定义1：零测集
设\(B \subset \mathbb{R}^2\)，如果对任意给定的\(\varepsilon > 0\)，存在可数个闭矩形序列\(\{I_i\}(i=1,2,\cdots)\)，使得
\[ B \subset \bigcup \limits_{i=1}^\infty I_i, \qquad \sum_{i=1}^\infty \sigma(I_i) < \varepsilon \]
则称\(B\)为(二维)零测集。定义中的闭矩形可以换成开矩形。
定义2：零面积集
设\(B \subset \mathbb{R}^2\)，如果对任意给定的\(\varepsilon > 0\)，存在有限个闭矩形序列\(I_1, I_2, \cdots, I_m\)，使得
\[ B \subset \bigcup \limits_{i=1}^m I_i, \qquad \sum_{i=1}^m \sigma(I_i) < \varepsilon \]
则称\(B\)为零面积集。定义中的闭矩形可以换成开矩形。
定理1
- 至多可数集是零测集；
- 至多可数个零测集的并是零测集；
- 有限个零面积集的并是零面积集；
- \(B\)为零面积集，必须且只需\(\bar B\)也是零面积集。
- 如果\(B\)是有界闭集，则\(B\)为零测集的充分必要条件是\(B\)为零面积集。
证：(1)(2)(3)易证，这里只证(4)(5)。
(4)的充分性。由于\(B \subset \bar
B\)，从而由定义可知，对于任意给定的\(\varepsilon >
0\)，存在有限个闭矩形序列\(I_1, I_2,
\cdots, I_m\)使得
\[
B \subset \bar B \subset \bigcup \limits_{i=1}^m I_i, \quad
\sum_{i=1}^m \sigma(I_i) < \varepsilon
\]
所以\(B\)是零面积集。
必要性。有定义知\(B \subset \bigcup
\limits_{i=1}^m I_i\)，而\(\bigcup
\limits_{i=1}^m I_i\)是闭集，从而\(\bar
B \subset \bigcup \limits_{i=1}^m I_i\)，在由定义可知，\(\bar B\)是零面积集。
(5)的充分性由定义2显然得出。
必要性。可知\(B\)是紧致集而且是零测集，从而对任意给定的\(\varepsilon > 0\)，存在开矩形序列\(\{I_i\}\)，使得
\[
B \subset \bigcup \limits_{i=1}^\infty I_i, \qquad \sum_{i=1}^\infty
\sigma(I_i) < \varepsilon
\]
由点列极限六的定理2可知，从\(\{I_i\}\)中可以选取有限个开矩形仍能覆盖住\(B\)，这些开矩形的面积和自然小于\(\varepsilon\)，从而\(B\)是零面积集。
Q.E.D.
定义3
设集合\(B \subset \mathbb{R}^2, f: B \to \mathbb{R}\)有界。对任何\(\boldsymbol{x} \in B\)及\(r > 0\)，令\(I_{x,r} = B \cap B_r(\boldsymbol{x})\)。用\(\omega_f(\boldsymbol{x}, r)\)表示\(f\)在\(I_{r,\boldsymbol{x}}\)上的振幅。令
\[ \omega_f(\boldsymbol{x}) = \lim \limits_{r \to 0^+} \omega_f(\boldsymbol{x}, r) \]
称之为函数\(f\)在点\(\boldsymbol{x}\)处的振幅。
定理2
函数\(f\)在\(I_{r, \boldsymbol{x}}\)上的振幅
\[ \omega_f(\boldsymbol{x}, r) = \sup \{ |f(\boldsymbol{y}_1) - f(\boldsymbol{y}_2)|: \boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2 \in I_{\boldsymbol{x}, r} \} \]
证：与函数积分四的定理2证明方法一样。
Q.E.D.
