定义1：极值
设函数\(f: (a,b) \to \mathbb{R}\)，如果对点\(x_0 \in (a, b)\)，存在\(\delta > 0\)，使得\(\Delta = (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset (a,b)\)，且当\(x \in \Delta\)时，有\(f(x_0) \ge f(x)\)，则称\(f(x_0)\)是\(f\)在\((a,b)\)上的极大值，\(x_0\)称为极大值点。类似地，可以定义\(f\)在\((a,b)\)上的极小值和极小值点。极小值和极大值统称为极值，而极小值点和极大值点统称为极值点。
定理1：Fermat
若函数\(f\)在其极值点\(x_0 \in (a,b)\)处可导，则必有\(f^\prime(x) = 0\)。
证：不妨设\(f(x_0)\)时极大值，由极大值点的定义可知，存在\(\delta > 0\)，使得当\(x \in (x_0 - \delta, x_0 +
\delta)\)，有\(f(x_0) >
f(x)\)。从而，当\(x \in (x_0 - \delta,
x_0)\)时，有
\[
\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \ge 0
\]
而当\(x \in (x_0,
x_0+\delta)\)，又有
\[
\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \le 0
\]
由于\(f^\prime(x)\)存在，因此\(f_-^{\prime}(x)\)和\(f_+^{\prime}(x)\)都存在，且相等。从而在以上两个不等式中分别令\(x \to x_0^-, x \to x_0^+\)，得
\[
f_-^{\prime}(x_0) \ge 0 \qquad f_+^{\prime}(x) \le 0
\]
因此必有\(f^\prime(x) = 0\)。
Q.E.D.
定义2：驻点
满足\(x_0 \in (a,b)\)且\(f^\prime(x_0) = 0\)的点\(x_0\)称为函数\(f\)的一个驻点。
定理2：Rolle
设函数\(f\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a) = f(b)\)，那么存在一点\(\xi \in (a,b)\)，使得\(f^\prime(\xi) = 0\)。
证：闭区间\([a,b]\)上的连续函数\(f\)取到最小值和最大值分别记为\(m\) 和 \(M\)。如果\(m = M\)，那么\(f\)时常值函数，这时\(f^\prime = 0\)，因此\((a,b)\)上任意一点都可为所求的点。若\(M > m\)，由于\(f(a) = f(b)\)，则\(m, M\)至少有一个时\(f\)在内点\(\xi \in (a,b)\)上所取得的。这时\(\xi\)为一个极值点，由定理1可知\(f^\prime(\xi) = 0\)。
Q.E.D.
定理3
设函数\(f\)与\(\lambda\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(\lambda(a) = 1,\lambda(b) = 0\)，则必存在一点\(\xi \in (a,b)\)使得
\[ f^\prime(\xi) = \lambda^\prime(\xi)(f(a) - f(b)) \]
证：构造函数
\[
\varphi(x) = f(x) - (\lambda(x)f(a) + (1 - \lambda(x))f(b))
\]
可知\(\varphi(a) = \varphi(b) =
0\)。因此函数\(\varphi\)满足Rolle定理条件，从而存在一点\(\xi \in (a,b)\)使得\(\varphi^{\prime}(\xi) = 0\)，由于
\[
\varphi^\prime(x) = f^\prime(x) - \lambda^\prime(x)(f(a) - f(b))
\]
将\(\xi\)代入上式，得
\[
f^\prime(\xi) = \lambda^\prime(\xi)(f(a) - f(b))
\]
Q.E.D.
定理4：Lagrange
设函数\(f\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，则存在\(\xi \in (a,b)\)使得
\[ \frac{f(a) - f(b)}{a - b} = f^\prime(\xi) \]
证：在定理3中取
\[
\lambda (x) = \frac{b-x}{b-a} \quad (a \le x \le b)
\]
即可得。
Q.E.D.
定理5
设函数\(f\)与在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，则函数\(f\)在\([a,b]\)上为常数的充分必要条件是\(f^\prime = 0\)。
证：必要性易证。充分性：设\(f^\prime =
0\)，任取\(x_1,x_2 \in
[a,b]\)，且\(x_1 <
x_2\)，那么存在\(\xi \in
(x_1,x_2)\)，使得
\[
f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(\xi) (x_2 - x_1)
\]
由于\(f^\prime(\xi) = 0\)，从而\(f(x_2) = f(x_1)\)。
Q.E.D.
定理6：Cauchy
设函数\(f\)和\(g\)在区间\([a,b]\)上连续，在区间\((a,b)\)内可导，且当\(x \in (a,b)\)时，\(g^\prime(x) \ne 0\)，这时必存在一点\(\xi \in (a,b)\)，使得
\[ \frac{f(a) - f(b)}{g(a) - g(b)} = \frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)} \]
证：在定理3中取
\[
\lambda (x) = \frac{g(b) - g(x)}{g(b) - g(a)} \quad (a \le x \le b)
\]
即可得。
Q.E.D.
定理7：Darboux
如果\(f\)在\([a,b]\)上可导，那么：
（1）导函数\(f^\prime\)可以取到\(f^\prime(a)\)与\(f^\prime(b)\)之间的一切值。
（2）\(f^\prime\)无第一类间断点。
证：（1）先证明：如果\(f^\prime(a)f^\prime(b) <
0\)，那么必有\(\xi \in
(a,b)\)，使得\(f^\prime(\xi) =
0\)。不妨设\(f^\prime(a) > 0,
f^\prime(b) < 0\)。由于
\[
f^\prime(a) = \lim\limits_{x\to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} >
0
\]
所以存在\(\delta_1 > 0\)，当\(x \in (a, a+\delta_1)\)时，\(\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} >
0\)，由于\(x > a\)，所以\(f(x) > f(a)\)。同理可知存在\(\delta_2 > 0\)，当\(x \in (b - \delta_2, b)\)时，\(f(x) > f(b)\)，表明\(f(a),f(b)\)都不是\(f\)在\([a,b]\)上的最大值，从而必存在\(\xi \in (a,b)\)，使得\(f^\prime(\xi) = 0\)。
现在设\(f^\prime(a) <
f^\prime(b)\)，任取介于\(f^\prime(a)\)和\(f^\prime(b)\)之间的值\(\gamma\)，即
\[
f^\prime(a) < \gamma < f^\prime(b)
\]
记\(F(x) = f(x) - \gamma x\)，那么\(F^\prime(x) = f^\prime(x) -
\gamma\)，可知\(F^\prime(a)F^\prime(b)
< 0\)，从而利用上面所证的结论可知，存在\(\xi \in (a,b)\)，使得\(F^\prime(\xi) = 0\)，即
\[
f^\prime(\xi) = \gamma
\]
（2）用反证法。如果\(x_0\)是\(f^\prime\)的一个第一类间断点，那么\(f^\prime(x_0+)\)和\(f^\prime(x_0-)\)都存在，于是由定理4可得
\[
f^\prime(x_0) = f_+^\prime(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0+}
\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0^+}
\frac{f^\prime(\xi_+)(x-x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0^+}
f^\prime(\xi_+)
\]
其中\(\xi_+ \in (x_0,
x)\)。由于当\(x \to
x_0^+\)，\(\xi_+ \to
x_0^+\)，且已知\(f^\prime(x_0+)\)存在，所以得
\[
f^\prime(x_0) = f^\prime(x_0+)
\]
同理可证\(f^\prime(x_0) = f^\prime(x_0-)\)。由此可知\(f^\prime\)在\(x_0\)处连续，这与\(x_0\)是\(f^\prime\)的间断点矛盾。
Q.E.D.