定义1：列紧集
设\(E \subset \mathbb{R^n}\)，如果\(E\)中的任一点列都有一个子列收敛于\(E\)中的一个点，则称\(E\)是\(\mathbb{R^n}\)中的一个列紧集。
定理1
\(\mathbb{R^n}\)中的集合\(E\)为列紧集的充分必要条件是\(E\)是有界闭集。
证：必要性。如果\(E\)是无界的，那么必可以找到一个子列\(\{\boldsymbol{x}_i\} \subset E\)，满足\(\Vert \boldsymbol{x}_i \Vert >
i(i=1,2,3,\cdots)\)，显然\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)不收敛，从而\(E\)不可能是列紧集。如果\(E\)不是闭集，则\(E^{\prime} \not\subset
E\)，则必可以找到一个收敛点列\(\{\boldsymbol{x}_i\} \subset E\)有极限\(\boldsymbol{a}\)，且\(\boldsymbol{a} \notin
E\)，从而找不到一个\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)的子列，使得该子列收敛于\(E\)中的点，从而\(E\)不是列紧集。矛盾。
充分性。任取点列\(\{\boldsymbol{x}_i\} \subset
E\)，由于\(E\)是有界集，从而\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)有界，由Bolzano-Weierstrass定理可知，存在一个收敛子列\(\{\boldsymbol{x}_{k_i}\}\)收敛于\(\boldsymbol{a}\)，又因为\(E\)是闭集，可知\(\boldsymbol{a} \in E\)，所以\(E\)是列紧集。
Q.E.D.
定义2：开覆盖
设\(E \subset \mathbb{R^n}\)，\(\mathscr{J} = \{G_\alpha\}\)是\(\mathbb{R}^n\)中的一个开集族，如果
\[ E \subset \bigcup \limits_\alpha G_\alpha \]
则称开集族\(\mathscr{J}\)覆盖了\(E\)，或称\(\mathscr{J}\)是\(E\)的一个开覆盖。
定义3：紧致集
设\(E \subset \mathbb{R^n}\)，若能从\(E\)的任意一个开覆盖中选出有限个开集，它们仍然能组成\(E\)的开覆盖，则称\(E\)为一个紧致集。
定理2
\(E \subset \mathbb{R^n}\)为紧致集的一个充分必要条件是\(E\)为有界闭集。
证：必要性。设\(E\)为紧致集，考虑以原点\(\boldsymbol{0}=(0,0,\cdots,0)\)为球心，\(m \in \mathbb{N^+}\)为半径的球\(B_m(\boldsymbol{0})\)。有
\[
E \subset \mathbb{R^n} = \bigcup \limits_{m=1}^\infty
B_m(\boldsymbol{0})
\]
从而\(\mathscr{J}=\{B_m(\boldsymbol{0}):m \in
\mathbb{N^+}\}\)是\(E\)的一个开覆盖，所以可从\(\mathscr{J}\)中选取有限个元素，记作
\[
B_{k_1}(\boldsymbol{0}), B_{k_2}(\boldsymbol{0}), \cdots,
B_{k_t}(\boldsymbol{0})
\]
它们仍然组成\(E\)的一个开覆盖，令
\[
s = \max(k_1,k_2,\cdots,k_t)
\]
可知\(E \subset
B_s(\boldsymbol{0})\)，因此\(E\)是有界的。
再证\(E\)闭集。即证\(E^c\)是开集，任取\(\boldsymbol{q} \in E^c\)，对\(\forall \boldsymbol{q} \in
E\)，存在充分小的球\(B_r(\boldsymbol{q})\)，使得\(B_r(\boldsymbol{q}) \cap B_r(\boldsymbol{p}) =
\varnothing\)，这里半径\(r>0\)且于\(\boldsymbol{q}\)有关，所有的\(B_{r}(\boldsymbol{q})\)全体构成\(E\)的一个开覆盖，从而可以取出有限个球
\[
B_{r_1}(\boldsymbol{q_1}),B_{r_2}(\boldsymbol{q_2}),\cdots,B_{r_m}(\boldsymbol{q_m})
\]
仍然构成\(E\)的一个开覆盖，可知
\[
B_{r_i}(\boldsymbol{q_i}) \cap B_{r_i}(\boldsymbol{p}) = \varnothing
\quad (i=1,2,\cdots,m)
\]
令
\[
s = \min(r_1,r_2,\cdots,r_m)
\]
可知球\(B_s(\boldsymbol{p}) \cap E =
\varnothing\)，所以\(B_s(\boldsymbol{p}) \subset
E^c\)，从而\(E^c\)是开集。
充分性。反证法，假设\(E\)不是紧致集，则存在开集族\(\{G_{\alpha}\}\)，它是\(E\)的一个开覆盖，但它的任意有限子族不能覆盖\(E\)，由于\(E\)是有界闭集，从而从在一个超立方体\(I^n\)，使得\(E
\subset I\)，将\(I\)分成相等的\(2^n\)个闭超立方体\(K_1,K_2,\cdots,K_{2^n}\)，可知
\[
I^n = K_1 \cup K_2 \cup \cdots \cup K_{2^n}
