定义1：自变量趋于\(+\infty\)的极限
若对\(\forall \varepsilon>0, \exists A > 0\)，使得当\(x > A\)时，有\(|f(x) - l| < \varepsilon\)，此时称在正无穷处函数有极限\(l\)，记为
\[ f(+\infty) = \lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = l \]
或简单记作
\[ f(x) \to l (x \to +\infty) \]
类似地可以定义\(f(-\infty) = \lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = l\)
定义2：自变量趋于\(\infty\)的极限
若对\(\forall \varepsilon>0, \exists A > 0\)，使得当\(|x| > A\)时，有\(|f(x) - l| < \varepsilon\)，此时称当\(x\)趋于无穷时，函数有极限\(l\)，记为
\[ f(\infty) = \lim \limits_{x \to \infty} f(x) = l \]
或简单记作
\[ f(x) \to l (x \to \infty) \]
定理1
\(\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = l\)当且仅当
\[ f(-\infty) = f(+\infty) = l \]
证：必要性和充分性都由定义显然。
Q.E.D.
定义3：无穷大
设\(x_0\)是一个实数，函数\(f(x)\)在\(x_0\)的一个近旁（可能除\(x_0\)之外）有定义，若对\(\forall A>0, \exists \delta > 0\)，使得当\(0< |x - x_0| < \delta\)时，有\(|f(x)| > A\)，则称函数\(f\)趋向于无穷大，记作
\[ \lim \limits_{x \to x_0} f(x) = \infty \]
或者
\[ f(x) \to \infty (x \to x_0) \]
类似地可以定义
\[ \begin{aligned} \lim \limits_{x \to x_0} f(x) = +\infty \quad \lim \limits_{x \to x_0} f(x) = -\infty \\ \lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = \infty \quad \lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = \infty \end{aligned} \]
等等
定义4：无穷小
设\(x_0\)是一个实数，函数\(f(x)\)在\(x_0\)的一个近旁（可能除\(x_0\)之外）有定义，若对\(\forall \varepsilon>0, \exists \delta > 0\)，使得当\(0< |x - x_0| < \delta\)时，有\(|f(x)| < \varepsilon\)，则称函数\(f\)趋向于无穷小，记作
\[ \lim \limits_{x \to x_0} f(x) = 0 \]
或者
\[ f(x) \to 0 (x \to x_0) \]
类似地可以定义
\[ \lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = 0 \quad \lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = 0 \]
等等
定义5
设当\(x \to x_0\)时，函数\(f\)和\(g\)都是无穷小，并且\(g\)在\(x_0\)的一个无穷小近旁（除\(x_0\)外）不等于0
（1）如果\(\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\)，则称\(f\)是比\(g\)更高阶的无穷小；
（2） 如果\(\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = l \ne 0\)，则称\(f\)与\(g\)是同阶的无穷小；
（3） 如果\(\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\)，则称\(f\)与\(g\)是等价的无穷小，记作
\[ f \sim g \quad (x \to x_0) \]
（4） 当\(x \to x_0\)时，如果\(f\)与\((x-x_0)^\alpha\)是同阶无穷小，则称\(f\)为\(\alpha\)阶的无穷小
类似地，可以定义，如果\(f\)与\(g\)都是无穷大
（1） 如果\(\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\)，则称\(g\)是比\(f\)更高阶的无穷大；
（2） 如果\(\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = l \ne 0\)，则称\(f\)与\(g\)是同阶的无穷大；
（3） 如果\(\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\)，则称\(f\)与\(g\)是等价的无穷大
定理2
如果当\(x \to x_0\)（\(x_0\)可以是\(\pm\infty\)）时，\(f,g\)是等价的无穷小或无穷大，则
（1） \(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) h(x) = \lim \limits_{x \to x_0} g(x)h(x)\)
（2） \(\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{h(x)} = \lim \limits_{x \to x_0} \frac{g(x)}{h(x)}\)
证：（1） \(\lim \limits_{x \to x_0} f(x)
h(x) = \lim \limits_{x \to x_0} g(x) h(x) \frac{f(x)}{g(x)} = \lim
\limits_{x \to x_0} g(x) h(x)\)；
（2） 证明与（1）一样。
Q.E.D.
定义6：\(O\)与\(o\)表示法
设函数\(f\)与\(g\)在\(x_0\)的近旁（\(x_0\)除外）有定义，并且\(g(x)\ne 0\)
（1）当\(x \to x_0\)，若比值\(f(x)/g(x)\)保持有界，即存在一个正常数\(M\)，使得\(|f(x)|\le M|g(x)|\)，就用\(f(x) = O(g(x))(x\to x_0)\)来表示；
（2）当\(x \to x_0\)，若比值\(f(x)/g(x)\)是一个无穷小，即
\[ \lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \]
就用\(f(x) = o(g(x))(x\to x_0)\)表示
特别地，\(f(x)=O(1)(x\to x_0)\)表示有界的函数，\(g(x)=o(1)(x \to x_0)\)表示一个无穷小。