定义1
设\(D \subset \mathbb{R^n}\)，那么映射\(f: D \to \mathbb{R}\)称为一个\(n\)元函数，其中\(D\)称为函数\(f\)的定义域，而\(f(D) \subset \mathbb{R}\)称为\(f\)的值域。
定义2
设\(D \subset \mathbb{R^n}\)，\(f: D \to \mathbb{R}\)，点\(\boldsymbol{a} \in \mathbb{R^n}\)是\(D\)的一个凝聚点（即\(\boldsymbol{a} \in D^\prime\)），又设\(l\)是一个实数。如果对任意给定的\(\varepsilon > 0\)，存在\(\delta > 0\)，当\(0 < \Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \Vert < \delta\)时，有
\[ |f(\boldsymbol{x}) - l| < \varepsilon \]
我们称函数\(f\)在点\(\boldsymbol{a}\)处有极限\(l\)，也就是说当\(\boldsymbol{x}\)趋向于\(\boldsymbol{a}\)时，\(f(\boldsymbol{x})\)趋向于\(l\)，记作
\[ \lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f(\boldsymbol{x}) = l \]
也可记作
\[ f(\boldsymbol{x}) \to l \quad (\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}) \]
定理1
设\(D \subset \mathbb{R^n}\)，\(f: D \to \mathbb{R}\)，点\(\boldsymbol{a} \in D^\prime\)。函数极限
\[ \lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f(\boldsymbol{x}) = l \]
的充分必要条件是，对任何的点列\(\{\boldsymbol{x}_i\} \subset D\)，\(\boldsymbol{x}_i \ne \boldsymbol{a} (i=1,2,3,\cdots)\)且\(\boldsymbol{x}_i \to \boldsymbol{a} (i \to \infty)\)，数列极限
\[ \lim \limits_{i \to \infty} f(\boldsymbol{x}_i) = l \]
证：必要性。有函数极限定义可知，对\(\forall \varepsilon > 0\)，存在\(\delta > 0\)，使得当\(0 < \Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \Vert < \delta\)时，有\(|f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{a})| < \varepsilon\)；由于\(\boldsymbol{x}_i \to \boldsymbol{a} (i \to \infty)\)，从而对于给定的\(\delta\)，存在\(N \in \mathbb{N^+}\)，使得当\(i > N\)时，有\(0 < \Vert \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{a}| < \delta\)，从而\(|f(\boldsymbol{x}_i) - f(\boldsymbol{a})| < \varepsilon\)，即\(\lim \limits_{i \to \infty} f(\boldsymbol{x}_i) = l\)
充分性。反证法。假设\(f\)在\(\boldsymbol{a}\)处不以\(l\)为极限，则存在\(\varepsilon_0 > 0\)，使得对任意的\(i \in \mathbb{N^+}\)，可以取出一个点\(\boldsymbol{x}_i \in D\)，使得当\(|\boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{a}| < 1/i\)时，有\(|f(\boldsymbol{x}_i) - f(\boldsymbol{a})| \ge \varepsilon_0\)，这时点列\(\{\boldsymbol{x}_i\} \subset D\)，且\(\boldsymbol{x}_i \to \boldsymbol{a} (i \to \infty)\)，但是数列\(\{f(\boldsymbol{x}_i)\}\)显然不以\(l\)为极限，矛盾。
Q.E.D.
定理2：函数极限的四则运算
设\(D \subset \mathbb{R^n}\)，\(f,g: D \to \mathbb{R}\)，点\(\boldsymbol{a} \in D^\prime\)。如果\(f,g\)存在着有限的极限：
\[ \lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f(\boldsymbol{x}) = l, \qquad \lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} g(\boldsymbol{x}) = m \]
那么有：
（1）\(\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} (f \pm g)(\boldsymbol{x}) = l \pm m\)；
（2）\(\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} fg(\boldsymbol{x}) = lm\)；
（3）\(\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} (\frac{f}{g})(\boldsymbol{x}) = \frac{l}{m}\)，其中\(m \ne 0\)。
证：证明方法与单变量极限四则运算几乎一样。参考函数极限一的定理4。
Q.E.D.
定理3：复合函数极限
设函数\(f\)在以\(\boldsymbol{a} \in \mathbb{R}^n\)为球心，\(\boldsymbol{r}\)为半径的某个空心球\(B_{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{\check a})\)上有定义，且\(\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f(\boldsymbol{x}) = l\)；一元函数\(\varphi\)在以\(l\)为球心的空心球\(U = \{t: 0<|t - l| < \delta \}\)上有定义，且\(\lim \limits_{t \to l} \varphi(t) = m\)。再设
\[ f(B_{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{\check a})) \in U \]
那么就有
\[ \lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} \varphi(f(\boldsymbol{x})) = m \]
证：与单变量复合函数极限证明方法一样。参考函数极限一的定理8。
Q.E.D.