定理4
设集合\(B \subset \mathbb{R}^2\)，函数\(f\)在点\(\boldsymbol{x} \in B\)处连续的充分必要条件是\(\omega_f(\boldsymbol{x}) = 0\)。
证：与函数积分四的定理4证明方法一样。
定理5
设\(I\)是一个矩形，对\(\delta < 0\)， 记
\[ D_\delta = \{ \boldsymbol{x} \in I: \omega_f(\boldsymbol{x}) \ge \delta \} \]
用\(D(f)\)表示\(f\)在矩形\(I\)上不连续点的全体，那么有
\[ \displaystyle D(f) = \bigcup_{n=1}^\infty D_{1/n} \]
证：与函数积分四的定理5证明方法一样。
定理6
设\(f\)是定义在有限闭矩形\(I\)上的函数，如果存在一列开矩形\(I_j(j=1,2,\cdots)\)使得\(\displaystyle D(f) \subset \bigcup \limits_{j=1}^\infty I_j\)，记\(K = I \backslash \bigcup \limits_{j=1}^\infty I_j\)，那么对任意的\(\varepsilon > 0\)，一定存在\(\delta > 0\)，当\(\boldsymbol{x} \in K, \boldsymbol{I}\)且\(\Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} \Vert < \delta\)时，有\(|f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{y})| < \varepsilon\)。
证：与函数积分四的定理6证明方法一样。
定理7：Lebesgue
设函数\(f\)在闭矩形\(I\)上有界，那么\(f\)在\(I\)上Riemann可积的充分必要条件是\(f\)在\(I\)的全体不连续点组成的集\(D(f)\)是零测集。
证：必要性。由定理5可知，要证明\(D(f)\)是零测集，只需证明\(D_{1/n}\)是零测集，由于\(f\)在\(I\)上可积，从而对任意的\(\varepsilon > 0\)，存在\(I\)的一个分割\(\pi = \{ I_1, I_2, \cdots, I_m
\}\)，使得
\[
\sum_{i=1}^m \omega_i \sigma(I_i) < \frac{\varepsilon}{n} \tag{1}
\]
令\(E_n = D_{1/n} \backslash
l(\pi)\)，这里\(l(\pi)\)为\(\pi\)的分割线所构成的集合，易知\(l(\pi)\)是一个零面积集，从而只要证明\(E_n\)是零测集即可。由于\(\displaystyle I \backslash l(\pi) =
\bigcup_{i=1}^m I_i\)，这里\(I_i(i=1,2,\cdots,m)\)都是开矩形，所以
\[
E_n = D_{1/n} \cap (\bigcup_{i=1}^m I_i) \subset \{I_i: I_i \cap
D_{1/n} \ne \varnothing \}
\]
表明\(E_n\)被一列开区间的并所覆盖，这一列矩形每一个都含有\(D_{1/n}\)中的点，任取\(\boldsymbol{\alpha} \in D_{1/n} \cap
I_i\)，则必能取到充分小的\(r\)，使得\(B_r(\boldsymbol{\alpha}) \in I_i\)，用\(\omega_i\)和\(\omega_f(\boldsymbol{\alpha},
r)\)分别记\(f\)在\(I_i\)和\(B_{r}(\alpha)\)上的振幅，那么
\[
\omega_i \ge \omega_f(\boldsymbol{\alpha}, r) \ge
\omega_f(\boldsymbol{\alpha}) \ge \frac{1}{n} \tag{2}
\]
如果用\(\sum
\nolimits^\prime\)表示对那些满足\(D_{1/n} \cap I_i \ne \varnothing\)的\(i\)求和，那么由式(1)和式(2)可得
\[
\frac{\varepsilon}{n} > \sum_{i=1}^m \omega_i \sigma(I_i) \le
\sum \nolimits^\prime \omega_i \sigma(I_i) \ge \frac{1}{n} \sum
\nolimits^\prime \sigma(I_i)
\]
即
\[
\sum \nolimits^\prime \sigma(I_i) < \varepsilon
\]
这正好说明\(E_n\)是一个零面积集，所以\(D_{1/n}\)是零测集。
充分性。设\(D(f)\)是一个零测集，从而对任意给定的\(\varepsilon > 0\)，存在一列开矩形\(J_i(i=1,2,\cdots)\)，使得
\[
D(f) \subset \bigcup_{i=1}^\infty J_i \qquad \sum_{i=1}^\infty
\sigma(J_i) < \frac{\varepsilon}{2\omega}
\]
这里\(\omega\)是\(f\)在\(I\)上的振幅。令
\[
K = I \backslash \bigcup \limits_{i=1}^\infty J_i
\]
由定理6可知，对上述的\(\varepsilon > 0\)，存在\(\delta > 0\)，使得当\(\boldsymbol{x} \in K, \boldsymbol{y} \in
I\)，且\(\Vert \boldsymbol{x} -
\boldsymbol{y} \Vert < \delta\)时，有
\[
|f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{y})| <
