几何题
\(1.\) 在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，点\(D\)在线段\(BC\)上，且\(\angle BAD = 20^\circ\)，点\(E\)在线段\(AC\)上，且\(AE = AD\)，求\(\angle CDE\)。
\(2.\) 在\(\triangle ABC\)中，点\(D,E\)分别是\(AC,BC\)的中点，点\(F\)在线段\(AB\)上，且\(BF=\frac{1}{3}AB\)，\(BD\)与\(CF\)相交于点\(G\)，连接\(EG\)；
（1）证：\(EG \parallel AC\)。
（2）求\(\displaystyle \frac{S_{\triangle
BFG}}{S_{\triangle BEG}}\)。
\(3.\) 在\(\triangle ABC\)中，\(\angle BAC\)的角平分线\(AD\)交\(BC\)于点\(D\)，点\(E\)是\(BC\)的中点，过点\(E\)作\(EG \parallel AD\)交\(AB\)于点\(F\)，交\(CA\)的延长线于点\(G\)。证：\(BF = CG\)。
\(4.\) 在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle ACB = 90^\circ\)，点\(D\)在\(AB\)上，且\(CD \perp AB\)，\(AE\)平分\(\angle BAC\)交\(CD\)于点\(K\)，交\(BC\)于点\(E\)，\(F\)是\(BE\)上的点，且\(BF=CE\)，证：\(FK \parallel AB\)。
\(5.\) \(EFGH\)是正方形\(ABCD\)的内接四边形，其中点\(E,F,G,H\)分别在线段\(AB,BC,CD,DA\)中，\(\angle BEG,\angle CFH\)都是锐角，已知\(EG=3,FH=4\)，四边形\(EFGH\)的面积为\(5\)，求正方形\(ABCD\)的面积。
\(6.\) 平行四边形\(ABCD\)中，\(BC=2AB\)，\(M\)是\(AD\)的中点，点\(E\)在\(AB\)上，且\(CE \perp AB\)，求\(\angle DME : \angle AEM\)。
\(7.\) 矩形\(ABCD\)中，\(AB=a,BC=b\)，点\(E,F\)分别在\(AB,BC\)上，定义\(S_1=S_{\triangle DAE},S_2=S_{\triangle CDF},S_3=S_{\triangle BEF},S_4=S_{\triangle DEF}\)，如果\(\displaystyle S_1=S_2=\frac{1}{2} (S_3 + S_4)\)，求\(S_4\)（用\(a,b\)表示）。
\(8.\) 平行四边形\(ABCD\)中，\(M\)是\(BC\)的中点，且\(AM=9,BD=12,AD=10\)，求平行四边形\(ABCD\)的面积。
\(9.\) 平行四边形\(ABCD\)中，\(AB=5,AD=8\)，\(\angle BAD,\angle ADC\)的角平分线分别交\(BC\)于点\(E,F\)，求\(EF\)。
\(10.\) \(\triangle ABC\)是\(\bigodot O\)的内接三角形，且\(AC=BC\)，点\(D\)在\(\bigodot
O\)上，延长\(DA\)至点\(E\)，使\(CE=CD\)；
（1）证：\(AE=BD\)。
（2）若\(AC \perp BC\)，证：\(AD+BD = \sqrt 2 CD\)。
\(11.\) 在三角形\(ABC\)中，点\(O\)是\(AC\)上的一个动点，过点\(O\)作直线\(MN
\parallel BC\)，设\(MN\)交\(\triangle BCA\)的角平分线于点\(E\)，交\(\triangle BCA\)的外角平行线于点\(F\)；
（1）证：\(OE=OF\)。
（2）点\(O\)在何处时，四边形\(AECF\)是矩形？
（3）若\(AC\)上存在点\(O\)使四边形\(AECF\)是正方形，且$ = \(，求\)B$的大小。
\(12.\) 三角形\(ABC\)中，\(AB=5,AC=3\)，\(D\)为\(BC\)的中点，\(AD=2\)，求\(BC\)的长。
