定义1：多变量函数的一致连续性
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(f: D \to \mathbb{R}\)。如果\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得当\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in D\)，且\(\Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} \Vert < \delta\)时，有\(|f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{y})| < \varepsilon\)，则称\(f\)在\(D\)上一致连续。
定理1
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(f: D \to \mathbb{R}\)，且\(f\)在\(D\)上连续，如果\(D\)是紧致集，那么\(f\)在\(D\)上一致连续。
证：反证法。如果\(f\)在\(D\)上不一致连续，则存在一个\(\varepsilon_0 > 0\)，使得对任何\(i \in \mathbb{N}^*\)，在\(D\)中总可以找到两个点\(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{y}_i\)，当\(\Vert \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{y}_i \Vert
< 1/i\)，有
\[
|f(\boldsymbol{x}_i) - f(\boldsymbol{y}_i)| \ge \varepsilon_0
\]
由于\(D\)是紧致集，也是列紧集，从而在点列\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)中可以找出子列\(\{\boldsymbol{x}_{k_i}\}\)收敛于点\(\boldsymbol{x} \in D\)，此时有
\[
\Vert \boldsymbol{y}_{k_i} - \boldsymbol{x} \Vert \le \Vert
\boldsymbol{y}_{k_i} - \boldsymbol{x}_{k_i} \Vert + \Vert
\boldsymbol{x}_{k_i} - \boldsymbol{x} \Vert \le \frac{1}{k_i} + \Vert
\boldsymbol{x}_{k_i} - \boldsymbol{x} \Vert \le \frac{1}{i} + \Vert
\boldsymbol{x}_{k_i} - \boldsymbol{x} \Vert
\]
从而，当\(i \to \infty\)，\(\boldsymbol{y}_{k_i} \to
\boldsymbol{x}\)，而
\[
|f(\boldsymbol{x}_{k_i}) - f(\boldsymbol{y}_{k_i})| \ge
\varepsilon_0
\]
成立，在上式中，令\(i \to
\infty\)并由\(f\)的连续性可知
\[
0 = \Vert f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{x}) \Vert \ge
\varepsilon_0 > 0
\]
矛盾。
Q.E.D.
定理2
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(f: D \to \mathbb{R}\)，且\(f\)在\(D\)上连续，如果\(D\)是紧致集，那么\(f\)的值域\(f(D)\)也是紧致集。
证：任取\(f(D)\)中的一个点列\(\{y_i\}\)，那么在\(D\)中存在一个点列\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)，使得\(f(\boldsymbol{x}_i) = y_i
(i=1,2,\cdots)\)，由于\(D\)是列紧集，从而点列\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)存在一个子列\(\{\boldsymbol{x}_{k_i}\}\)收敛于\(D\)中的一点\(\boldsymbol{x}\)，又由于\(f\)是\(D\)上的连续函数，所以
\[
\lim \limits_{i \to \infty} f(\boldsymbol{x}_{k_i}) =
f(\boldsymbol{x}) \in f(D)
\]
这就表明从点列\(\{y_i\}\)中找到了一个子列\(\{y_{k_i}\}\)，有
\[
\lim \limits_{i \to \infty} y_{k_i} = \lim \limits_{i \to \infty}
f(\boldsymbol{x}_{k_i}) = f(\boldsymbol{x}) \in f(D)
\]
即子列\(\{y_{k_i}\}\)收敛于\(f(D)\)中的点。因为点列\(\{y_i\}\)是任取的，所以\(f(D)\)是紧致集。
Q.E.D.
定理3
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(f: D \to \mathbb{R}\)，且\(f\)在\(D\)上连续，如果\(D\)是紧致集，那么\(f\)在\(D\)上能取到它的最小值和最大值。
证：由定理2可知，\(f(D)\)是\(\mathbb{R}\)上的紧致集，即有界闭集，从而\(f(D)\)有上确界和下确界。设
\[
M = \sup f(D)， \qquad m = \inf f(D)
\]
由上确界的定义可知，对任意的\(i \in
\mathbb{N}^*\)，存在\(\boldsymbol{x}_i
\in D\)，使得
\[
M - \frac{1}{i} < f(\boldsymbol{x}_i) < M
\]
令\(i \to \infty\)，可得\(\lim \limits_{i \to \infty} f(\boldsymbol{x}_{i})
= M\)，由于\(f(\boldsymbol{x}_{i}) \in
D\)，且\(f(D)\)是闭集，可知\(M \in f(D)\)，同理可证\(m \in f(D)\)。
Q.E.D.
定理4
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)是一连通集，函数\(f: D \to \mathbb{R}\)是连续的，那么\(f(D)\)是\(\mathbb{R}\)中的连通集。
证：设有分解式\(f(D) = A \cup
B\)，其中\(A,B\)是不相交的非空集，从而
\[
D = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)
\]
利用映射的概念易证\(f^{-1}(A)\)和\(f^{-1}(B)\)是非空集且不相交。利用\(D\)是连通集的性质，不妨设\(f^{-1}(A)\)中包含\(f^{-1}(B)\)中的凝聚点，即\(f^{-1}(B)\)中有点列\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)收敛于\(f^{-1}(A)\)中的点\(\boldsymbol{x}\)。由于函数\(f\)是连续函数，所以\(f(\boldsymbol{x}_i) \to f(\boldsymbol{x}) (i \to
\infty)\)，而\(\{f(\boldsymbol{x}_i)\}
\subset B\)，\(f(\boldsymbol{x}) \in
A\)，这就表明$A B^{} $。
Q.E.D.
定理5：介值定理
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)是一连通集，函数\(f: D \to \mathbb{R}\)是连续的，如果\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \in D\)和\(r \in \mathbb{R}\)使得
\[ f(\boldsymbol{a}) < r < f(\boldsymbol{b}) \]
那么存在\(\boldsymbol{c} \in D\)，使得\(f(\boldsymbol{c}) = r\)。
证：由定理4可知，\(f(D)\)是\(\mathbb{R}\)连通集，再由点列极限六的定理4可知\(f(D)\)是区间。从而区间\([f(\boldsymbol{a}), f(\boldsymbol{b})] \subset f(D)\)，可得\(r \in f(D)\)，所以存在点\(\boldsymbol{c} \in D\)，使得\(f(\boldsymbol{c}) = r\)。
Q.E.D.