定理4：Cauchy收敛原理
设\(D \in \mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol{a} \in D^\prime\)，\(f: D \to \mathbb{R}\)。那么极限\(\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})\)存在的充分必要条件是，对任意给定的\(\varepsilon > 0\)，存在\(\delta > 0\)，使得当\(\boldsymbol{x}^\prime,\boldsymbol{x}^{\prime\prime} \in D\)且
\[ 0 < \Vert \boldsymbol{x}^\prime - \boldsymbol{a} \Vert < \delta \quad 0 < \Vert \boldsymbol{x}^{\prime\prime} - \boldsymbol{a} \Vert < \delta \]
同时成立时，一定有\(|f(\boldsymbol{x}^\prime) - f(\boldsymbol{x}^{\prime\prime})| < \varepsilon\)。
证：与证明单变量的Cauchy收敛原理类似。参考函数极限一定理7。
Q.E.D.
定义3：多变量连续函数
设\(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(f: D \to \mathbb{R}\)，\(\boldsymbol{a} \in D\)。如果对\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得当\(\boldsymbol{x} \in D \cap B_\delta(\boldsymbol{a})\)，有
\[ |f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{a})| < \varepsilon \]
则称函数\(f\)在点\(\boldsymbol{a}\)处连续，\(\boldsymbol{a}\)称为\(f\)的一个连续点，\(D\)中\(f\)的非连续点称为\(f\)的间断点。如果\(f\)在\(D\)中的每个点上都连续，则称\(f\)在\(D\)上连续。
注：设\(D=\{\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_m \}\)，定义函数\(f: D \to \mathbb{R}\)为\(f(\boldsymbol{p}_i) = \lambda_i (i=1,2,\cdots,m)\)，这里\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m\)是任意给定的数，那么根据定义3，\(f\)在\(D\)上连续。对于单变量函数也成立，比如定义域\(D=\{a\}\)，且\(f(a)\)存在，这时\(f\)在\(D\)内连续。这与函数极限三的定义1不矛盾，单变量点连续定义的时候\(D\)为非单点闭区间，且极限值等于函数值，这种定义不包含孤立点的情况，所以单变量连续函数的真正定义也囊括在本章的定义3中。
定理5：多变量连续函数的四则运算
设\(D \subset \mathbb{R^n}\)，\(f,g: D \to \mathbb{R}\)，点\(\boldsymbol{a} \in D\)。如果\(f,g\)在\(\boldsymbol{a}\)处连续，那么\(f \pm g\)和\(fg\)都在\(\boldsymbol{a}\)处连续，如果\(g(\boldsymbol{a}) \ne 0\)，那么\(f/g\)也在\(\boldsymbol{a}\)处连续。
证：类似单变量极限的四则运算证明，这里以证明\(f+g\)在\(\boldsymbol{a}\)处连续为例，其他类似证明方法。由题意可知，\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta_1 > 0\)，使得当\(x \in D \cap
B_{\delta_1}(\boldsymbol{a})\)时，有\(|f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{a})| <
\varepsilon / 2\)；\(\exists \delta_2
> 0\)，使得当\(x \in D \cap
B_{\delta_2}(\boldsymbol{a})\)时，有\(|g(\boldsymbol{x}) - g(\boldsymbol{a})| <
\varepsilon / 2\)。令\(\delta =
\min(\delta_1, \delta_2)\)，从而当\(x
\in D \cap B_{\delta}(\boldsymbol{a})\)时，有
\[
|f(\boldsymbol{x}) + g(\boldsymbol{x}) - (f(\boldsymbol{a}) +
g(\boldsymbol{a}))| \le |f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{a})| +
|g(\boldsymbol{x}) - g(\boldsymbol{a})| < \frac{\varepsilon}{2} +
\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
\]
这就表明\(f+g\)在\(\boldsymbol{a}\)处连续。
Q.E.D.
定理6
设函数\(f\)在以\(\boldsymbol{a} \in \mathbb{R}^n\)为球心，\(\boldsymbol{r}\)为半径的某个球\(B_{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{a})\)上有定义，且在\(\boldsymbol{a}\)处连续；一元函数\(\varphi\)在\(U = \{t: 0<|t - l| < \delta \}\)上有定义，且且在\(l\)处连续，则函数\(\varphi(f(\boldsymbol{x}))\)在\(\boldsymbol{a}\)处连续。
证：与单变量复合函数极限证明方法类似。参考函数极限一的定理8。