基本连续函数有哪些？这章来解答。
定理1
如果函数\(f\)与\(g\)在\(x_0\)处连续，那么\(f \pm g\)与\(fg\)都在\(x_0\)处连续，如果\(g(x_0) \ne 0\)，那么\(f/g\)也在\(x_0\)处连续。
证：利用极限的四则运算性质，易证。
Q.E.D.
定理2
设函数\(g\)在\(t_0\)处连续，记\(g(t_0)\)为\(x_0\)，如果函数\(f\)在\(x_0\)处连续，那么复合函数\(f \circ g\)在\(t_0\)处连续。
证：由题意可知，\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)，\(\lim \limits_{t \to t_0} g(t) = g(t_0) = x_0\)；
从而对任意\(\varepsilon > 0\)，存在\(\delta > 0\)，使得当\(0 < |x - x_0| < \delta\)时，有\(|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon\)；
当\(x = x_0\)时，\(|f(x_0) - f(x_0)| = 0 < \varepsilon\)，从而上述描述可以修改为当\(|x - x_0| < \delta\)时，有\(|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon\)；对于给定的\(\delta > 0\)，存在\(\eta > 0\)，使得当\(0 <|t - t_0| < \eta\)时，有\(|g(t) - x_0| < \delta\)，从而有\(|f(g(t)) - f(x_0)| < \varepsilon\)，所以\(\lim \limits_{t \to t_0} f(g(t)) = f(x_0) = f(g(t_0))\)。
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定理3
设\(f\)是在区间\(I\)上严格递增（减）的连续函数，那么\(f^{-1}\)是\(f(I)\)上的严格递增（减）的连续函数。
证：由函数极限三的定理10可知，\(J=f(I)\)也是一个区间。不妨假设\(f\)在\(I\)严格递增，任取\(y_0 \in J\)，令\(x_0 = f^{-1}(y_0)\)，即\(f(x_0) = y_0\)，任意给定\(\varepsilon > 0\)，使得\(x_0 - \varepsilon，x_0+\varepsilon \in
I\)，记
\[
\begin{aligned}
\delta_1 & = y_0 - f(x_0 - \varepsilon) > 0 \\
\delta_2 & = f(x_0 + \varepsilon) - y_0 > 0 \\
\delta & = \min(\delta_1, \delta_2)
\end{aligned}
\]
当\(|y - y_0| < \delta\)时，有
\[
y_0 - \delta_1 \le y_0 - \delta < y < y_0 + \delta \le y_0 +
\delta_2
\]
由\(f^{-1}\)严格递增的性质，可知
\[
f^{-1}(y_0 - \delta_1) \le f^{-1}(y_0 - \delta) < f^{-1}(y) <
f^{-1}(y_0 + \delta) \le f^{-1}(y_0 + \delta_2)
\]
即
\[
x_0 - \varepsilon < f^{-1}(y) < x_0 + \varepsilon \Rightarrow
|f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)| < \varepsilon
\]
所以\(f^{-1}\)在\(y_0\)处连续。由于\(y_0\)是在\(J\)上任取的，从而\(f^{-1}\)在\(J\)上连续。
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定理4：初等函数在它们各自的定义域上都是连续的。
证：在已证明定理1，2，3后；由于\(f(x) = x\)是连续函数，所以多项式函数也是连续函数；由于\(f(x) = \sin x\)是连续函数，从而三角函数是连续函数，反三角函数也是连续函数；由于\(f(x)=x^n\)是多项式，也是连续函数，所以\(f^{-1}(x)=x^{1/n}\)也是连续函数，从而对任何的有理数\(r\)，\(x^r\)在\([0, +\infty)\)上是连续的；指数函数\(a^x\)，当\(a>1\)时，是连续函数，其反函数\(\log_a x\)是\((0,+\infty)\)上的连续函数，从而指数函数和对数函数都是连续函数；对幂函数\(f(x) = x^\mu (x>0, \mu 为任意实数)\)，该函数可等价为\(f(x) = e^{\mu \ln x}\)指数函数，自然也是连续的。
将多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数以及由它们经过有限次的四则运算、有限次复合所形成的函数统称为初等函数。由上可知初等函数在其各自的定义域上都是连续函数。
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定义1
记\(\mathbb{R}_{\infty} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}\)；设函数\(f\)定义在\(B_{\delta}(\check x_0)\)上，令
\[ E = \{ l \in \mathbb{R}_{\infty}: 存在数列x_n \in B_{\delta}(\check x_0), x_n \to x_0, 使得f(x_n) \to l \} \]