\]
且
\[
diam (K_i) = \frac{1}{2} diam(I^n) (i=1,2,\cdots,2^n)
\]
由于\(E\)不能被\(\{G_{\alpha}\}\)的任意有限子族覆盖，所以存在某个\(K_i\)使得，不妨记为\(F_1\)，使得
\[
H_1 = F_1 \cap E
\]
不能被\(\{G_{\alpha}\}\)的任意有限子族覆盖，且\(diam(H_1) \le diam(F_1) = \frac{1}{2}
diam(I^n)\)，继续对\(F_1\)做上述划分和分析，可知必存在闭超立方体\(F_2\)，使得
\[
H_2 = F_2 \cap E
\]
不能被\(\{G_{\alpha}\}\)的任意有限子族覆盖，且\(diam(H_2) \le diam(F_2) = \frac{1}{2} diam(F_1) =
\frac{1}{2^2} diam(I^n)\)，一直进行下去，从而得到一列闭集\(H_k = F_k \cap
E(k=1,2,\cdots)\)，它们满足
(a) \(H_1 \supset H_2 \supset
\cdots\)
(b) \(diam(H_k) \le \frac{1}{2^k} diam(I) \to
0 (k \to \infty)\)
(c) 每个\(H_k\)都不能被\(\{G_{\alpha}\}\)的任意有限子族覆盖
由(a)和(b)可知，\(\{H_k\}\)满足闭区间套的条件，从而存在唯一的点\(\boldsymbol{\xi} \in \bigcap\limits_{k=1}^\infty
\boldsymbol{H}_k\)，由因为\(\boldsymbol{\xi} \in E\)，而\(\{G_{\alpha}\}\)是\(E\)的一个开覆盖，所以存在某个开集\(G_{\beta} \in \{G_{\alpha}\}\)，使得\(\boldsymbol{\xi} \in
G_{\beta}\)，从而存在\(r >
0\)，使得\(B_r(\boldsymbol{\xi})
\subset G_{\beta}\)，又由(b)可知，存在充分大的\(k\)，使得\(diam(H_k) < r\)。
此时对任意的\(\boldsymbol{x} \in
H_k\)，因为\(\boldsymbol{\xi} \in
H_k\)，从而有
\[
\Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{\xi} \Vert \le diam(H_k) < r
\]
即有\(\boldsymbol{x} \in B_r(\boldsymbol{\xi})
\subset G_{\beta}\)，所以\(H_k \subset
G_{\beta}\)，这与(c)矛盾。
Q.E.D.
定义4：连通集
设\(E \subset \mathbb{R^n}\)，如果\(E\)的任一分解式\(E=A \cup B\)满足条件\(A \ne \varnothing,B \ne \varnothing\)，并且\(A \cap B = \varnothing\)，便可使得以下两式：
\[ A \cap B^{\prime} \ne \varnothing \quad A^{\prime} \cap B \ne \varnothing \]
中至少有一个成立，那么称\(E\)是\(\mathbb{R^n}\)中的一个连通集，或者称\(E\)是连通的。
定义5：区域和闭区域
在\(\mathbb{R^n}\)中，连通的开集称为区域，区域的闭包称为闭区域。
定理3
开集\(E \subset \mathbb{R^n}\)为连通集的充分必要条件是\(E\)不能分解成两个不相交的非空开集之并。
证：必要性。假设有分解式\(E=A \cup B\)，其中\(A\)与\(B\)是非空开集，并且\(A \cap B = \varnothing\)，由于\(B\)是开集，从而对\(\forall \boldsymbol{b} \in
B\)，都存在球对于\(B_r(\boldsymbol{b})
\subset B\)，即有\(B_r(\boldsymbol{b})
\cap A = \varnothing\)，从而\(\boldsymbol{b}\)不可能是\(A\)的凝聚点，即\(B \cap A^{\prime} =
\varnothing\)，同理\(A \cap B^{\prime}
= \varnothing\)，从而\(E\)不是连通集，矛盾。
充分性。如果\(E\)不连通，那么存在两个互不相交的非空集\(A\)和\(B\)，使得\(E = A
\cup B\)，且\(A \cap B^{\prime} =
\varnothing,A^{\prime} \cap B = \varnothing\)，任取\(\boldsymbol{a} \in A\)，可知\(\boldsymbol{a} \in E\)，由于\(E\)是开集，从而存在球\(B_r(\boldsymbol{a}) \in E\)；又因\(\boldsymbol{a}\)不是\(B\)的凝聚点，即存在球\(B_s(\boldsymbol{a})\)不含\(B\)中的点，从而取\(m = \min(r, s)\)，可知球\(B_m(\boldsymbol{a})\)满足
\[
B_m(\boldsymbol{a}) \subset E, \quad B_m(\boldsymbol{a}) \cap B =
\varnothing
\]
自然有\(B_m(\boldsymbol{a}) \subset
A\)，从而\(A\)是开集，同理\(B\)是开集，矛盾。所以\(E\)是连通集。
Q.E.D.
