴的平面同\(V\)交成的图形在\(xy\)平面上的垂直投影是易有面积的点集\(D_z\)，那么
\[ \int_V f \mathrm{d} \mu = \int_J \mathrm{d} z \iint_{D_z} f(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{d} y \]
证：可知\(f\)在\(V\)上可积，作\(I
= I_1 \times I_2 \times I_3 \supset V\)，其中\(I_1, I_2, I_3\)都是\(\mathbb{R}\)中的区间，令
\[
f_V(\boldsymbol{p}) = \left\{ \begin{aligned}
& f(\boldsymbol{p}), \quad & \boldsymbol{p} \in V \\
& 0, \quad & \boldsymbol{p} \notin V
\end{aligned}
\right.
\]
那么
\[
\int_V f \mathrm{d} \mu = \int_I f_V \mathrm{d} \mu
\]
（1）当\((x, y) \in D(x,
y)\)时，关于\(z\)的函数\(f(x, y, z)\)在区间\([\varphi_1(x, y), \varphi_2(x,
y)]\)上连续，从而是可积的，所以有
\[
\int_{I_3} f_V (x, y, z) \mathrm{d} z = \int_{\varphi_1(x,
y)}^{\varphi_2(x, y)} f_V(x, y, z) \mathrm{d} z
\]
而当\((x,y) \notin D\)时，\(f_V(x, y, z) = 0\)，这时\(\displaystyle \int_{I_3} f_V(x, y, z) =
0\)，所以
\[
\int_I f \mathrm{d} \mu = \int_I f_V \mathrm{d} \mu = \iint
\limits_{I_1 \times I_2} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \int_{I_3} f_V (x, y,
z) \mathrm{d} z = \iint \limits_{I_1 \times I_2} \mathrm{d} x \mathrm{d}
y \int_{\varphi_1(x, y)}^{\varphi_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z
\]
（2）当\(z \in J\)时，\(D_z \in I_1 \times I_2\)且\(\mu(\partial D_z) = 0\)，而关于\(x,y\)的函数\(f(x,y,z)\)在\(D_z\)上有界连续，所以\(f(x,y,z)\)在\(D_z\)上可积，所以有
\[
\iint \limits_{I_1 \times I_2} f_V(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d}
y = \iint \limits_{D_z} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y
\]
当\(z \notin J\)时，\(f_V(x, y, z) = 0\)，此时
\[
\iint \limits_{I_1 \times I_2} f_V(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d}
y = 0
\]
从而
\[
\int_V f \mathrm{d} \mu = \int_I f_V \mathrm{d} \mu = \int_{I_3}
\mathrm{d}z \iint \limits_{I_1 \times I_2} f_V(x, y, z) \mathrm{d} x
\mathrm{d} y = \int_{I_3} \mathrm{d}z \iint \limits_{D_z} f(x, y, z)
\mathrm{d} x \mathrm{d} y
\]
Q.E.D.
定理6
设有界的闭区域\(D \subset \mathbb{R}^3\)有体积，函数\(F: D \to \mathbb{R}\)连续，映射
\[ \boldsymbol{\varphi}: \left\{ \begin{aligned} x = x(u, v, w), \\ y = y(u, v, w), \\ z = z(u, v, w) \end{aligned} \right. \quad ((u, v, w) \in \Delta) \]
是从\(\Delta\)到\(D\)上的正则映射，即\(\boldsymbol{\varphi}\)将\(\Delta\)一对一地映射成\(D\)，\(\boldsymbol{\varphi} \in C^1(\Delta)\)，并且在\(\Delta\)上，
\[ \det J\boldsymbol{\varphi} = \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} = \left| \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} \quad \frac{\partial x}{\partial v} \quad \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} \quad \frac{\partial y}{\partial v} \quad \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} \quad \frac{\partial z}{\partial v} \quad \frac{\partial z}{\partial w} \end{matrix} \right| \ne 0 \]
则有
\[ \int_{\boldsymbol{\varphi}(\Delta)} F \mathrm{d} \mu = \int_{\Delta} F \circ \boldsymbol{\varphi} |\det J \boldsymbol{\varphi}| \mathrm{d} \mu \]
证：与函数积分十的定理6证明几乎一样。
Q.E.D.
定理7：球坐标换元公式
令映射
\[ \boldsymbol{\varphi} = \left\{ \begin{matrix} x &= &r \sin \theta \cos \varphi, \\ y &= &r \sin \theta \sin \varphi, \\ z &=& r \cos \theta \end{matrix} \right. \quad (r, \theta, \varphi) \in \Delta \]
则
\[ \int_{\boldsymbol{\varphi}(\Delta)} F \mathrm{d} \mu = \iiint \limits_{\Delta} F \circ \boldsymbol{\varphi} r^2 \sin \theta \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphi \]
证： 由于
\[
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \varphi)} = r^2 \sin
\theta
\]
再由定理6可证。