定理1: 局部逆映射定理
设开集\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^n\)，满足：
（a）\(\boldsymbol{f} \in C^1(D)\)；
（b）有\(\boldsymbol{x}_0 \in D\)，使得
\[ \det J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0) \ne 0 \]
记\(\boldsymbol{y}_0 = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)\)，那么存在\(\boldsymbol{x}_0\)的一个邻域\(U\)和\(\boldsymbol{y}_0\)的一个邻域\(V\)，使得
（1）\(\boldsymbol{f}(U) = V\)，且\(\boldsymbol{f}\)在\(U\)上是单射；
（2）记\(\boldsymbol{g}\)是\(\boldsymbol{f}\)在\(U\)上的逆映射，\(\boldsymbol{g} \in C^1(V)\)；
（3）当\(\boldsymbol{y} \in V\)时，
\[ J\boldsymbol{g}(\boldsymbol{y}) = (J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}))^{-1} \]
其中\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{g}(\boldsymbol{y})\)。
证：令
\[
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) =
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{y}
\]
这个映射定义在\(D \times
\mathbb{R}^n\)上，显然有\(\boldsymbol{F} \in C^1(D \times
\mathbb{R}^n)\)，并且、
\[
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{y}_0) =
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0) - \boldsymbol{y}_0 = \boldsymbol{0}
\]
再由条件（b）可知，
\[
\det J_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{F} (\boldsymbol{x}_0,
\boldsymbol{y}_0) = \det J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0) \ne 0
\]
从而由函数导数十的定理3可知，存在\(\boldsymbol{x}_0\)的邻域\(H\)和\(\boldsymbol{y}_0\)的邻域\(V\)，其中\(H
\subset D\)，使得对每一点\(\boldsymbol{y} \in V\)，方程\(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) =
\boldsymbol{0}\)即\(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) =
\boldsymbol{y}\)在\(H\)中有唯一解，记作\(\boldsymbol{g}(\boldsymbol{y})\)，其中\(\boldsymbol{g} \in C^1(V)\)，并且当\(\boldsymbol{y} \in V\)时，
\[
\begin{aligned}
J\boldsymbol{g}(\boldsymbol{y}) &=
-(J_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x},
\boldsymbol{y}))^{-1}J_{\boldsymbol{y}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x},
\boldsymbol{y}) \\
&= -(J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}))^{-1}(-\boldsymbol{I}_n) \\
&= (J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}))^{-1}
\end{aligned}
\]
其中\(\boldsymbol{x} =
\boldsymbol{g}(\boldsymbol{y})\)。令\(U
= \boldsymbol{g}(V)\)，可见\(V =
\boldsymbol{f}(U)\)，\(\boldsymbol{f}\)与\(\boldsymbol{U}\)互为逆映射，最后证明\(U\)是开集，事实上有\(U = H \cap
\boldsymbol{f}^{-1}(V)\)，由于\(V\)是开集且\(\boldsymbol{f}\)是连续映射，从而根据函数极限七的定理3知\(\boldsymbol{f}^{-1}(V)\)是开集，又英文\(H\)是开集，所以\(U\)也是开集。
定理2：逆映射定理
设开集\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^n\)，满足：
（a）\(\boldsymbol{f} \in C^1(D)\)；
（b）对每一个\(\boldsymbol{x} \in D\)，有\(\det J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \ne 0\)
那么\(G = \boldsymbol{f}(D)\)是一开集，又如果：
（c）\(\boldsymbol{f}\)是\(D\)上的单射，
那么：
（1）存在从\(G\)到\(D\)上的映射\(\boldsymbol{f}^{-1}\)，满足：对一切\(\boldsymbol{y} \in G\)，有
\[ \boldsymbol{f} \circ \boldsymbol{f}^{-1}(\boldsymbol{y}) = \boldsymbol{y} \]
（2）\(\boldsymbol{f}^{-1} \in C^1(G)\)；
（3）
\[ J\boldsymbol{f}^{-1}(\boldsymbol{y}) = (J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}))^{-1} \quad (\boldsymbol{x} = J\boldsymbol{f}^{-1}(\boldsymbol{y})) \]
证：由于\(\boldsymbol{f}\)是单射，所以逆映射\(\boldsymbol{f}^{-1}\)必然存在，所以（1）成立；再由定理1可知，（2）（3）自然也成立。接下来只需证明\(\boldsymbol{f}(D)\)是开集，任取\(\boldsymbol{y} \in G\)，由定理1可知，存在\(\boldsymbol{x}\)的一个邻域\(U\)和\(\boldsymbol{y}\)的一个邻域\(V\)，使得\(V = \boldsymbol{f}(U) \subset \boldsymbol{f}(D) = G\)，即\(\boldsymbol{y}\)是\(G\)的内点，从而\(G\)是开集。
定义2：正则映射
设开集\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^n\)，满足以下三个条件：
（1）\(\boldsymbol{f} \in C^1(D)\)；
（2）\(\boldsymbol{f}\)是\(D\)上的单射；
（3）\(\det J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \ne 0\)对一切\(\boldsymbol{x} \in D\)成立。
则称\(\boldsymbol{f}\)是\(D\)上的一个正则映射。