本章介绍常见初等函数的导函数及其求法。
常值函数
函数\(f = c\)为常值函数，证：\(f^\prime = 0\)。
证：由于
\[
f^\prime(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{c-c}{h} = 0
\]
Q.E.D.
指数函数
函数\(f(x) = x^\alpha (x > 0, \alpha \in \mathbb{R})\)，证：\(f^\prime(x) = \alpha x^{\alpha - 1}\)。
证：由于
\[
f^\prime(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{(x+h)^\alpha -
x^\alpha}{h} = x^{\alpha-1}\lim\limits_{h \to 0} \frac{(1 +
h/x)^{\alpha} - 1}{h/x}
\]
而
\[
\lim\limits_{t \to 0} \frac{(1+t)^\alpha - 1}{t} = \lim\limits_{t
\to 0} \frac{e^{\alpha \ln(1+t)} - 1}{\alpha \ln (1+t)} \frac{\alpha \ln
(1+t)}{t}
\]
由于\(\ln(1+x) \sim x, e^x-1 \sim x \quad (x
\to 0)\)，从而
\[
\lim\limits_{t \to 0} \frac{(1+t)^\alpha - 1}{t} = \alpha
\]
所以
\[
f^\prime(x) = \alpha x^{\alpha - 1}
\]
Q.E.D.
正弦函数
函数\(f(x) = \sin x\)，证\(f^\prime(x) = \cos x\)。
证：由于
\[
f^\prime(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} =
\lim\limits_{h \to 0} \frac{\cos (x+h/2) \sin (h/2)}{h/2} = \cos x
\]
Q.E.D.
余弦函数
函数\(f(x) = \cos x\)，证\(f^\prime(x) = -\sin x\)。
证：由于
\[
f^\prime(x) = \lim \limits_{h \to 0} \frac{\cos (x+h) - \cos x}{h} =
\lim\limits_{h \to 0} \frac{-\sin(x+h)\sin (h/2)}{h/2} = -\sin x
\]
Q.E.D.
正切函数
函数\(f(x) = \tan x\)，证\(f^\prime(x) = \sec^2x\)。
证：由于
\[
(\tan x)^\prime = \begin{aligned} \left( \frac{\sin x}{\cos x}
\right)\end{aligned} ^\prime = \frac{(\sin x)^\prime \cos x - \sin x
(\cos x)^\prime}{\cos^2x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2x
\]
Q.E.D.
余切函数
函数\(f(x) = \cot x\)，证\(f^\prime(x) = -\csc^2x\)。
证：由于
\[
(\tan x)^\prime = \begin{aligned} \left( \frac{\cos x}{\sin x}
\right)\end{aligned} ^\prime = \frac{(\cos x)^\prime \sin x - \cos x
(\sin x)^\prime}{\sin^2x} = - \frac{1}{\cos^2 x} = -\csc^2x
\]
Q.E.D.
反正弦函数
函数\(f(x) = \arcsin x\)，证\(f^\prime(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)。
证：函数\(f(x)\)的反函数为\(x = \sin y\)，从而
\[
f^\prime(x) = \frac{1}{(\sin y)^\prime} = \frac{1}{\cos y} =
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\]
Q.E.D.
反余弦函数
函数\(f(x) = \arccos x\)，证\(f^\prime(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)。
证：函数\(f(x)\)的反函数为\(x = \cos y\)，从而
\[
f^\prime(x) = \frac{1}{(\cos y)^\prime} = \frac{1}{-\sin y} =
-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\]
Q.E.D.
反正切函数
函数\(f(x) = \arctan x\)，证\(f^\prime(x) = \frac{1}{1+x^2}\)。
证：函数\(f(x)\)的反函数为\(x = \tan y\)，从而
\[
f^\prime(x) = \frac{1}{(\tan y)^\prime} = {\cos^2 y} =
\frac{1}{1+\tan^2y} = \frac{1}{1+x^2}
\]
Q.E.D.
反余切函数
函数\(f(x) = \mathrm{arccot} x\)，证\(f^\prime(x) = -\frac{1}{1+x^2}\)。
证：函数\(f(x)\)的反函数为\(x = \cot y\)，从而
\[
f^\prime(x) = \frac{1}{(\cot y)^\prime} = -{\sin^2 y} =
-\frac{1}{1+\cot^2y} = -\frac{1}{1+x^2}
\]
Q.E.D.
幂函数
函数\(f(x) = a^x (a>0)\)，证\(f^\prime(x) = a^x \ln a\)。
证：由于
\[
f^\prime(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h} = a^x
\lim\limits_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h} = a^x \ln a
\]
特别地，当\(a= e\)时，有\((e^x)^\prime = e^x\)。
Q.E.D.
对数函数
函数\(f(x) = \log_a x \quad (a > 0)\)，证\(f^\prime(x) = \frac{1}{x \ln a}\)。
证：由于\(f(x)\)的反函数为\(x = a^y\)，所以
\[
f^\prime(x) = \frac{1}{(a^y)^\prime} = \frac{1}{a^y \ln a} =
\frac{1}{x \ln a}
\]
特别地，当\(a=e\)时，有\((\ln x)^\prime = \frac{1}{x}\)。
Q.E.D.