\frac{\varepsilon}{4\sigma(I)}
\]
现取分割\(\pi = \{ I_1, I_2, \cdots,
I_m\}\)，使得\(\Vert \pi \Vert <
\delta\)，令
\[
\sum_{i=1}^m \omega_i \sigma(I_i) = \sum \nolimits_1 \omega_i
\sigma(I_i) + \sum \nolimits_2 \omega_i \sigma(I_i)
\]
其中\(\sum \nolimits_1\)表示对\(K\)和\(I_i\)相交的那些\(i\)求和，\(\sum
\nolimits_2\)表示对\(K\)和\(I_i\)不相交的那些\(i\)求和。对\(\sum
\nolimits_1\)中的项，因为\(K \cap I_i
\ne \varnothing\)，任取\(\boldsymbol{y}_i \in K \cap I_i\)，则
\[
\begin{aligned}
\omega_i & = \sup\{ |f(\boldsymbol{z}_1) - f(\boldsymbol{z}_2)|:
\boldsymbol{z}_1, \boldsymbol{z}_2 \in I_i \} \\
& \le \sup \{ |f(\boldsymbol{z}_1) - f(\boldsymbol{y}_i)| +
|f(\boldsymbol{z}_2) - f(\boldsymbol{y}_i) |: \boldsymbol{z}_1,
\boldsymbol{z}_2 \in I_i, \boldsymbol{y}_i \in K \cap I_i \} \\
& \le \frac{\varepsilon}{2\sigma(I)}
\end{aligned}
\]
从而
\[
\sum \nolimits_1 \omega_i \sigma(I_i) \le
\frac{\varepsilon}{2\sigma(I)} \sigma(I) = \frac{\varepsilon}{2} \tag{3}
\]
对\(\sum \nolimits_2\)中的项，由于\(K \cap I_i = \varnothing\)吗，所以当\(\boldsymbol{x} \in I_i\)，\(\boldsymbol{x} \notin K\)，从而\(\displaystyle \boldsymbol{x} \in
\bigcup_{i=1}^\infty J_i\)，即\(I_i
\subset \bigcup \limits_{i=1}^\infty J_i\)，所以
\[
\sum \nolimits_2 \sigma(I_i) \le \sum_{i=1}^\infty \sigma(J_i) <
\frac{\varepsilon}{2\omega}
\]
从而
\[
\sum \nolimits_2 \omega_i \sigma(I_i) \le \omega \sum \nolimits_2
\sigma(I_i) < \frac{\varepsilon}{2} \tag{4}
\]
由式(3)和式(4)可知，
\[
\sum_{i=1}^m \omega_i \sigma(I_i) < \varepsilon
\]
所以\(f\)在\(I\)上可积。
Q.E.D.
定理8
设函数\(f: I \to \mathbb{R}\)有界。如果集合\(B = \{\boldsymbol{x} \in I, f(\boldsymbol{x}) \ne 0 \}\)为一零面积集，那么\(f\)在\(I\)上可积，并且
\[ \int_I f \mathrm{d} \sigma = 0 \]
证：显然\(I^\circ \backslash \overline
B\)中的点都是\(f\)的连续点，从而\(D(f) \subset \partial I \cup \overline
B\)，而\(\partial I\)和\(\overline B\)都是零面积集（\(I\)是有界闭矩形，要证明\(\partial
I\)是零面积集，即证明线段是零面积集，这里略证），从而\(D(f)\)是零测集，所以\(f\)在\(I\)上可积。对于\(I\)的任一分割\(\pi = \{ I_1, I_2, \cdots, I_k
\}\)，由于\(\overline
B\)是零面积集，那么对任何子矩形\(I_i\)，比如存在点\(\boldsymbol{\xi}_i \in I_i\)，使得
\(f(\boldsymbol{\xi}_i) =
0\)，从而Riemann和
\[
\sum_{i=1}^k f(\boldsymbol{\xi_i}) \sigma(I_i) = 0
\]
由积分的存在性可知
\[
\int_I f \mathrm{d} \sigma = 0
\]
Q.E.D.
定理9
设函数\(f, g\)在\(I\)上有界，且集合\(B = \{ \boldsymbol{x} \in I, f(\boldsymbol{x}) \ne g(\boldsymbol{x}) \}\)为一个零面积集，那么若\(f\)与\(g\)有一个在\(I\)可积，则另一个也在\(I\)上可积，并且
\[ \int_I f \mathrm{d} \sigma = \int_I g \mathrm{d} \sigma \]
证：不妨设\(g\)在\(I\)上可积，零\(h
= f - g\)，由定理8可知，\(h\)在\(I\)上可积，且
\[
\int_I h \mathrm{d} \sigma = 0
\]
从而
\[
\int_I f \mathrm{d} \sigma = \int_I h \mathrm{d} \sigma + \int_I g
\mathrm{d} \sigma = \int_I g \mathrm{d} \sigma
\]
Q.E.D.