假设两个正数\(a,b\)，我们知道\(\frac{a+b}{2}\)称为算术平均数，\(\sqrt{ab}\)称为几何平均数，\(\frac{2}{a^{-1}+b^{-1}}\)称为调和平均数。对于任意\(n\)个正数也有同样的定义，观察到算术平均数为\(\left(\frac{a^{1}+b^{1}}{2}\right)^1\)，调和平均数为\(\left(\frac{a^{-1}+b^{-1}}{2}\right)^{-1}\)，可以猜想一类平均数的定义。
定义1：\(s\)阶平均数
设\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)是\(n\)个正数，定义
\[ f(s) = \left\{ \begin{aligned} & \left(\frac{a_1^s+a_2^s+\cdots+a_n^s}{n}\right)^{1/s} & \quad s \ne 0 \\ & \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} & \quad s = 0 \end{aligned} \right. \]
称\(f(s)\)为这\(n\)个正数的\(s\)阶平均数。
定理1
设\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)是\(n\)个正数，则这\(n\)个数的\(s\)阶平均数\(f(s)\)是关于\(s\)在\((-\infty,+\infty)\)上的连续函数。且
\[ \begin{aligned} \lim \limits_{s \to +\infty} f(s) = \max(a_1,a_2,\cdots,a_n) \\ \lim \limits_{s \to -\infty} f(s) = \min(a_1,a_2,\cdots,a_n) \end{aligned} \]
证：先证\(f(s)\)是连续函数。由于分段函数的两段都是初等函数，所以只需要证明\(f(s)\)在\(s=0\)处连续，即可。而
\[
\begin{aligned}
\lim \limits_{s \to 0}
\left(\frac{a_1^s+a_2^s+\cdots+a_n^s}{n}\right)^{1/s} & =
\lim\limits_{s \to 0} e^{\frac{1}{s} \ln\left(\frac{a_1^s-1 + a_2^s - 1
+ \cdots + a_n^s-1 + n}{n}\right)} \\
& = \lim\limits_{s \to 0} e^{\frac{1}{s} \ln \left(1 +
\frac{a_1^s-1}{n} + \frac{a_2^s-1}{n} + \cdots + \frac{a_n^s-1}{n}
\right)} \\
& = \lim\limits_{s \to 0} e^{\frac{1}{n}
\left(\frac{a_1^s-1}{s} + \frac{a_2^s-1}{s} + \cdots + \frac{a_n^s-1}{s}
\right)} \\
& = e^{\frac{1}{n} \ln(a_1a_2\cdots a_n)} =
\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}
\end{aligned}
\]
所以\(f(s)\)是连续的。
再证后半段。不妨设\(p =
\max(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)，从而当\(s
> 0\)时，有
\[
\left(\frac{p^s}{n}\right)^{1/s} \le
\left(\frac{a_1^s+a_2^s+\cdots+a_n^s}{n}\right)^{1/s} \le
\left(\frac{p^s+p^s+\cdots+p^s}{n}\right)^{1/s} = p
\]
而
\[
\lim \limits_{s \to +\infty} \left(\frac{p^s}{n}\right)^{1/s} = p
\]
所以
\[
\lim \limits_{s \to +\infty} f(s) = p = \max(a_1,a_2,\cdots,a_n)
\]
同样设\(q =
\min(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)，当\(s <
0\)时，有
\[
\left(\frac{q^s}{n}\right)^{1/s} \ge
\left(\frac{a_1^s+a_2^s+\cdots+a_n^s}{n}\right)^{1/s} \ge
\left(\frac{q^s+q^s+\cdots+q^s}{n}\right)^{1/s} = q
\]
而
\[
\lim \limits_{s \to -\infty} \left(\frac{q^s}{n}\right)^{1/s} = q
\]
所以
\[
\lim \limits_{s \to -\infty} f(s) = q = \min(a_1,a_2,\cdots,a_n)
\]
Q.E.D.
