定理1
设函数\(f\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)上可导，那么\(f\)在\([a,b]\)上递增（减）的充分必要条件是\(f^\prime \ge 0 (\le 0)\)在区间\((a,b)\)上成立。
证：必要性。设\(f\)在\([a,b]\)上递增，任取一点\(x \in (a,b)\)，对能使\(x + h \in (a,b)\)的一切\(h\)，都有
\[
\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \ge 0
\]
令\(h \to 0\)，得\(f^\prime(x) \ge 0 (a < x <
b)\)。
类似地，当\(f\)在\([a,b]\)上递减时，可以推出\(f^\prime(x) \ge 0\)对\(x \in (a,b)\)成立。
充分性。设在\((a,b)\)上\(f^\prime \ge 0\)，对任何\(x_1, x_2 \in [a,b]\)且\(x_1 <
x_2\)，由Lagrange中值定理可知，
\[
f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(\xi) (x_2 - x_1)
\]
其中\(\xi \in (x_1,x_2) \in
(a,b)\)，由于\(f^\prime(\xi) \ge
0\)，从而\(f(x_2) \ge
f(x_1)\)。
类似地，当在\((a,b)\)上\(f^\prime \le 0\)时，对任何\(x_1,x_2 \in [a,b]\)且\(x_1 < x_2\)，可以推出\(f(x_1) \ge f(x_2)\)。
Q.E.D.
定理2
设函数\(f\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)上可导，如果\(f^\prime > 0 (< 0)\)在区间\((a,b)\)上成立。那么\(f\)在\([a,b]\)上严格递增（严格递减）的。
证：证法与定理1一样。
Q.E.D.
定理3
设函数\(f\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)上可导，在区间\((a,b)\)内，除了有限个点之外，\(f^\prime > 0 (< 0)\)成立。那么\(f\)在\([a,b]\)上严格递增（严格递减）的。
证。设除了点\(x_1,x_2,\cdots,x_n \in
(a,b)\)外，\(f^\prime >
0\)，这里\(x_1 < x_2 < \cdots
< x_n\)，\(f\)在区间\([a,x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_n,b]\)上都是连续的，且\(f^\prime > 0\)，因此在\([a,x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_n,b]\)的每一个区间上都是严格递增的，因此在\([a,b]\)上也是严格递增的。
类似地，递减也可证。
Q.E.D.
定理4
设函数\(f\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)上可导，那么\(f\)在\([a,b]\)上严格递增（严格递减）的充分必要条件是：
（1）当\(x \in (a,b)\)时，\(f^\prime \ge 0 (f^\prime \le 0)\)；
（2）在\((a,b)\)的任何开子区间上，\(f^\prime \ne 0\)。
证：必要性。由定理1可知，（1）是必要的，假如（2）不正确，则存在一个被\((a,b)\)包含的开区间，在其上\(f^\prime = 0\)，那么在这个开区间上\(f\)为常数，因此\(f\)在\([a,b]\)上不是严格单调的，从而（2）必然正确。
充分性。设（1）（2）同时成立，由（1）和定理1可知，\(f\)是单调的，若有\(x_1,x_2 \in [a,b]\)，其中\(x_1 < x_2\)，使得\(f(x_1) = f(x_2)\)，那么对\(x \in [x_1, x_2]\)，有\(f(x_1) = f(x) = f(x_2)\)。从而对\(x \in (x_1,x_2)\)，有\(f^\prime = 0\)，这与（2）矛盾，从而\(f\)在\([a,b]\)上严格单调。
Q.E.D.
定理5
设函数\(f\)在\([a,b]\)上连续，\(x_0 \in (a,b)\)；
（1）如果存在正数\(\delta > 0\)，使得在\((x_0 - \delta, x_0)\)上\(f^\prime > 0\)，而在\((x_0, x_0 + \delta)\)上\(f^\prime < 0\)，那么\(f(x_0)\)是\(f\)的一个严格极大值，所谓严格极大值是指，当\(0 < |x - x_0| < \delta\)时，\(f(x) < f(x_0)\)；
（2）如果存在正数\(\delta > 0\)，使得在\((x_0 - \delta, x_0)\)上\(f^\prime < 0\)，而在\((x_0, x_0 + \delta)\)上\(f^\prime > 0\)，那么\(f(x_0)\)是\(f\)的一个严格极小值，所谓严格极小值是指，当\(0 < |x - x_0| < \delta\)时，\(f(x) > f(x_0)\)；
证：这里只证（1），（2）是同样的证法。由定理2可知，\(f\)在\([x_0-\delta, x_0]\)上严格递增，所以当\(x \in (x_0-\delta, x_0)\)时，\(f(x) < f(x_0)\)，而\(f\)在\([x_0, x_0+\delta]\)上严格递减，所以当\(x \in (x_0, x_0 + \delta)\)时，\(f(x) < f(x_0)\)，即\(f(x_0)\)是一个严格极大值。
Q.E.D.