\(13.\) \(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^\circ\)，点\(M\)是\(BC\)的中点，点\(D\)在\(AB\)上，\(MD \perp AB\)，证：\(AC^2 + BD^2 = AD^2\)。
\(14.\) 在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，点\(P\)是\(BC\)上一点，证：\(PA^2 + PB\cdot PC = AB^2\)。
\(15.\) 点\(P\)是\(\triangle ABC\)内一点，\(PD \perp AB\)于点\(D\)，\(PE \perp BC\)于点\(E\)，\(PF \perp AC\)于点\(F\)，证：\(AD^2 + BE^2 + CF^2 = AF^2 + BD^2 + CE^2\)。
\(16.\) 在\(\triangle ABC\)中，\(BD \perp AC\)于点\(D\)，\(CE \perp AB\)于点\(E\)，点\(F\)在\(BD\)上，且\(BF=AC\)，点\(G\)在\(CE\)的延长线上，且\(CG = AB\)，证：\(AG \perp AF\)。
\(17.\) 在等腰\(Rt \triangle ABC\)中，\(\angle A = 90^\circ\)，\(\angle ABC\)的角平分线\(BD\)交\(AC\)于点\(D\)，点\(E\)在\(BC\)上，且\(\angle CDE = 45^\circ\)，连接\(AE\)，证：\(AE \perp BD\)。
\(18.\) 点\(E\)为平行四边形\(ABCD\)的边\(BC\)上一动点，\(DE\)交直线\(AB\)于点\(F\)，连接\(AE,CF\)；
（1）\(\triangle ABE\)与\(\triangle CEF\)的面积有何关系？
（2）若\(E\)在\(CB\)的延长线上，（1）的结论依然成立吗？
\(19.\) \(\triangle ABC\)中，\(AB=5,AC=11\)，\(\triangle BAC\)的角平分线\(AD\)交\(BC\)于点\(D\)，点\(E\)为\(BC\)的中点，过点\(E\)作\(EF \parallel AD\)交\(AC\)于点\(F\)，求\(CF\)的长。
\(20.\) 在\(\triangle ABC\)中，点\(E\)在\(AB\)上，\(AE:EB=1:3\)，点\(D\)在\(BC\)上，\(BD:DC=2:1\)，\(AD\)与\(CE\)相交于点\(F\)，则\(\displaystyle \frac{EF}{FC} + \frac{AF}{FD}\)的值为？
\(21.\) 在\(\triangle ABC\)中，\(AB > AC\)，\(AD\)平分\(\angle BAC\)且交\(BC\)于点\(D\)，\(EF \perp AD\)交\(AB\)于点\(E\)，交\(AC\)于点\(F\)，交\(AD\)于点\(G\)，交\(BC\)的延长线于点\(M\)，证：\(\displaystyle \angle M = \frac{1}{2} (\angle ACB - \angle B)\)。
\(22.\) 在\(\triangle ABC\)中，\(AD\)是\(\angle BAC\)的角平分线且交\(BC\)于点\(D\)，若\(AB + BD = 25, AC - CD = 4\)，则\(AD\)为多少？
\(23.\) 如图，在\(\triangle ABC\)中，\(DE \parallel FG \parallel BC\)，\(GI \parallel EF \parallel AB\)，若\(S_{\triangle ADE} = 20, S_{\triangle EFG} = 45, S_{\triangle GIC} = 80\)，则\(S_{\triangle ABC}\)是多少？
\(24.\) 在梯形\(ABCD\)中，\(AD \parallel BC\)，\(AC \perp BD\)，已知\(AD:BC=3:4\)，则\(BD:AC\)的值为？
\(25.\) 如图，六边形\(ABCDEF\)由\(6\)个全等的正方形组成，正方形边长为\(1\)，过点\(A\)的一条直线分别与\(ED,CD\)交于\(M,N\)，若这个六边形在\(MN\)两侧的部分面积相等，则\(EM\)的长度是？
