定义1：函数在某点处极限
设函数\(f\)在点\(x_0\)的近旁有定义，但\(x_0\)这一点自身可以是例外，设\(l\)是一个实数，如果对\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta>0\)，使得对一切满足等式\(0 < |x-x_0| < \delta\)都有
\[ |f(x) - l| < \varepsilon \]
则称当\(x\)趋于点\(x_0\)时函数\(f\)有极限\(l\)，记作
\[ \lim \limits_{x \to x_0} f(x) = l \]
也可以记作
\[ f(x) \to l (x \to x_0) \]
定理1
函数\(f\)在\(x_0\)处有极限\(l\)的充分必要条件是，对任何一个收敛于\(x_0\)的数列\(\{x_n \ne x_0 : n=1,2,3,\cdots\}\)，有数列\(\{f(x_n)\}\)有极限\(l\)。
证：必要性。设\(\lim
\limits_{x \to x_0} f(x)= l\)，则对任给的\(\varepsilon>0\)，存在一个\(\delta > 0\)，使得当\(0 < |x - x_0| < \delta\)，有\(|f(x) - l| <
\varepsilon\)，对于取定的\(\delta\)，由于\(\lim \limits_{n \to \infty} x_n =
x_0\)，所以存在\(N \in
\mathbb{N^+}\)，使得当\(n >
N\)时，有\(0 < |x_n - x_0| <
\delta\)，从而有
\[
|f(x_n) - l| < \varepsilon
\]
所以\(\lim \limits_{n \to \infty} f(x_n) =
l\)。
充分性。反证法，假设\(\lim
\limits_{x \to x_0} f(x) = l\)不成立，即存在\(\varepsilon_0 >
0\)，使得对任意的正整数\(n\)，存在点\(x_n\)，使得当\(0
< |x_n - x_0| < \frac{1}{n}\)，有\(|f(x_n) - l| \ge \varepsilon_0 >
0\)，从而找到了一个数列\(\{x_n \ne x_0:
n=1,2,3,\cdots\}\)，虽然它收敛于\(x_0\)，但是\(\lim
\limits_{n \to \infty} f(x_n) \ne l\)。
定理2：函数极限唯一性
若\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x)\)存在，则它是唯一的
证：若\(\lim \limits_{x \to x_0}
f(x)\)存在，可知对任意收敛于\(x_0\)的数列\(\{x_n \ne x_0 :
n=1,2,3,\cdots\}\)，有
\[
\lim \limits_{n\to\infty} f(x_n) = \lim \limits_{x \to x_0} f(x)
\]
而数列极限是唯一的，所以函数极限也是唯一的。
Q.E.D.
定理3
若\(f\)在\(x_0\)处有极限，则\(f\)在\(x_0\)的近旁是有界的，也就是说存在整数\(M\)，实数\(\delta > 0\)，使得当\(0 < |x - x_0| < \delta\)时，有\(|f(x)| < M\)。
证：设\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) =
l\)。由函数极限定义可知，对\(1 >
0\)，存在\(\delta >
0\)，使得当\(0 < |x - x_0| <
\delta\)时，有
\[
|f(x) - l| < 1
\]
从而有
\[
|f(x)| \le |l| + |f(x) - l| < 1 + |l|
\]
从而令\(M = 1 +
|l|\)就满足条件了。
Q.E.D.
定理4：函数极限四则运算
设\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x)\)与\(\lim \limits_{x \to x_0}g(x)\)存在，那么
（1）\(\lim \limits_{x \to x_0} (f \pm g)(x) = \lim \limits_{x \to x_0} f(x) \pm \lim \limits_{x \to x_0} g(x)\)
（2）\(\lim \limits_{x \to x_0} fg(x) = \lim \limits_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim \limits_{x \to x_0} g(x)\)
（3）\(\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f}{g}(x) = \frac{\lim \limits_{x \to x_0} f(x)}{\lim \limits_{x \to x_0} g(x)}\)，其中\(\lim \limits_{x \to x_0} g(x) \ne 0\)
证：由定理1和数列极限的四则运算很容易证明
Q.E.D.
定理5：夹逼原理
设函数\(f,g\)与\(h\)在点\(x_0\)的近旁（点\(x_0\)自身可能是例外）满足不等式
\[ f(x) \le h(x) \le g(x) \]
如果\(f\)与\(g\)在\(x_0\)处有相同的极限\(l\)，那么函数\(h\)在\(x_0\)处也有极限\(l\)。
证：由定理1和数列极限夹逼原理很容易证明
Q.E.D.
