定义1：某点连续
设\(f: [a,b] \to \mathbb{R} \quad (b>a)\). 若有
\[ \lim \limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \]
则称函数\(f\)在点\(x_0 \in (a,b)\)内连续。
定义2：左连续与右连续
如果\(f(x_0+) = f(x_0)\)，则称函数\(f\)在\(x_0\)处右连续；如果\(f(x_0-)=f(x_0)\)，则称函数\(f\)在\(x_0\)处左连续。
定理1
如果函数\(f\)与\(g\)在\(x_0\)处连续，那么\(f\pm g\)与\(fg\)都在\(x_0\)处连续，进一步，如果\(g(x_0)\ne 0\)，则\(f/g\)在\(x_0\)处也连续。
证：利用函数极限的四则运算显然可得。
Q.E.D.
定理2
设函数\(g\)在\(t_0\)处连续，记\(g(t_0)\)为\(x_0\)，如果\(f\)在\(x_0\)处连续，那么复合函数\(f \circ g\)在\(t_0\)处连续。
证：利用复合函数的极限定理可证。
Q.E.D.
定义3：连续函数
设\(I\)是一个开区间，如果函数\(f\)在\(I\)上的每一点处都连续，则称\(f\)在\(I\)上连续；设\(I=[a,b]\)，称\(f\)在\(I\)上连续是指\(f\)在\((a,b)\)上连续，且在\(a\)处右连续，在\(b\)处左连续。也称\(f\)是\(I\)上的连续函数。记\(C(I)\)为\(I\)上连续函数的全体。
定义4：间断点
设\(x_0\)是函数\(f\)定义域中的一点，如果\(f\)在\(x_0\)处连续，则称\(x_0\)是\(f\)的连续点，否则称\(x_0\)是\(f\)的间断点。
间断点的类型有：
（1）如果\(f(x_0-)\)与\(f(x_0+)\)存在且有限，但\(f(x_0-) \ne f(x_0+)\)，则称\(x_0\)是\(f\)的跳跃点，差\(|f(x_0+)-f(x_0-)|\)称为\(f\)在这一点的跳跃；
（2）如果\(f(x_0-)\)与\(f(x_0+)\)存在且有限，且\(f(x_0-)= f(x_0+)\)，但不等于\(f(x_0)\)，则称\(x_0\)是\(f\)的可去间断点；
（3）如果\(f(x_0-)\)与\(f(x_0+)\)至少有一个不存在或不是有限的数，则称\(x_0\)是\(f\)的第二类间断点。
跳跃点和可去间断点统称为第一类间断点。
定理3
设\(f\)是区间\((a,b)\)上的递增（减）函数，则\(f\)的间断点一定是跳跃点，而且跳跃点集是至多可数的。
证：不妨设\(f\)在\((a,b)\)递增，任取\(x \in (a,b)\)，集合\(\{f(t)：t \in (a,x) \}\)有上界，因为\(f(x)\)就是一个上界，从而集合必有上确界（记作\(A\)），显然有\(A \le f(x)\)，下面证明\(f(x-)=A\)。
对任意给定的\(\varepsilon>0\)，且\(A\)又是上确界，从而存在一个\(\delta>0\)，使得\(a < x-\delta\)，并且有\(A - \varepsilon < f(x -
\delta)\)，又由于\(f\)是递增函数，从而
\[
A - \varepsilon < f(x - \delta) \le f(t) \le A
\]
对\(t \in (x-\delta,
x)\)都成立，从而得出\(\forall
\varepsilon > 0\)，\(\exists \delta
> 0\)，使得\(|f(t) - A| <
\varepsilon\)对\(t \in (x-\delta,
x)\)成立，因此\(f(x-)=A\)；同理可以证明\(f(x+)\)存在且有限，存在
\[
f(x-) \le f(x) \le f(x+)
\]
所以若\(f(x-)=f(x+)\)，则\(f\)在\(x\)处连续，否则当\(f(x+) >
f(x-)\)时，必是跳跃间断点。
设\(E\)表示函数\(f\)在\((a,b)\)上的间断点的全体，任取\(x \in E\)，有\(f(x-) < f(x+)\)，在\((f(x-),f(x+))\)内任取一个有理点记作\(r(x)\)，则区间\(E\)中的元素\(x\)与\(r(x)\)一一对应，而\(r(x)\)是有理数的一个子集，从而\(E\)是可数的。
Q.E.D.