\(26.\) 正方形\(ABCD\)的边\(AB=12\)，点\(E\)在\(CD\)上，且\(DE=5\)，点\(M\)在\(AE\)上，且\(EM=5\)，过点\(M\)的线段\(PQ \perp AE\)分别交\(AD,BC\)于点\(P,Q\)，则\(PM:MQ\)为？
\(27.\) \(\triangle ABC\)中，\(AD\)是\(BC\)边上的中线，点\(F\)在\(AD\)上，且\(AF:FD=1:5\)，连接\(CF\)并延交\(AB\)于点\(E\)，则\(AE:EB\)为？
\(28.\) 在梯形\(ABCD\)中，\(AD \parallel BC\)，\(EH \parallel BC\)分别交\(AB,BD,AC,CD\)于点\(E,F,G,H\)，且\(BC=a,AD=b (a > b)\)，\(AE:EB=3:2\)，则\(FG\)为？
\(29.\) 设\(P,M,N\)分别是\(\triangle ABC\)的边\(BC,CA,AB\)上的点，且\(AP,BM,CN\)三线共点，证\(\displaystyle \frac{AN}{NB} \cdot \frac{BP}{CP} = \frac{AM}{MC}\)。
\(30.\) 已知\(M,N\)为\(\triangle ABC\)的边\(BC\)上的两点，且满足\(BM=MN=NC\)，一条平行于\(AC\)的直线分别交\(AB,AM\)和\(AN\)的延长线于点\(D,E,F\)，证\(EF=3DE\)。
\(31.\) 已知\(\triangle ABC\)和\(\triangle A_1B_1C_1\)均为正三角形，\(BC\)和\(B_1C_1\)的中点均为\(D\)，证\(AA_1 \perp CC_1\)。
\(32.\) 如图，在\(\triangle ABC\)内部选取一点\(P\)，过点\(P\)作三条分别与\(\triangle ABC\)的三边平行的直线，这样所得的三角形\(t_1,t_2,t_3\)的面积分别为\(4, 9, 49\)，求\(S_{\triangle ABC}\)。
\(33.\) 点\(E\)是四边形\(ABCD\)的对角线\(BD\)上一点，且\(\angle BAC=\angle BDC=\angle DAE\)，
（1）证：\(BE \cdot AD = CD \cdot
AE\)；
（2）猜想\(\displaystyle
\frac{BC}{DE}\)可能等于哪两条线段之比？注：只需写出一组比？并证明你的猜想。
\(34.\) 在\(\triangle ABC\)中，\(\angle BAC = 120^\circ\)，\(AD \perp BC\)并交\(BC\)于点\(D\)，且\(AB+BD=DC\)，则\(\angle C=\)？
\(35.\) \(BM\)和\(CM\)分别是\(\triangle ABC\)的内角\(ABC\)和外角\(ACD\)的角平分线，\(ME \parallel BC\)交\(AB\)于点\(E\)，交\(AC\)于点\(F\)，证\(EF = BE - CF\)。
\(36.\) 在等腰\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，点\(D,E\)在线段\(BC\)上，且\(BD=DE=EC\)，证\(\angle BAD < \angle DAE\)。
\(37.\) 如图，已知\(BE\)是\(\angle ABD\)的角平分线，\(CF\)是\(\angle ACD\)的角平分线，\(BE\)与\(CF\)交于点\(G\)，若\(\angle BDC=140^\circ,\angle BGC=110^\circ\)，则\(\angle A=\)？
\(38.\) 已知\(\angle xOy = 90^\circ\)，点\(A,B\)分别在射线\(Ox,Oy\)上移动，\(BE\)是\(\angle ABy\)的角平分线，\(BE\)的反向延长线与\(\angle OAB\)的角平分线交于点\(C\)。试问\(\angle ACB\)的大小是否变化，如果保持不变，请证明；如果变化，请求出变化范围。
\(39.\) 点\(D,F\)分别是\(\triangle ABC\)的边\(AB,AC\)上的点，且\(AD:DB=CF:FA=2:3\)，\(DF\)延长线交\(BC\)的延长线于点\(E\)，则\(EF:FD=\)？
\(40.\) 已知矩形\(ABCD\)的边长\(AB=2,BC=3\)，点\(P\)是\(AD\)边上的一动点，\(Q\)是\(BC\)边上的任意一点，连接\(AQ,DQ\)，过点\(P\)作\(PE