定理6
设存在\(r>0\)，使得当\(0<|x-x_0|<r\)时，有不等式\(f(x) \le g(x)\)恒成立，又设这两个函数\(x_0\)处都有极限，那么
\[ \lim \limits_{x \to x_0} f(x) \le \lim \limits_{x \to x_0} g(x) \]
证：由定理1和数列极限大小关系很容易证明
Q.E.D.
定理7：Cauchy收敛原理
函数\(f\)在\(x_0\)处有极限当且仅当对\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得对\(\forall x_1,x_2 \in B_\delta(\check x_0)\)，有\(|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon\)。
证：必要性。设\(\lim
\limits_{x \to x_0} f(x) = l\)，可知对\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得当\(x \in B_\delta(\check x_0)\)时，有
\[
|f(x) - l| < \frac{\varepsilon}{2}
\]
所以任取\(x_1,x_2 \in B_\delta(\check
x_0)\)，有
\[
\begin{aligned}
|f(x_1) - l| < \frac{\varepsilon}{2} \\
|f(x_2) - 1| < \frac{\varepsilon}{2}
\end{aligned}
\]
显然有
\[
|f(x_1) - f(x_2)| < |f(x_1) - l| + |l - f(x_2)| < \varepsilon
\]
充分性。设\(\{x_n \ne x_0, n
\in \mathbb{N^{*}}\}\)是任意一个收敛于\(x_0\)的数列，可知对取定的\(\delta\)，存在\(N
\in \mathbb{N^+}\)，使得当\(m,n>N\)时，有\(0<|x_n - x_0| < \delta, 0<|x_m - x_0|
< \delta\)，此时有
\[
|f(x_n) - f(x_m)| < \varepsilon
\]
可知\(\{f(x_n)\}\)是基本列，由数列的Cauchy收敛原理可知，数列\(\{f(x_n)\}\)收敛，不妨设该数列收敛于\(l_x\)；
若能证明无论\(\{x_n\}\)怎么取，数列\(\{f(x_n)\}\)收敛于相同的点，则再由定理1可知，函数\(f\)在\(x_0\)出也收敛。不妨设\(\{y_n\}\)是另一个收敛于\(x_0\)的数列，自然数列\(\{f(y_n)\}\)也收敛，不妨设收敛于\(l_y\)，构造数列\(\{z_n\}\)：
\[
x_1,y_1,x_2,y_2,\cdots,x_n,y_n,\cdots
\]
可知\(z_n \ne x_0(n \in
\mathbb{N^+})\)，且\(z_n \to x_0( n \to
\infty)\)，可知数列\(\{f(z_n)\}\)也有极限，记为\(l\)，又因为\(\{f(x_n)\}\)和\(\{f(y_n)\}\)都是\(\{f(z_n)\}\)的子列，所以有
\[
l_x = l_y = l
\]
Q.E.D.
定理8
设\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = l,\lim \limits_{t \to t_0} g(t) = x_0\)，如果在\(t_0\)的某个邻域\(B_\eta(t_0)\)内有\(g(t) \ne x_0\)，则
\[ \lim \limits_{t \to t_0} f(g(t)) = l \]
证。由\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = l\)，可知对\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\)，使得\(0 < |x-x_0| < \delta\)，有\(|f(x) - l| < \varepsilon\)；对给定的\(\delta>0\)，由\(\lim \limits_{t \to t_0} g(t) = x_0\)，可知存在\(\eta_1 > 0\)，使得\(0<|t - t_0| < \eta_1\)时，有\(0< |g(t) - x_0| < \delta\)，从而有\(|f(g(t)) - l| < \varepsilon\)，取\(\sigma = \min(\eta, \eta_1)\)，即对\(\forall \varepsilon > 0, \exists \sigma > 0\)，使得\(0< |t-t_0| < \sigma\)时，有\(|f(g(t)) - l| < \varepsilon\)。
Q.E.D.
定义2：单边极限
设函数\(f\)在\((x_0,x_0+r)\)（\(r\)是一个确定的正数）上有定义，若\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta \in (0, r)\)，使得当\(0 < x - x_0 < \delta\)时，有
\[ |f(x) - l| < \varepsilon \]
则称\(l\)为\(f\)在\(x_0\)处的右极限，表示为
\[ l = \lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = l \]
在右极限存在的情况下，也将右极限记为\(f(x_0+)\)
类似地，可以定义\(f\)在\(x_0\)处的左极限\(f(x_0-) = \lim \limits_{x \to x_0^-} f(x)\)；左右极限统称为单边极限。
定理9
函数\(f\)在\(x_0\)的某个去心邻域内处有定义，则\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x)\)存在的充分必要条件是
\[ f(x_0+) = f(x_0-) \]
证明有极限与左右极限的定义显然。