这是一个非空的集合。设\(a^* = \sup E, a_* = \inf E\)，分别称它们为\(f\)当\(x \to x_0\)时的上极限和下极限，分别记作
\[ \limsup_{x \to x_0} f(x), \qquad \liminf_{x \to x_0} f(x) \]
对其他极限过程，例如\(x \to x_0^{+}，x \to x_0^{-}，x \to -\infty， x \to +\infty\)以及\(x \to \infty\)都可以类似的定义函数\(f\)的上极限和下极限。
定理5
设函数\(f\)定义在\(I\)上，那么：
（1）\(a^* \in E\)；
（2）若\(y > a^*\)，则存在\(\delta > 0\)，使得当\(0 < |x - x_0| < \delta\)时，有\(f(x) < y\)；
（3）\(a^*\)是满足前述两条性质的唯一的数。
证：（1）若\(a^* = +\infty\)，则任何\(n \in \mathbb{N}^*\)，存在\(l_n \in E\)，使得\(l_n > n\)；由于\(l_n\)在\(E\)中，从而存在\(x_n\)，使得当\(0 < |x_n - x_0| < 1/n\)，有\(f(x_n) > n\)，这表明\(x_n \in I\)，\(x_n \to x_0\)时，\(f(x_n) \to +\infty\)，即\(a^*=+\infty \in E\)；
若\(a^* = -\infty\)，则\(E = \{-\infty\}\)，自然有\(a^* \in E\)；
若\(a^*\)为有限数，对任何\(n \in \mathbb{N}^*\)，存在\(l_n \in E\)，使得
\[
a^* - \frac{1}{n} < l_n < a^* + \frac{1}{n}
\]
从而存在\(x_n\)满足\(0< |x_n - x_0| < 1/n\)使得
\[
a^* - \frac{1}{n} < f(x_n) < a^*+\frac{1}{n}
\]
从而\(x_n \in I\)且\(x_n \to x_0\)时有\(f(x_n) \to a^*\)，即\(a^* \in E\)
（2）反证法。假设对任意的\(n \in \mathbb{N}^*\)，存在\(x_n\)，使得\(0< |x_n - x_0| < 1/n\)时，有\(f(x_n)\ge y\)，从而存在子列\(\{k_n\}\)，使得\(f(x_{k_n}) \to y_1 (n \to \infty)\)，此时有\(y_1 \ge y > a^*\)，且\(y_1 \in E\)，从而与\(a^*\)的定义矛盾。
（3）反证法。假设存在两个数\(p\)和\(q\)同时满足（1）与（2），不妨设\(p < q\)，选取\(y\)，满足\(p < y < q\)，由于\(p\)满足（2），从而存在\(\delta > 0\)，当\(0 < |x - x_0| < \delta\)，有\(f(x) < y\)，此时\(q\)不能满足（1）。
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定理6
设函数\(f\)定义在\(I\)上，那么：
（1）\(a_* \in E\)；
（2）若\(y < a_*\)，则存在\(\delta > 0\)，使得当\(0 < |x - x_0| < \delta\)时，有\(y < f(x)\)；
（3）\(a_*\)是满足前述两条性质的唯一的数。
证：与定理5的证明几乎一样。
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定理7
设\(f,g\)在\(I\)上有定义，\(x_0 \in I\)，那么：
（1）\(\liminf \limits_{x \to x_0} f(x) \le \limsup \limits_{x \to x_0} f(x)\)
（2）\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = a\)当且仅当\(\liminf \limits_{x \to x_0} f(x) = \limsup \limits_{x \to x_0} f(x) = a\)；
（3）若当\(x \in I\)时，有\(f(x) \le g(x)\)成立，则
\[ \liminf_{x \to x_0} f(x) \le \liminf_{x \to x_0} g(x)，\qquad \limsup_{x \to x_0} f(x) \le \limsup_{x \to x_0} g(x) \]
证：（1）（2）有上极限与下极限的定义易证。下面只证明（3）中的第二个不等式，第一个不等式是类似的证明。
令
\[
a^* = \limsup_{x \to x_0} f(x), \qquad b^* = \limsup_{x \to x_0}
g(x)
\]
存在子数列\(x_n \in I\)，且\(x_n \to x_0\)，使得\(\lim \limits_{n \to \infty} f(x_n) =
a^*\)，由于\(f(x_n) \le
g(x_n)\)，从\(\{x_n\}\)中可以选取子列\(\{x_{k_n}\}\)，使得
\[
\lim \limits_{n \to \infty} g(x_{k_n}) = b \ge a^* = \lim \limits_{n
\to \infty} f(x_{k_n})
\]
从而有\(b^* \ge b \ge a^*\)，即\(b^* \ge a^*\)。
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