\parallel DQ\)交\(AQ\)于点\(E\)，作\(PF
\parallel AQ\)交\(DQ\)于点\(F\)，
（1）设\(AP\)的长为\(x\)，试求\(S_{\triangle PEF}\)关于\(x\)的函数式，并求当\(P\)在何处时，\(S_{\triangle
PEF}\)取最大值，最大值是多少？
（2）当\(Q\)在何处时，\(\triangle ADQ\)的周长最小？
\(41.\) 在矩形\(ABCD\)中，点\(E\)为\(AD\)的中点，点\(F\)在\(AB\)上且\(EF
\perp EC\)，连接\(FC\)，\((AB > AE)\)，
（1）\(\triangle AEF \sim \triangle
ECF\)成立吗？若成立，请证明；否则，请说明理由。
（2）设\(\displaystyle
\frac{AB}{BC}=k\)，是否存在这样的\(k\)使得\(\triangle AEF \sim \triangle
BCF\)？若存在，证明之并求出\(k\)；否则，请说明理由。
\(42.\) 点\(M\)为\(\triangle ABC\)的边\(BC\)的中点，截线\(PQ\)分别交\(AB,AM,AC\)于点\(P,N,Q\)，求证\(\displaystyle \frac{AB}{AP} + \frac{AC}{AQ} = 2\frac{AM}{AN}\)。
\(43.\) 点\(M\)为正方形\(ABCD\)的边\(AB\)上一点，\(BP \perp CM\)于点\(P\)，\(N\)为\(BC\)上一点，且\(BM=BN\)，求证\(PD \perp PN\)。
\(44.\) 四边形\(ABCD\)中，\(AC,BD\)相交于点\(O\)，过点\(O\)作\(AB\)的平行线分别交\(AD,BC\)以及\(DC\)的延长线于点\(E,F,G\)，求证\(GO^2 = GE\cdot GF\)。
$45. $ 在平行四边形\(ABCD\)中，\(O_1,O_2,O_3\)为\(BD\)上三点，且\(BO_1=O_1O_2=O_2O_3=O_3D\)，连接\(AO_1\)并延长交\(BC\)于点\(E\)，连接\(EO_3\)并延长交\(AD\)于点\(F\)，则\(AD:FD=?\)
$46. $ 在等腰直角三角形\(BAC\)中，\(\angle A = 90^\circ\), \(AB=1\)，\(E\)为\(AC\)的中点，点\(F\)在\(BC\)上，且\(EF \perp BE\)，求\(\triangle CEF\)的面积。
$47. $ 在梯形\(ABCD\)中，\(AD \parallel BC\)，\(AB=DC=3\)，点\(P\)是\(BC\)上一点，\(PE \parallel AB\) 交\(AC\)与点\(E\)，\(PF \parallel CD\)交\(BD\)于点\(F\)，令\(m=PE,n=PF,x=m+n\)，那么当\(P\)在\(BC\)上移动时，\(x\)的值是否变化，如果变化，求出\(x\)的取值范围，否则，求出\(x\)的值，并说明理由。
$48. $ 设点\(P\)是等边三角形\(ABC\)的边\(BC\)上任一点，连接\(AP\)并作\(AP\)的中垂线交\(AB\)与\(AC\)分别于点\(M,N\)，求证\(BP\cdot PC=BM\cdot CN\)。
$49. $ 正方形\(GEFD\)内接于\(\triangle ABC\)，若\(\angle C=90^\circ\)，\(AC=b,AB=c,BC=a\)，则\(AD:DE:EB=?\)
$50. $ \(\triangle ABC\)中，\(E,D\)是边\(BC\)上两点，若\(AD=AE\)，\(\angle BAD = \angle C\)，\(AC=6\)，\(CE=4\)，则\(BE=?\)
$51. $ \(\triangle ABC\)中，\(F\)是\(AC\)的中点，\(DE\)是\(BC\)的三等分点，\(BF\)分别交\(AD,AE\)于点\(G,H\)，则\(BG:GH:HF=?\)
$52. $ \(\triangle ABC\)中，点\(D,E,F\)分别在边\(AB,BC,CA\)上，已知\(S_{\triangle ABC} = 18, AD=4, BD=5, S_{\triangle ABE}=S_{DBEF}\)，则\(S_{\triangle ABE}=?\)