定理2
设\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)是\(n\)个正数，则这\(n\)个数的\(s\)阶平均数\(f(s)\)是\((-\infty,+\infty)\)上的递增函数。若\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)不全相等，则\(f(s)\)是\((-\infty,+\infty)\)上的严格递增函数。
证：先设\(0 < \alpha <
\beta\)，我们证明\(f(\alpha) \le
f(\beta)\)，即
\[
\left(\frac{a_1^\alpha+a_2^\alpha+\cdots+a_n^\alpha}{n}
\right)^{1/\alpha} \le \left(\frac{a_1^\beta + a_2^\beta + \cdots+
a_n^\beta}{n}\right)^{1/\beta}
\]
记\(g(x) = x^m (x > 0)\)，则\(g^\prime(x) = m x^{m-1}\)，\(g^{\prime\prime}(x) =
m(m-1)x^{m-2}\)，当\(m >
1\)时，知\(g(x)\)是凸函数，从而由函数导数五的定理7可知，有
\[
g\left(\frac{x_1}{n} + \frac{x_2}{n} + \cdots + \frac{x_n}{n}\right)
\le \frac{g(x_1)+g(x_2)+\cdots+g(x_n)}{n}
\]
即
\[
\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \right)^m \le \frac{x_1^m + x_2^m
+ \cdots+ x_n^m}{n} \tag 1
\]
令\(x_i = a_i^\alpha, m = \beta / \alpha >
1\)，代入上式得
\[
\left(\frac{a_1^\alpha+a_2^\alpha+\cdots+a_n^\alpha}{n}
\right)^{\beta / \alpha} \le \frac{a_1^\beta + a_2^\beta + \cdots+
a_n^\beta}{n}
\]
即
\[
\left(\frac{a_1^\alpha+a_2^\alpha+\cdots+a_n^\alpha}{n}
\right)^{1/\alpha} \le \left(\frac{a_1^\beta + a_2^\beta + \cdots+
a_n^\beta}{n}\right)^{1/\beta} \tag 2
\]
再设\(\alpha < \beta <
0\)，我们证明\(f(\alpha) <
f(\beta)\)。由于\(-\alpha > -\beta
> 0\)，这时设\(n\)个正数为\(a_1^{-1},a_2^{-1},\cdots,a_n^{-1}\)，并令\(x_i = (a_i^{-1})^{-\beta}, m = (-\alpha) /
(-\beta) > 1\)，代入(1)式得
\[
\left(\frac{a_1^{\beta}+a_2^{\beta}+\cdots+a_n^{\beta}}{n}
\right)^{-\alpha / -\beta} \le \frac{a_1^{\alpha} + a_2^{\alpha} +
\cdots+ a_n^{\alpha}}{n}
\]
即
\[
\left(\frac{a_1^{\beta}+a_2^{\beta}+\cdots+a_n^{\beta}}{n}
\right)^{-1 / \beta} \le \left(\frac{a_1^{\alpha} + a_2^{\alpha} +
\cdots+ a_n^{\alpha}}{n} \right)^{-1 / \alpha}
\]
进一步化简得
\[
\left(\frac{a_1^{\alpha} + a_2^{\alpha} + \cdots+ a_n^{\alpha}}{n}
\right)^{1 / \alpha} \le
\left(\frac{a_1^{\beta}+a_2^{\beta}+\cdots+a_n^{\beta}}{n} \right)^{1 /
\beta} \tag 3
\]
最后证明\(f(\alpha) < f(0) <
f(\beta)\)，其中\(\alpha < 0 <
\beta\)。在(2)式中令\(\alpha \to
0^+\)，得\(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}
\le f(\beta)\)；在(3)式中令\(\beta \to
0^-\)，得\(f(\alpha) <
\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\)。从而\(f(s)\)是\((-\infty,+\infty)\)上的递增函数。
而上面所有等式成立的充分必要条件是\(a_1=a_2=\cdots=a_n\)。所以当\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)不全相等时，\(f(s)\)是\((-\infty,+\infty)\)上的严格递增函数。
Q.E.D.
总结
从上面分析易知调和平均数是\(-1\)阶平均数，几何平均数是\(0\)阶平均数，算术平均数是\(1\)阶平均数；且有调和平均数\(<\)几何平均数\(<\)算术平均数。