定义1：零测度集
设\(A\)为实数的集合，如果对任意给定的\(\varepsilon > 0\)， 存在至多可数个开区间\(\{I_n: n \in \mathbb{N}^*\}\)组成\(A\)的一个开覆盖，并且\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |I_n| \le \varepsilon\)(\(|I_n|\)表示开区间\(I_n\)的长度)，那么称\(A\)是零测度集，简称零测集。
定理1
至多可数个零测集的并集是零测集。
证：设有可数个零测集
\[
A_1,A_2,\cdots, A_n,\cdots
\]
对任意给定的\(\varepsilon >
0\)和\(n \in
N^*\)，存在开区间族\(\{I_{ni}: n,i \in
\mathbb{N^+}\}\)使得\(\displaystyle A_n
\subset \bigcup \limits_{i=1}^\infty I_{ni}\)，且\(\displaystyle \sum_{i=1}^\infty |I_{ni}| \le
\frac{\varepsilon}{2^n}\)，此时有
\[
\bigcup \limits_{i=1}^\infty A_n \subset \bigcup
\limits_{i=1}^\infty (\bigcup \limits_{i=1}^\infty I_{ni})
\]
而
\[
\sum_{i=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty |I_{ni}| \le \sum_{i=1}^\infty
\frac{\varepsilon}{2^n} = \varepsilon
\]
这就证明了\(\displaystyle \bigcup
\limits_{i=1}^\infty A_i\)是零测集。
Q.E.D.
定理2
设\(\omega\)是有界函数\(f\)在\([a,b]\)上的振幅，那么
\[ \omega = \sup \{ |f(y_1) - f(y_2)|: y_1,y_2 \in [a,b] \} \]
证：用\(M\)和\(m\)分别表示\(f\)在\([a,b]\)上的上、下确界，那么由定义可知，\(\omega = M - m\)，又由于对于任意的$y_1,y_2
$，有
\[
m \le f(y_1) \le M, \quad m \le f(y_2) \le M
\]
从而
\[
\omega = M - m \ge |f(y_1) - f(y_2)|
\]
另一方面，由于\(M = \sup\{ f(y): y\in [a,b]
\}\)，\(m = \inf\{ f(y): y \in [a,b]
\}\)，所以对任意的\(\varepsilon >
0\)，存在\(y_1,y_2 \in
[a,b]\)，使得
\[
f(y_1) \ge M - \frac{\varepsilon}{2}, \quad f(y_2) \le m +
\frac{\varepsilon}{2}
\]
从而
\[
|f(y_1) - f(y_2)| \ge f(y_1) - f(y_2) \ge M - m - \varepsilon =
\omega - \varepsilon
\]
所以\(\omega\)是\(\{ |f(y_1) - f(y_2)|: y_1,y_2 \in [a,b]
\}\)的上确界。
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定理3
设\(\omega_f(x, r)\)为\(f\)在\(B_r(x)\)区间的振幅，则\(\lim \limits_{r \to 0^+} \omega_f(x, r)\)极限存在，并记
\[ \omega_f(x) = \lim \limits_{r \to 0^+} \omega_f(x, r) \]
称\(\omega_f(x)\)为\(f\)在点\(x\)处的振幅。
证：由于\(\omega_f(x, r) \ge 0\)，有下界，且当\(r\)减少时，\(f\)在\(B_r(x)\)区间的上确界\(M\)递减，下确界\(m\)递增，所以\(\omega_f(x, r)\)递减，从而\(\displaystyle \lim \limits_{r \to 0^+} \omega_f(x, r)\)存在。
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定理4
函数\(f\)在\(x \in I\)处连续的充分必要条件是\(\omega_f(x) = 0\)。
证：必要性。设\(f\)在\(x \in I\)处连续，则对任意给定的\(\varepsilon > 0\)，当\(r > 0\)充分小时，存在\(y \in B_r(x)\)时，有
\[
|f(y) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{2}
\]
从而当\(y_1,y_2 \in
B_r(x)\)时，有
\[
|f(y_1) - f(y_2)| \le |f(y_1) - f(x)| + |f(x) - f(y_2)| <
\varepsilon
\]
所以\(\omega_f(x, r) \le
\varepsilon\)，令\(r \to
0^+\)，此时有\(0 < \omega_f(x) \le
\varepsilon\)，由于\(\varepsilon\)是任取的，所以\(\omega_f(x) = 0\)。
充分性。设\(\omega_f(x) =
0\)，则对任意的\(\varepsilon >
0\)，存在\(r >
0\)，使得
\[
