定义1：向量值函数
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，定义\(\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m\)为向量值函数，其中\(D\)称为\(\boldsymbol{f}\)定义域，\(f(D)\)称为值域。当用\(\boldsymbol{y} = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x} \in D)\)来表示这种映射时，\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^m\)。按分量形式写出\(\boldsymbol{x} = (x_1,x_2,\cdots,x_n), \boldsymbol{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_m)\)，那么该映射函数相当于给定了\(m\)个\(n\)元函数：
\[ \left\{ \begin{aligned} & y_1 = f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n) \\ & y_2 = f_2(x_1,x_2,\cdots,x_n) \quad (x_1,x_2,\cdots,x_n) \in D \subset \mathbb{R}^n \\ & \cdots \\ & y_m = f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n) \end{aligned} \right. \]
反过来也成立。也就是说，如果给定了\(m\)个定义在\(D \subset \mathbb{R}^n\)上的函数，就相当于给定了定义在\(D\)上，映射到\(\mathbb{R}^m\)中的一个映射，或者说在\(D\)上定义了一个在\(\mathbb{R}^m\)中取值的向量值函数。这一事实表示为
\[ \boldsymbol{f} = (f_1,f_2,\cdots,f_m) \]
其中\(f_i: D \to \mathbb{R}\)称为\(\boldsymbol{f}\)的第\(i\)个分量函数\((i=1,2,\cdots,m)\)
定义2
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m\)，又设\(\boldsymbol{a} \in D^\prime, \boldsymbol{p}\in \mathbb{R}^m\)。如果\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得当\(\boldsymbol{x} \in D\)且\(0 < \Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \Vert < \delta\)时，有
\[ \Vert \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{p} \Vert < \varepsilon \]
则称映射\(f\)在点\(\boldsymbol{a}\)处有极限\(p\)，记为
\[ \lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{p} \]
也可以简记为
\[ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \to \boldsymbol{p} \quad (\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}) \]
定理1
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m,\boldsymbol{a} \in D^\prime, \boldsymbol{p}=(p_1,p_2,\cdots,p_m)\in \mathbb{R}^m, \boldsymbol{f} = (f_1,f_2,\cdots,f_m)\)。那么
\[ \lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{p} \]
当且仅当
\[ \lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f_i(\boldsymbol{x}) = p_i \quad (i=1,2,\cdots,m) \]
证：必要性。因为\(\Vert f_i(\boldsymbol{x})
- p_i \Vert \le \Vert \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{p}
\Vert \quad (i=1,2,\cdots,m)\)，所以\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得当\(\boldsymbol{x} \in D\)且\(0 < \Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \Vert
< \delta\)时，有
\[
| f_i(\boldsymbol{x}) - p_i | \le \Vert
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{p} \Vert < \varepsilon
\]
这就表明
\[
\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f_i(\boldsymbol{x})
= p_i \quad (i=1,2,\cdots,m)
\]
充分性。因为
\[
\Vert \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{p} \Vert \le
\sum_{i=1}^m |f_i(\boldsymbol{x}) - p_i|
\]
对\(\varepsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得当\(0 < \Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \Vert
< \delta\)时，有\(|f(\boldsymbol{x}_i) - p_i| < \varepsilon / m
\quad(i=1,2,\cdots,m)\)，所以
\[
\Vert \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{p} \Vert \le
\sum_{i=1}^m |f_i(\boldsymbol{x}) - p_i| < m \cdot
\frac{\varepsilon}{m} = \varepsilon
\]
Q.E.D.
定理2
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}: D \to \mathbb{R}^m,\boldsymbol{a} \in D^\prime\)，并且
\[ \lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{p}，\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{q} \]
于是我们有：
（1）对任何\(\lambda \in \mathbb{R}\)，可以得出\(\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}}(\lambda \boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})) = \lambda \boldsymbol{p}\)。
（2）\(\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} (\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) + \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})) = \boldsymbol{p} + \boldsymbol{q}\)
证：利用不等式很容易证明。
Q.E.D.