$53. $ 在四边形\(ABCD\)中，\(AB=CD\)，但不平行，点\(M,N\)分别是\(AD,BC\)的中点，\(NM\)的延长线与\(BA,CD\)的延长线分别交于点\(P,Q\)，求证\(\angle APM = \angle DQM\)。
$54. $ 在等腰\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC, AM \parallel BC\)，且\(\displaystyle AM=\frac{1}{2}AC\)，点\(D\)在\(AB\)上，\(\displaystyle AD=\frac{1}{4}AB\)，延长\(MD\)至\(N\)，使得\(DM=DN\)，连接\(AN,BN\)，证明\(AN \perp BN\)。
$55. $ 直角\(\triangle
ABC\)中，\(\angle C =
90^\circ\)，作\(\displaystyle BN \perp
BC, BN=AN, BD=\frac{1}{4}BA\)，连接\(ND\)至点\(M\)，使得\(MD=ND\)，
（1）证明\(BM \perp AB\)；
（2）\(M\)点于\(BC\)的垂直平分线有何位置关系，为什么？
$56. $ 在正方形\(ABCD\)中，点\(E\)在\(CB\)的延长线上，点\(F\)在\(BA\)的延长线上，且\(AF=CE\)，点\(P\)是\(\triangle EFB\)中\(\angle FEB, \angle FBE\)两个外角平分线的交点，证明\(DP=DF\)。
$57. $ 在平面直角坐标系中，抛物线\(y=ax^2+2ax-b\)与\(x\)轴交于\(A,B\)两点，与\(y\)轴的正半轴交于\(C\)点，且\(A(-4,0), OC=2OB\)，
（1）求\(a,b\)的值；
（2）点\(T\)为其顶点，\(L\)为抛物线上一动点，且\(\displaystyle MN=\frac{2}{3}LN\)（点\(M,N,L\)按逆时针顺序），当点\(L\)在抛物线上运动时，直线\(AM,TL\)是否存在某种未知关系，若存在，请证明；若不存在，请说明理由。
$58. $ 在菱形\(ABCD\)与菱形\(BEFG\)中，且\(\angle ABC=\angle BEF=60^o\)，\(A,B,E\)在同一条直线上，
（1）点\(P\)是线段\(DF\)的中点，连接\(PG,PC\)，探究\(PG\)与\(PC\)的位置和数量关系？\(\displaystyle \frac{PG}{PC}\)的值；
（2）如果将\(BEFG\)绕点\(B\)顺时针旋转，使\(BF\)与菱形\(ABCD\)边\(AB\)在同一条直线上，原条件不变，则（1）中的结论是否依然成立？为什么？
$59. $ 如果，直角梯形\(ABCD\)中，\(AB
\parallel CD, \angle A = 90^o, CD=3, AD=4, \tan B =
2\)，过点\(C\)作\(CH \perp AB\)，点\(P\)为线段\(AD\)上一动点，直线\(PM \parallel AB\)分别交\(BC,CH\)于点\(M,Q\)，以\(PM\)为斜边向右作等腰直角三角形\(PMN\)，直线\(MN\)交\(AB\)与点\(E\)，直线\(PN\)交\(AB\)于点\(F\)，设\(PD\)的长为\(x\)，\(EF\)的长为\(y\)；
（1）求\(PM\)的长；
（2）求\(y\)与\(x\)的函数关系及自变量\(x\)的取值范围；
（3）当点\(E\)在线段\(AH\)上时，求\(x\)的取值范围。
$60. $ 点\(A,B\)分别是两条平行线\(m,n\)上的任意两点，在直线\(n\)上找一点\(C\)，使得\(BC=kAB\)，连接\(AC\)，在线段\(AC\)上任取一点\(E\)，作\(\angle
BEF = \angle ABC\)，\(EF\)交直线\(m\)于点\(F\)，
（1）当\(k=1\)时，探究线段\(EF\)与\(EB\)的关系，并加以说明；
（2）若\(\angle ABC=90^\circ, k \ne
1\)，探究线段\(EF\)与\(EB\)的关系。
$61. $ 如图，\(E\)是正方形\(ABCD\)的边\(BC\)上一点，\(AF\)平分\(\angle EAD\)交\(CD\)于点\(F\)，求证\(AE = BE + DF\)。
