定义1
设函数\(f\)在\(x_0\)处有直到\(n\)阶的导数，这里\(n\)是任意给定的正整数，令
\[ T_n(f,x_0;x) = f(x_0) + \frac{1}{1!}f^\prime(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(x_0)(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n \]
称它为\(f\)在\(x_0\)处的\(n\)次Taylor多项式。
定理1：带Peano余项的Taylor定理
设函数\(f\)在\(x_0\)处有直到\(n\)阶的导数，则有
\[ f(x) = T_n(f,x_0;x) + o((x-x_0)^n) \quad (x \to x_0) \]
证：用数学归纳法。当\(n=1\)时，由微分性质可知成立。现设\(n=k\)时，上式成立。由于
\[
T_{k+1}^{\prime}(f,x_0;x) = T_k(f^\prime, x_0; x)
\]
由L'Hospital法则可知
\[
\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x) -
T_{k+1}(f,x_0;x)}{(x-x_0)^{k+1}} = \frac{1}{k+1}\lim \limits_{x \to x_0}
\frac{f^\prime(x) - T_k(f^\prime, x_0;x)}{(x-x_0)^k}
\]
而\(f^\prime\)在\(n = k\)时定理成立，从而
\[
\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f^\prime(x) - T_k(f^\prime,
x_0;x)}{(x-x_0)^k} = 0
\]
所以
\[
\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x) -
T_{k+1}(f,x_0,x)}{(x-x_0)^{k+1}} = 0
\]
令
\[
R_n(x) = f(x) - T_n(f,x_0;x) \quad (n=1,2,\cdots)
\]
称它为余项，满足
\[
\lim \limits_{x \to x_0} \frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n} = 0
\]
这种余项称为Peano余项，该定理也称为带有Peano余项的Tyalor定理，也叫做函数\(f\)的Taylor展开式。
Q.E.D.
定理2：带Peano余项的Maclaurin定理
设函数\(f\)在\(x=0\)处有直到\(n\)阶的导数，则多项式
\[ T_n(f,0;x) = f(0) + \frac{f^\prime(0)}{1!} x + \frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]
为\(f\)的\(n\)次Maclaurin多项式，相应地，
\[ f(x) = T_n(f,0,x) + o(x^n) \quad (x \to x_0) \]
称为带Peano余项的Maclaurin定理，也叫做函数\(f\)的Maclaurin展开式。
定理3
设函数\(f\)在\(x_0\)处有直到\(k\)阶的导数，并且
\[ f^\prime(x_0) = f^{\prime\prime}(x_0) = \cdots = f^{(k-1)} (x_0) = 0, f^{(k)}(x_0) \ne 0 \]
那么：
（1）当\(k\)为奇数时，\(x_0\)不是\(f\)的极值点。
（2）当\(k\)为偶数时，若\(f^{(k)}(x_0)>0\)，则\(x_0\)是\(f\)的严格极小值；若\(f^{(k)}(x_0)<0\)，则\(x_0\)是\(f\)的严格极大值。
证：由Peano余项的Taylor定理可知：
\[
f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + o((x-x_0)^k)
\quad (x \to x_0)
\]
即
\[
\frac{f(x) - f(x_0)}{(x-x_0)^k} = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} + o(1)
\]
（1）当\(k\)为奇数时。若\(f^{(k)}(x_0) > 0\)，则当\(x>x_0\)时，\(f(x)>f(x_0)\)，\(x<x_0\)时，\(f(x)<f(x_0)\)，表明\(x_0\)不是极值点；对于\(f^{(k)}(x_0) <
0\)时，讨论是一样的；
（2）当\(k\)为偶数时，由于\((x - x_0)^k\)在\(x\ne x_0\)处总是正值，所以当\(f^{(k)}(x_0)>0\)时，总有\(f(x)>f(x_0)\)，可知此时\(x_0\)是极小值；同理当\(f^{(k)}(x_0)<0\)时，总有\(f(x)<f(x_0)\)，此时\(x_0\)是极大值点。
Q.E.D.
定理4：带Lagrange余项和Cauchy余项的Taylor定理
设\(f\)在开区间\((a,b)\)上有\(n+1\)阶导数，\(x_0,x\)是\((a,b)\)中任意两点，那么
\[ f(x) = T_n(f,x_0;x) + R_n(x) \]
其中
\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{(n+1)} \]
称为Lagrange余项；
或者
\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x - \xi)^n(x - x_0) \]
称为Cauchy余项。
证：记
\[
F(t) = T_n(f,t;x) = f(t) + \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k
\]
有
\[
\begin{aligned}
F^\prime(t) & = f^\prime(t) + \sum_{k=1}^n
\left(\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k -
\frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{(k-1)} \right) \\
& = f^\prime(t) + \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k +
\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{(k-1)} \\
& = f^\prime(t) + \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{(n)} -
f^\prime(t) = \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{(n)}
\end{aligned}
\]
对函数\(g(t)=F(t),\lambda(t) = \left(
\dfrac{x-t}{x-x_0}\right)^{n+1}\)，在区间\([x_0,x]\)（先设\(x_0<x\)）上使用函数导数三的定理3可知，必存在\(\xi \in (x_0, x)\)，使得
\[
F^\prime(\xi) = \lambda^\prime(\xi)(F(x_0) - F(x))
\]
而
\[
\lambda^\prime(t) = -(n+1)\frac{(x-t)^n}{(x-x_0)^{n+1}}
\]
从而
\[
\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n} =
-(n+1)\frac{(x-\xi)^n}{(x-x_0)^{n+1}}(T_n(f,x_0;x)-f(x))
\]
即
\[
f(x) = T_n(f,x_0;x) + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
\]
这就是带Lagrange余项的Taylor定理；若令\(\lambda(t) = \dfrac{x-t}{x-
x_0}\)，则同上可得
\[
\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n} =
-\frac{1}{x-x_0}(T_n(f,x_0;x)-f(x))
\]
即
\[
f(x) = T_n(f,x_0;x) + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-x_0)
\]
这就是带Cauchy余项的Taylor定理。
如果\(x < x_0\)，分别取
\[
\lambda(t) = 1 - \left( \frac{x - t}{x-x_0} \right)^{(n+1)}, \quad
\lambda(t) = 1 - \frac{x-t}{x-x_0}
\]
即可证。
Q.E.D.