定理4
在\(\mathbb{R}\)上，集合\(E\)是连通的充分必要条件是\(E\)为区间。
证：必要性。假设\(E
\subset \mathbb{R}\)是连通集，要证\(E\)是区间，即证任取\(a,b \in E\)，不妨设\(a < b\)，有\([a, b] \subset E\)。反证法，假设存在\(c \in [a,b]\)，使得\(c \notin E\)，作集合
\[
A = \{ x \in E: x<c \} \quad B=\{x \in E: x > c\}
\]
可知\(A,B\)非空，\(E = A \cup B\)，而且\(A^{\prime} \cap B = \varnothing,A \cap B^{\prime}
= \varnothing\)，可知\(E\)不连通，矛盾。
充分性。任取分解式\(E=A \cup
B\)，其中\(A,B\)非空，且\(A \cap B = \varnothing\)，存在\(a \in A, b \in B\)，不妨设\(a < b\)，从而有\([a, b] \subset E\)，取\(c_1 = \frac{a+b}{2}\)，若\(c_1 \in A\)，则令\(a_1=c_1,b_1=b\)，或则令\(a_1=a,b_1=c_1\)，若此下去可作出闭区间套\([a_k,b_k]\)，其中\(a_k \in A, b_k \in B(k \in
\mathbb{N^+})\)，可知存在一个\(c \in
[a_k,b_k] (k\in \mathbb{N^+})\)，且\(a_k \to c, b_k \to c(k \to
\infty)\)；所以如果\(c \in
A\)，那么\(c \notin
B\)，从而\(c \in
B^{\prime}\)，从而\(A \cap B^{\prime}
\ne \varnothing\)，同理若\(c \in
B\)，有\(A^{\prime} \cap B \ne
\varnothing\)，所以\(E\)是连通的。
Q.E.D.
定义6：道路连通集
设\(E \subset \mathbb{R^n}\)，如果对任意的两点\(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q} \in E\)，都有一条连续曲线\(l \subset E\)将\(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}\)连接起来，则称\(E\)是道路连通的。所谓\(\mathbb{R^n}\)中的连续曲线\(l\)，是指可以表示为参数分成：
\[ x_i = \varphi_i(t) \quad (i=1,2,\cdots,n) \]
其中\(\varphi_i(i=1,2,\cdots,n)\)是区间\([a,b]\)上的连续函数，且
\[ \begin{aligned} \boldsymbol{p} = (\varphi_1(a), \varphi_2(a), \cdots, \varphi_n(a)) \\ \boldsymbol{q} = (\varphi_1(b), \varphi_2(b), \cdots, \varphi_n(b)) \end{aligned} \]
定理5
道路连通集一定是连通集
证：设\(E \subset
\mathbb{R^n}\)是一个道路连通集，任取分解式\(E = A \cup B\)，其中\(A,B\)是互不相交的非空集，在\(A\)中任取一点\(\boldsymbol{p}\)，在\(B\)中任取一点\(\boldsymbol{q}\)，则存在一条连续曲线\(\Gamma \subset E\)把\(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}\)两点连接起来，令
\[
\boldsymbol{\Phi}(t) =
(\varphi_1(t),\varphi_2(t),\cdots,\varphi_n(t)) \quad (a \le t \le b)
\]
为\(\Gamma\)的参数方程，令
\[
F = \{ t \in [a,b]: \boldsymbol{\Phi}(t) \in A \} \quad G = \{ t \in
[a,b]: \boldsymbol{\Phi}(t) \in B \}
\]
可知\(F,G\)是互不相交的非空集合，且\(F \cup G = [a, b]\)，又由于\([a,b]\)是连通集，所以\(F \cap G^{\prime}\)和\(F^{\prime} \cap
G\)至少有一个非空，不妨设\(c \in F \cap
G^{\prime}\)，由\(c \in
G^{\prime}\)，知有数列\(\{t_i\} \subset
G\)，使得\(\lim \limits_{i \to \infty}
t_i = c\)，由于\(\varphi_i(i=1,2,\cdots,n)\)是连续函数，可知
\[
\lim \limits_{i \to \infty} \boldsymbol{\Phi}(t_i) =
\boldsymbol{\Phi}(c)
\]
由于\(\boldsymbol{\Phi}(t_i) \in
B(i=1,2,\cdots,n)\)且\(\boldsymbol{\Phi}(c) \in A\)，可知\(\boldsymbol{\Phi}(c) \notin B\)，从而\(\boldsymbol{\Phi}(c) \in
B^{\prime}\)，所以\(\boldsymbol{\Phi}(c) \in A \cap
B^{\prime}\)，即\(A \cap B^{\prime} \ne
\varnothing\)，可得\(E\)是连通集。
Q.E.D.