$62. $ 矩形\(ABCD\)中，\(AD = a, AB = b\)，要使\(BC\)边上至少存在一点\(P\)，使\(\triangle ABP, \triangle APD, \triangle CDP\)两两相似，则\(\displaystyle \frac{a}{b}\)的取值范围是？
$63. $ 如图，\(AM\)为\(\angle BAD\)的平分线，\(CM\)为\(\angle BCD\)的平分线，求证\(\displaystyle \angle M = \frac{1}{2} (\angle B + \angle D)\)。
$64. $ 如图，\(ABCD\)为矩形，\(CD\)的延长线上有一点\(E\)，连接\(BE\)，\(BE\)上有一点\(G\)，有\(BD = DG, DG = GE\)，求证\(\angle DBA = 3 \angle EBA\)。
$65. $ 在平行四边形\(ABCD\)中，\(E\)为\(CD\)上一点，\(DE:EC = 2:3\)，连接\(AE,BE,BD\)，且\(AE,BD\)交于点\(F\)，则$S_{EDF}: S_{EBF}: S_{ABF} = $？
$66. $ 过\(\triangle ABC\)内任一点\(P\)，作\(DE \parallel BC, HK \parallel AB, GF \parallel AC\)，则\(\displaystyle \frac{DE}{BC} + \frac{FG}{AC} + \frac{KH}{AB}=\)？
$67. $ \(\triangle ABC\)中，\(\angle ABC = 45^\circ\)，\(AD\)是\(\angle BAC\)的平分线，\(EF\)垂直平分\(AD\)交\(BC\)延长线于\(F\)，则\(\angle CAF=\)？
$68. $ 在锐角三角形中，三个内角度数都是质数，则\(3\)个内角大小为？
$69. $ 已知四边形\(ABCD\)中，\(\angle ADC = \angle ABC = 90^\circ\)，\(M,N\)分别是\(AC,BD\)的中点，证明\(MN \perp BD\)。
$70. $ 三角形\(ABC\)中，若\(\angle A\)的外角平分线与三角形的外接圆交于点\(D\)，证明\(BD=CD\)。
$71. $ 若\(a,b,c\)表示\(\triangle ABC\)的三边长，\(m>0\)，证明\(\displaystyle \frac{a}{a+m} + \frac{b}{b+m} > \frac{c}{c+m}\)。
$72. $ 已知\(BE,CF\)分别为\(\triangle ABC\)的边\(AC,AB\)上的高，\(G\)为\(EF\)的中点，\(H\)为\(BC\)的中点，求证\(HG \perp EF\)。
$73. $ 证明：等腰三角形底边延长线上一点到两腰距离之差等于一腰上的高。
代数题
$1. $ 当关于\(x\)的方程\(rx^2 + (r+2)^2x + r - 1 = 0\)有且仅有整数根时，求\(r\)的值。
$2. $ 已知\(\displaystyle \frac{1}{4}(b-c)^2 = (a-b)(c-a)\)，且\(a \ne 0\)，则\(\displaystyle \frac{b+c}{a}=\)？
$3. $ 已知\(x + y + z=0\)，则\(\displaystyle \frac{1}{y^2+z^2-x^2} + \frac{1}{z^2+x^2-y^2} + \frac{1}{x^2+y^2-z^2}=\)？
$4. $ 已知\(\displaystyle \frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1\)，\(\displaystyle \frac{m}{x} + \frac{n}{y} + \frac{p}{z} = 0\)，则\(\displaystyle \frac{x^2}{m^2} + \frac{y^2}{n^2} + \frac{z^2}{p^2}=\)？
$5. $ 已知\(f(x) = ax^2 + bx + c (a \ne 0)\)且\(a,b,c\)都为整数，\(f(0),f(1)\)都为奇数，求证：\(f(x)=0\)无整实根。
$6. $ 已知\(x,y,z\)为互不相等的实数，且\(\displaystyle x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{z} = z + \frac{1}{x}\)，证明\(x^2y^2z^2 = 1\)。