定义5：一致连续
\(I\)是一个区间，设\(f: I \to \mathbb{R}\)，如果对\(\forall \varepsilon > 0\)，存在\(\delta > 0\)，使得当\(x_1,x_2 \in I\)且\(|x_1-x_2|<\delta\)时，有\(|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon\)，则称函数\(f\)在区间\(I\)上是一致连续的。
定理4：一致连续的函数必定连续
设\(f: I \to \mathbb{R}\)在其定义域\(I\)上一致连续，则函数\(f\)在\(I\)上的连续。
证：由一致连续的定义可知，任取\(x \in (x_1,x_2)\)，如果\(|x_1-x_2|<\delta\)，则\(x_1,x_2 \in (x-\delta, x+\delta)\)，从而由Cauchy收敛原理知\(\lim \limits_{t \to x} f(t)\)存在，又有\(|f(t) - f(x)| < \varepsilon\)对\(t \in (x-\delta, x+\delta)\)成立，从而\(\lim \limits_{t \to x} f(t) = f(x)\)，所以函数\(f\)在\(x\)处连续。
Q.E.D.
定理5
设函数\(f\)在\([a,b]\)上连续，那么\(f\)在\([a,b]\)上一致连续。
证：反证法。假设\(f\)不在\([a,b]\)上一致连续，则存在一个\(\varepsilon_0 > 0\)，对任意的\(n \in \mathbb{N^+}\)，总能找到\(s_n,t_n\in [a,b]\)，使得当\(|s_n-t_n| < 1/n\)时，有
\[
|f(s_n)-f(t_n)| \ge \varepsilon_0 \tag 1
\]
由于\(\{s_n\}\)是一个在\([a,b]\)内的数列，从而由列紧性定理可知，存在一个子列\(\{s_{k_n}\}\)，使得
\[
s_{k_n} \to s^* \in [a,b] \quad (n \to \infty)
\]
由（1）可知
\[
|f(s_{k_n}) - f(t_{k_n})| \ge \varepsilon_0 \tag 2
\]
而\(|s_{k_n} - t_{k_n}| <
1/n\)，令\(n \to
\infty\)，可知\(t_{k_n} \to
s^*\)，从而由函数\(f\)的连续性，令（2）式中\(n \to \infty\)，可得
\[
0=|f(s^*)-f(s^*)| = |\lim \limits_{n \to \infty}f(s_{k_n}) - \lim
\limits_{n \to \infty}f(t_{k_n})| = \lim \limits_{n \to
\infty}|f(s_{k_n}) - f(t_{k_n})| \ge \varepsilon_0 > 0
\]
矛盾。
Q.E.D.
定理6
有界闭区间上的连续函数必在该区间上有界。
证：反证法。设函数\(f\)在\([a,b]\)上连续且无上界，那么对任意的\(n \in \mathbb{N^+}\)，存在\(x_n \in [a,b]\)，使得\(f(x_n) > n\)，又由于\(x_n \in [a,b]\)，从而存在一个子列\(\{x_{k_n}\}\)使得
\[
x_{k_n} \to \xi \in [a,b] \quad (n \to \infty)
\]
由函数\(f\)的连续性可知
\[
\lim \limits_{n \to \infty} f(x_{k_n}) = f(\xi)
\]
而\(f(\xi)\)是给定点的函数值，在连续函数中必有界，另一方面
\[
f(x_{k_n}) > k_n \ge n
\]
得到\(\lim \limits_{n \to \infty} f(x_{k_n}) =
\infty\)，这与上面结论\(f(\xi)\)是有界矛盾。所以\(f\)在\([a,b]\)有上界。
同理，可证\(f\)在\([a,b]\)有下界。
Q.E.D.