定理6
设\(f\)在\([a,b]\)上连续，\(x_0 \in (a,b)\)是\(f\)的一个驻点，进一步假设\(f^{\prime\prime}(x_0)\)存在，那么
（1）当\(f^{\prime\prime} < 0\)时，\(f(x_0)\)是\(f\)的一个严格极大值；
（2）当\(f^{\prime\prime} > 0\)时，\(f(x_0)\)是\(f\)的一个严格极小值。
证：这里只证（1），（2）是同样的证法。因为
\[
f^{\prime\prime}(x_0) = \lim \limits_{x \to x_0} \frac{f^\prime(x) -
f^\prime(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}
\frac{f^\prime(x)}{x-x_0} < 0
\]
从而存在一个\(\delta >
0\)，使得当\(0 < |x - x_0| <
\delta\)时，有
\[
\frac{f^\prime(x)}{x - x_0} < 0
\]
所以，当\(x \in (x_0, x_0 +
\delta)\)时，\(f^\prime(x) <
0\)；而当\(x \in (x_0 - \delta,
x_0)\)时，\(f^\prime(x) >
0\)，即\(f(x_0)\)是\(f\)的一个严格极大值。
Q.E.D.
定义1：凸函数
设函数\(f\)在区间\(I\)上有定义，如果对任何\(x_1,x_2 \in I\)，\(x_1\ne x_2\)，以及任意的\(\lambda_1,\lambda_2 > 0\)，且\(\lambda_1 + \lambda_2 = 1\)，都有
\[ f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) \le \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2) \]
则称\(f\)为\(I\)上的凸函数，如果上述不等式的不等号总成立，则称\(f\)为\(I\)上的严格凸函数。
定理7
设\(f\)在区间\(I\)上是凸函数，则对任何的\(x_1,x_2,\cdots,x_n \in I\)，以及\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n > 0\)，且\(\lambda _1+\lambda _2+\cdots+\lambda_n = 1\)，都有
\[ f(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i) \le \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) \]
如果\(f\)是\(I\)上的严格凸函数，则当\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)不全相等时，有
\[ f(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i) < \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) \]
证：使用数学归纳法。当\(n=2\)时，由凸函数定义知显然成立；设\(n = k\)时命题成立，现在证\(n = k+1\)时命题也成立。设\(x_1,x_2,\cdots,x_{k+1} \in I\)，\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_{k+1} >
0\)，并且\(\lambda_1 + \lambda_2 +
\cdots + \lambda_{k+1} = 1\)，知
\[
\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_k = 1 - \lambda_{k+1}
\Rightarrow \frac{\lambda_1}{1-\lambda_{k+1}} +
\frac{\lambda_2}{1-\lambda_{k+1}} + \cdots +
\frac{\lambda_k}{1-\lambda_{k+1}} = 1
\]
令\(u_i = \frac{\lambda_i}{1-\lambda_{k+1}}
(i=1,2\cdots,k)\)，从而有
\[
\begin{aligned}
f(\sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i x_i) & =
f\left((1-\lambda_{k+1})\sum_{i=1}^k u_i x_i +
\lambda_{k+1}x_{k+1}\right) \\
& \le (1-\lambda_{k+1}) f(\sum_{i=1}^k u_ix_i) +
\lambda_{k+1} f(x_{k+1}) \\
& \le (1-\lambda_{k+1}) \sum_{i=1}^k u_i f(x_i) +
\lambda_{k+1} f(x_{k+1}) \\
& = \sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i f(x_i)
\end{aligned}
\]
从而当\(f\)为\(I\)上的凸函数时，对任何\(n \in
\mathbb{N^{*}}\)，不等式都成立。
再设\(f\)是\(I\)上的严格凸函数，同样当\(n=2\)时，自然严格不等号成立。假设当\(n=k\)时，严格不等号成立。现设\(x_1,x_2,\cdots,x_{k+1}\)不全相等，有两种情况：
（1）\(x_1,x_2,\cdots,x_k\)不全相等，则此时上述归纳法的最后一个不等号是严格的，
（2）\(x_1=x_2=\cdots=x_k \ne
x_{k+1}\)，则
\[
\sum_{i=1}^k u_ix_i = x_1 \ne x_{k+1}
\]
此时上述归纳法的第一个不等号是严格的。从而对任何\(n \in
\mathbb{N^+}\)，最终不等式都是严格的。
Q.E.D.
