定义1：原函数
已知区间\(D\)和函数\(f: D \to \mathbb{R}, F: D \to \mathbb{R}\)，如果两个函数满足关系
\[ F^\prime(x) = f(x) \]
则称\(F\)为\(f\)在\(D\)上的一个原函数。
定理1
如果\(F\)为\(f\)的一个原函数，那么函数族\(\{ F + c: c \in \mathbb{R} \}\)是由\(f\)的全体原函数构成的，且将该集合记为
\[ \int f(x) \mathrm{d} x \]
该式子又称为函数\(f\)的不定积分。其中\(f\)称为被积函数。
证：如果\(F\)是\(f\)的一个原函数，那么对任何常数\(c\)，有
\[
(F(x) + c)^\prime = F^\prime(x) + c^\prime = f(x)
\]
所以\(F(x) + c\)也是\(f\)的一个原函数。又假设\(F\)和\(G\)都是\(f\)的原函数，则有
\[
(F(x) - G(x))^\prime = F^\prime(x) - G^\prime(x) = f(x) - f(x) = 0
\]
即\(F - G\)是个常数，所以\(G(x) = F(x) + c\)，从而\(f\)全体原函数
\[
\int f(x) \mathrm{d} x = F(x) + c
\]
Q.E.D.
定理2
（1）\(\displaystyle \left(\int f(x) \mathrm{d} x\right)^\prime = f(x)\)
（2）\(\displaystyle \int F^\prime(x) \mathrm{d} x = F(x) + c\)
（3）\(\displaystyle \int (f(x) + g(x)) \mathrm{d} x = \int f(x) \mathrm{d} x + \int g(x) \mathrm{d} x\)
（4）如果\(c\)是不为\(0\)的常数，则有
\[ \int cf(x) \mathrm{d} x = c \int f(x) \mathrm{d} x \]
证：利用原函数的性质易证。
定理3：分部积分公式
设\(u,v\)是两个可导的函数，则
\[ \int u(x)v^\prime(x) \mathrm{d} x = u(x)v(x) - \int u^\prime(x)v(x) \mathrm{d} x \]
利用微分的记号，也可以表示为
\[ \int u \mathrm{d} v = uv - \int v \mathrm{d} u \]
证：由求导法则可知
\[
(uv)^\prime = uv^\prime + vu^\prime
\]
对上式两边求不定积分得
\[
uv + c_1= \int uv^\prime \mathrm{d}x + \int vu^\prime \mathrm{d}x
\]
从而
\[
\int uv^\prime \mathrm{d}x = uv - \int u^\prime v \mathrm{d}x
\]
Q.E.D.
定理4：换元法
设可导函数\(\varphi(x)\)有复合函数\(f(\varphi(x))\)，则
\[ \int f(\varphi(x)) \varphi^\prime(x) \mathrm{d} x = \int f(u) \mathrm{d} u \tag{1} \]
其中\(u = \varphi(x)\)。
证：式(1)两边分别\(x\)求导，得
\[
f(\varphi(x))\varphi^\prime(x) = f(u) \frac{\mathrm{d}
u}{\mathrm{d}x}
\]
而右边将\(u =
\varphi(x)\)代入，正是
\[
f(u) \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d}x} = f(\varphi(x))
\varphi^\prime(x)
\]
Q.E.D.