定理7
设\(f\)在\([a,b]\)上连续，记
\[ M = \sup_{x \in [a,b]} f(x), \quad m = \inf_{x \in [a,b]} f(x) \]
则必存在\(x^*, x_* \in [a,b]\)，使得
\[ f(x^*) = M, \quad f(x_*) = m \]
即有界闭区间上的连续函数必能取到它在此区间上的最大值和最小值。
证：由定理6可知\(m,M\)是有限数，由上确界的定义可知，对任意的\(n \in \mathbb{N^+}\)，必存在\(x_n \in [a,b]\)，使得
\[
M - \frac{1}{n} < f(x_n) \le M
\]
从数列\(\{x_n\}\)中选出一个收敛子列\(\{x_{k_n}\}\)，不妨令\(x_{k_n} \to x^* \in
[a,b]\)，而且有不等式
\[
M - \frac{1}{k_n} < f(x_{k_n}) \le M
\]
上式中令\(n \to \infty\)，由函数\(f\)的连续性可知
\[
f(x_*) = \lim \limits_{x \to x^*} f(x) = M
\]
同理，可证存在\(x_* \in [a,b]\)使得\(f(x_*) = m\)。
Q.E.D.
定理8：零值定理
设\(f\)在\([a,b]\)上连续，如果\(f(a)f(b) < 0\)，则必存在一点\(c \in [a,b]\)，使得\(f(c) = 0\)。
证：不妨设\(f(a) < 0 <
f(b)\)，将区间\([a,b]\)而等分，如果\(f((a+b)/2)=0\)，则\(c=(a+b)/2\)，如果\(f((a+b)/2)>0\)，则令\(a_1=a,b_1=(a+b)/2\)，否则令\(a_1=(a+b)/2,b_1=b\)，可知\([a_1,b_1]\)两端取值异号，对\([a_1,b_1]\)重复上述过程，一直下去，可以得到一列闭区间\([a_k, b_k] (k=1,2,\cdots)\)，满足
（1）\([a,b] \supset [a_1,b_1] \supset
[a_2,b_2] \supset \cdots \supset [a_k,b_k] \supset
\cdots\)；
（2）\(0 < b_k - a_k =
\frac{1}{2^k}(b-a)\)；
（3）\(f(a_k) < 0 < f(b_k)\)
如果对某个\(k\)，有\(f((a_k+b_k)/2)=0\)，则\(c=(a_k+b_k)/2\)，否则由闭区间套定理可知，存在\(c \in [a_k, b_k] (k=1,2,\cdots)\)，使得\(\lim \limits_{k\to \infty} a_k = \lim \limits_{k \to \infty} b_k = c\)，由函数的连续性可知，令（3）式中的\(k \to \infty\)，得\(f(c) \le 0 \le f(c)\)，从而\(f(c)=0\)。
Q.E.D.
定理9：介值定理
设\(f\)是区间\([a,b]\)上得非常值连续函数，\(\gamma\)是介于\(f(a),f(b)\)之间得任何实数，则必存在\(c \in [a,b]\)，使得\(f(c)=\gamma\)。
证：令\(g(x) = f(x) - \gamma\)，再由定理8可证。
Q.E.D.
定理10
设非常值函数\(f\)在\(I=[a,b]\)上连续，那么\(f\)的值域\(f(I)\)是一个闭区间。
证：由定理7可知，\(m\)和\(M\)分别是\(f(I)\)的最小值和最大值，再由介值定理可知，\(f(I)=[m,M]\)。
Q.E.D.