定理8：Jensen不等式
设\(f\)在区间\(I\)上是凸函数，则对任何\(x_1,x_2,\cdots,x_n \in I\)，以及对任何的正数\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\)，有不等式
\[ f(\sum_{i=1}^n \beta_i x_i / \sum_{i=1}^n \beta_n) \le \frac{\sum\limits_{i=1}^n \beta_i f(x_i)}{\sum\limits_{i=1}^n \beta_i} \]
证：令
\[
\lambda_i = \frac{\beta_i}{\sum\limits_{i=1}^n \beta_i} \quad
(i=1,2,\cdots,n)
\]
再由定理7可证。
Q.E.D.
定理9
函数\(f\)在区间\(I\)是凸函数，当且仅当对任何\((x_1,x_2) \in I\)及任何\(x \in (x_1,x_2)\)，有
\[ \frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} \le \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \le \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x} \]
若\(f\)是严格凸函数，当且仅当上述不等式是严格的。
证：必要性。记
\[
\lambda_1 = \frac{x_2 - x}{x_2 - x_1} \qquad \lambda_2 = \frac{x -
x_1}{x_2 - x_1}
\]
则有\(\lambda_1 > 0, \lambda_2 > 0,
\lambda_1 + \lambda_2 = 1\)，且\(x =
\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2\)，
由凸函数的定义可知
\[
\lambda_1 f(x) + \lambda_2 f(x) = f(x) = f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2
x_2) \le \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2)
\]
可得
\[
\lambda_1 (f(x) - f(x_1)) \le \lambda_2 (f(x_2) - f(x)) \Rightarrow
\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} \le \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}
\]
又易证得：若\(b>0,d>0,a/b \le
c/d\)，则有
\[
\frac{a}{b} \le \frac{a+c}{b+d} \le \frac{c}{d}
\]
由以上性质，易得要证不等式成立，若\(f\)是严格凸函数，那么上述证明中得不等号都是严格的。
充分性。必要性的证明倒推回去即可证。
Q.E.D.
定理10
设\(f\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)上可导，则\(f\)在\([a,b]\)上为凸函数（严格凸函数）的充分必要条件是，\(f^\prime\)在\((a,b)\)上递增（严格递增）。
证：必要性。设\((x_1,x_2) \subset
(a,b)\)，由定理9可知，当\(x \in (x_1,x_2)\)，有
\[
\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} \le \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}
\le \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}
\]
左边不等式令\(x \to x_1^+\)，得
\[
f^\prime(x_1) \le \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \tag 1
\]
右边不等式令\(x \to x_2^-\)，得
\[
\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \le f^\prime(x_2) \tag 2
\]
从而有
\[
f^\prime(x_1) \le f^\prime(x_2)
\]
所以\(f^\prime\)是递增的。
当\(f\)是严格凸函数时，我们取\(x_1 < x^* < x_2\)，由于\(x_1 < x^*\)，从而由式(1)可知
\[
f^\prime(x_1) \le \frac{f(x^*) - f(x_1)}{x^* - x_1}
\]
又由于\(x^* <
x_2\)，从而有式(2)可知
\[
\frac{f(x_2) - f(x^*)}{x_2 - x^*} \le f^\prime(x_2)
\]
而再由定理9中严格凸函数的结论有
\[
\frac{f(x^*) - f(x_1)}{x^* - x_1} < \frac{f(x_2) - f(x^*)}{x_2 -
x^*}
\]
从而得\(f^\prime(x_1) <
f^\prime(x_2)\)，即\(f^\prime\)是严格递增的。
充分性。设\(f^\prime\)在\((a,b)\)上递增，对任何\(x \in (x_1,x_2)\)，有
\[
\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} = f^\prime(\xi_1) \qquad \frac{f(x_2)
- f(x)}{x_2 - x} = f^\prime(\xi_2)
\]
其中\(\xi_1 \in (x_1, x), \xi_2 \in (x,
x_2)\)，可知\(\xi_1 < x <
\xi_2\)，从而\(f^\prime(\xi_1) \le
f^\prime(\xi_2)\)，即
\[
\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} \le \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}
\]
当\(f^\prime\)严格递增时，上述不等式都是严格的，即得证。
Q.E.D.
定理11
设\(f\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)上有二阶导数，则\(f\)在\([a,b]\)上为凸函数的充分必要条件是，\(f^{\prime\prime} \ge 0\)在\((a,b)\)上成立；而\(f\)在\([a,b]\)上为严格凸函数的充分必要条件是，\(f^{\prime\prime} \ge 0\)在\((a,b)\)上成立，且在\((a,b)\)的任何开区间的子区间内\(f^{\prime\prime}\)不恒等于\(0\)。
证：结合定理1和定理10易证得前半部分，结合定理4和定理10易证得后半部分。
Q.E.D.