定义3：连续映射
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m,\boldsymbol{a} \in D\)。如果\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得当\(\boldsymbol{x} \in D \cap B_\delta(\boldsymbol{a})\)时，有\(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \in B_\varepsilon(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}))\)，则称映射\(\boldsymbol{f}\)在点\(\boldsymbol{a}\)处连续。当\(\boldsymbol{f}\)在\(D\)中的每一点都连续，称映射\(f\)在\(D\)上连续。
定理3
设\(D\)是\(\mathbb{R}^n\)中的开集，\(\boldsymbol{f}:D \to \mathbb{R}^m\)，\(\boldsymbol{f}\)在\(D\)上连续的充分必要条件是，对任意的\(\mathbb{R}^m\)上的开集\(G\)，\(\boldsymbol{f}^{-1}(G)\)是\(\mathbb{R}^n\)中的开集。这里
\[ \boldsymbol{f}^{-1}(G) = \{ \boldsymbol{x} \in D : \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \in G \} \]
证：必要性。如果\(\boldsymbol{f}^{-1}(G)\)是空集，自然是开集；如果非空，任取\(\boldsymbol{x}_0 \in \boldsymbol{f}^{-1}(G)\)，则\(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x_0}) \in G\)，由于\(G\)是开集，从而存在\(\varepsilon > 0\)，使得\(B_\varepsilon(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)) \subset G\)。又因为\(\boldsymbol{f}\)在\(\boldsymbol{x}_0\)处连续，从而存在\(\delta > 0\)，使得当\(\boldsymbol{x} \in B_\delta(\boldsymbol{x}_0)\)时，有\(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \in B_\varepsilon(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)) \subset G\)，即\(\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{f}^{-1}(G)\)，从而\(B_\delta(\boldsymbol{x}_0) \subset \boldsymbol{f}^{-1}(G)\)。这就说明\(\boldsymbol{f}^{-1}(G)\)是开集。
充分性。任取\(\boldsymbol{x}_0 \in D\)，对任意小的\(\varepsilon > 0\)，取\(G=B_\varepsilon(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0))\)，可知\(G\)是开集，利用条件知\(\boldsymbol{f}^{-1}(G)\)也是开集。因为\(\boldsymbol{x}_0 \in \boldsymbol{f}^{-1}(G)\)，从而存在\(\delta > 0\)，使得\(B_\delta(\boldsymbol{x}_0) \subset \boldsymbol{f}^{-1}(G)\)。即对任意的\(\boldsymbol{x} \in B_\delta(\boldsymbol{x}_0)\)，有\(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \in G = B_\varepsilon(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0))\)。从而\(\boldsymbol{f}\)在\(\boldsymbol{x}_0\)处连续。由于\(\boldsymbol{x}_0\)是任取的，所以\(\boldsymbol{f}\)在\(D\)上连续。
定义4：一致连续映射
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m\)，如果\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta> 0\)，使得当\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in D\)且\(\Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} \Vert < \delta\)时，有\(\Vert \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}) \Vert < \varepsilon\)，则称\(\boldsymbol{f}\)在\(D\)上一致连续。
定理4
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m\)是\(D\)上一致连续当且仅当\(\boldsymbol{f}\)的每一个分量函数在\(D\)上一致连续。
证：利用\(|f_i(\boldsymbol{x}) - f_i(\boldsymbol{y})| \le \Vert \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}) \Vert\)，很容易证明。
Q.E.D.
定理5
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m\)是\(D\)上的连续映射。如果\(D\)是紧致集，那么\(\boldsymbol{f}\)在\(D\)上是一致连续的。
证：与函数极限六的定理1证法一样。
Q.E.D.
定理6
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m\)是\(D\)上的连续映射。如果\(D\)是\(\mathbb{R}^n\)中的连通集，那么\(\boldsymbol{f}(D)\)是\(\mathbb{R}^m\)中的连通集。
证：与函数极限六的定理4证法一样。
定理7
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m\)是\(D\)上的连续映射。如果\(D\)是\(\mathbb{R}^n\)中紧致集，那么\(\boldsymbol{f}(D)\)是\(\mathbb{R}^m\)中的紧致集。
证：与函数极限六的定理2证法一样。