\omega_f(x, r) < \varepsilon
\]
从而对任何的\(y \in B_r(x)\)，有
\[
|f(x) - f(y)| \le \omega_f(x, r) < \varepsilon
\]
即表明\(f\)在点\(x\)处连续。
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定理5
对\(\delta > 0\)，记
\[ D_\delta = \{ x \in [a, b]: \omega_f(x) \ge \delta\} \]
记\(D(f)\)为\(f\)在\([a,b]\)上不连续点的全体。则有
\[ D(f) = \bigcup \limits_{n=1}^\infty D_{1/n} \]
证：任取\(x \in \bigcup
\limits_{n=1}^\infty D_{1/n}\)，知\(\omega_f(x) > 0\)，从而由定理4可知\(x\)是\(f\)的不连续点，从而
\[
\bigcup \limits_{n=1}^\infty D_{1/n} \subset D(f) \tag{1}
\]
反之，任取\(x \in D(f)\)，可知\(\omega_f(x) > 0\)，从而存在充分大的\(m \in \mathbb{N^+}\)，使得\(\displaystyle \omega_f(x) \ge
\frac{1}{m}\)，从而有\(x \in
D_{1/m}\)，所以
\[
D(f) \subset \bigcup \limits_{i=1}^\infty D_{1/n} \tag{2}
\]
从而由(1)和(2)可知
\[
D(f) = \bigcup \limits_{i=1}^\infty D_{1/n}
\]
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定理6
设\(f:[a,b] \to \mathbb{R}\)。如果存在一列区间\((\alpha_j, \beta_j)(j=1,2,\cdots,)\)，使得\(D(f) \subset \bigcup \limits_{i=1}^\infty (\alpha_j, \beta_j)\)，记\(K = [a,b] \backslash \bigcup \limits_{i=1}^\infty (\alpha_j, \beta_j)\)，那么对任意的\(\varepsilon > 0\)，存在\(\delta > 0\)，当\(x \in K, y \in [a,b]\)，且\(|x - y| < \delta\)时，有\(|f(x) - f(y)| < \varepsilon\)。
证：反证法。如果结论不成立，则必存在\(\varepsilon_0 > 0\)以及\(s_n \in K, t_n \in [a,b]\)，使得当\(|s_n - t_n| < 1 / n\)时，有
\[
|f(s_n) - f(t_n)| \ge \varepsilon_0
\]
由于\(\{s_n\} \subset K \subset
[a,b]\)，存在必有\(\{s_n\}\)的子列\(\{s_{k_n}\}\)，使得
\[
\lim \limits_{n \to \infty} s_{k_n} = s^*
\]
又由于\(K\)是闭集，从而\(s^* \in K\)。而
\[
\begin{aligned}
|t_{k_n} - s^*| &\le |t_{k_n} - s_{k_n}| + |s_{k_n} - s^*| \\
& \le \frac{1}{k_n} + |s_{k_n} - s^*| \le \frac{1}{n} + |s_{k_n}
- s^*|
\end{aligned}
\]
令\(n \to \infty\)，得\(t_{k_n} \to s^*\)，由于\(s^* \in K\)，所以\(f\)在\(s^*\)处连续，且
\[
|f(s_{k_n}) - f(t_{k_n})| \ge \varepsilon_0
\]
令上式左边\(n \to \infty\)，得
\[
\varepsilon_0 \le |f(s^*) - f(s^*)| = 0
\]
显然与\(\varepsilon_0 >
0\)矛盾。
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定理7：Lebesgue
设函数\(f\)在有限区间\([a,b]\)上有界，那么\(f\)在\([a.b]\)上Riemann可积的充分必要条件是\(D(f)\)是一个零测集。
证：必要性。只需要证明对任意的\(\delta >
0\)，\(D_{\delta}\)是零测集，从而\(D_1,D_{1/2},\cdots\)都是零测集，再由定理5可知\(D(f)\)是零测集。由于\(f\)可积，从而由函数积分三的定理5可知对任意给定的\(\varepsilon > 0\)，存在\([a,b]\)上的一个分割
\[
\pi: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_m = b
\]
使得
\[
\sum_{i=1}^m \omega_i \Delta x_i < \frac{\delta \epsilon}{2}
\]
设\(x \in D_{\delta}\)，可知如果\(x\)不是\(x_0,x_1,\cdots,
x_m\)中的任一个，则存在\(i \in
{1,2,\cdots,m}\)，使得\(x \in (x_{i-1},
x_i)\)，因此存在充分小的\(r>0\)，使得\((x-r, x+r) \subset (x_{i-1},
x_i)\)，于是\(f\)在\((x_{i-1}, x_i)\)上的振幅
\[
\omega_i \ge w_f(x, r) \ge w_f(x) \ge \delta
\]
如果用\(\sum^\prime\)和\(\bigcup^\prime\)分别表示对满足\(D_{\delta} \cap (x_{i-1}, x_i) \ne
\varnothing\)的\(i\)的求和与求并，则
\[
\frac{\delta \epsilon}{2} > \sum \limits_{i=1}^m \omega_i \Delta
x_i \ge \sum \nolimits^\prime \omega_i \Delta x_i \ge \delta \sum
\nolimits^\prime \Delta x_i
\]
所以
\[
\sum \nolimits^\prime \Delta x_i \le \frac{\varepsilon}{2}
\]
而
\[
D_\delta \subset (\bigcup \nolimits^\prime (x_{i-1}, x_i)) \bigcup
\{ x_0, x_1, \cdots,x_m \}
\]
自然有
\[
D_\delta \subset (\bigcup \nolimits^\prime (x_{i-1}, x_i)) \bigcup
(\bigcup_{j=0}^m (x_j - \frac{\varepsilon}{4(m+1)}, x_j +
\frac{\varepsilon}{4(m+1)}))
\]
而
\[
\sum \nolimits^\prime \Delta x_i + (m+1) \frac{2\varepsilon}{4(m+1)}
< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
\]
所以\(D_\delta\)是零测集。
充分性。设\(D(f)\)是一个零测集，并且对任意给定的\(\varepsilon > 0\)，存在一列开区间\((\alpha_i,
\beta_i)(i=1,2,\cdots)\)，使得
\[
D(f) \subset \bigcup \limits_{i=1}^\infty (\alpha_i, \beta_i), \quad
且 \quad \sum_{i=1}^\infty (\beta_i - \alpha_i) <
\frac{\varepsilon}{2\omega}
\]
这里\(\omega\)是\(f\)在\([a,b]\)上的振幅。令
\[
K = [a, b] \backslash \bigcup \limits_{i=1}^\infty (\alpha_i,
\beta_i)
\]
由定理6可知，对上述的\(\varepsilon > 0\)，存在\(\delta > 0\)， 使得当\(x \in K, y \in [a, b]\)且\(|x - y| < \delta\)时，有
\[
|f(x) - f(y)| < \frac{\varepsilon}{4(b - a)}
\]
现取分割
\[
\pi : a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b
\]
且\(\Vert \pi \Vert <
\delta\)，记
\[
\sum_{i=1}^\infty \omega_i \Delta x_i = \sum \nolimits_1 \omega_i
\Delta x_i + \sum \nolimits_2 \omega_i \Delta x_i
\]
其中\(\sum_1\)表示对满足\(K \cap (x_{i-1}, x_i) \ne
\varnothing\)的\(i\)的求和，\(\sum_2\)表示对满足\(K \cap (x_{i-1}, x_i) =
\varnothing\)的\(i\)的求和。对\(\sum_1\)中的项，任取\(y_i \in K \cap (x_{i-1}, x_i)\)，由定理6得
\[
\begin{aligned}
\omega_i &= sup\{ |f(z_1) - f(z_2)|: z_1, z_2 \in [x_{i-1}, x_i]
\} & \\
&\le sup\{ |f(z_1) - f(y_i)| + |f(z_2) - f(y_i)|: z_1,z_2 \in
[x_{i-1}, x_i], y_i \in K \cap (x_{i-1}, x_i)\} \\
& \le \frac{\varepsilon}{2(b-a)}
\end{aligned}
\]
所以
\[
\sum \nolimits_1 \omega_i \Delta x_i < \frac{\varepsilon}{2(b-a)}
(b-a) = \frac{\varepsilon}{2}
\]
对于\(\sum_2\)中的项，当\(x \in (x_{i-1}, x_i)\)时，必有\(x \notin K\)，所以\(\displaystyle x \in \bigcup_{i=1}^\infty
(\alpha_i, \beta_i)\)，即\(\displaystyle (x_{i-1}, x_i) \subset
\bigcup_{i=1}^\infty (\alpha_i, \beta_i)\)，所以
\[
\sum \nolimits_2 \omega_i \Delta x_i \le \omega \sum \nolimits_2
\Delta x_i < \omega \frac{\varepsilon}{2\omega} =
\frac{\varepsilon}{2}
\]
所以
\[
\sum_{i=1}^\infty \omega_i \Delta x_i < \varepsilon
\]
Q.E.D.