本章的内容为接下来的函数极限做铺垫。欧几里得空间\(\mathbb{R^n}\)中关于点\(\boldsymbol{a}\)的邻域两个常用到的概念为
\[
\begin{aligned}
& B_r(\boldsymbol{a}) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R^n} :
\Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \Vert < r \} \\
& B_r(\boldsymbol{\check a}) = \{ \boldsymbol{x} \in
\mathbb{R^n} : 0 < \Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \Vert < r
\}
\end{aligned}
\]
其中\(B_r(\boldsymbol{a})\)称为以\(\boldsymbol{a}\)为球心，\(r>0\)为半径的球，而\(B_r(\boldsymbol{\check
a})\)称为相应的空心球。
定义1：开集
（1）设\(E \in \mathbb{R^n}\)，如果点\(\boldsymbol{a} \in E\)，并且存在\(r>0\)，使得\(B_r(\boldsymbol{a}) \subset E\)，那么称\(\boldsymbol{a}\)为\(E\)的一个内点；
（2）\(E\)的全体内点构成的集合记作\(E°\)，称为\(E\)的内部
（3）若\(E°=E\)，则称\(E\)为开集。
定理1
对任何集\(E\)，\(E\)的内部\(E°\)是开集。
证：若\(E°=\varnothing\)，可知\(E°=(E°)°=\varnothing\)，可知\(E°\)是开集；若\(E° \ne \varnothing\)，任取\(\boldsymbol{c} \in E°\)，可知存在\(r>0\)，使得\(B_r(\boldsymbol{c}) \subset
E\)；从而任取\(\boldsymbol{a} \in
B_r(\boldsymbol{c})\)，令\(d=r - \Vert
\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c} \Vert\)，对于\(\boldsymbol{x} \in
B_d(\boldsymbol{a})\)，有
\[
\Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{c} \Vert \le \Vert \boldsymbol{x}
- \boldsymbol{a} \Vert + \Vert \boldsymbol{a} - \boldsymbol{c} \Vert \le
d + \Vert \boldsymbol{a} - \boldsymbol{c} \Vert = r
\]
从而有\(\boldsymbol{x} \in
B_r(\boldsymbol{c})\)，可得\(B_d(\boldsymbol{a}) \subset B_r(\boldsymbol{c})
\subset E\)，从而\(\boldsymbol{a} \in
E°\)，由于\(\boldsymbol{a} \in
B_r(\boldsymbol{c})\)，所以\(B_r(\boldsymbol{c}) \subset E°\)，所以\(E°\)是开集。
Q.E.D.
定理2
在空间\(\mathbb{R^n}\)中：
（1）\(\mathbb{R^n},\varnothing\)是开集；
（2）设\(\{E_\alpha\}\)是\(\mathbb{R^n}\)的一个开子集族，其中指标\(\alpha\)来自一个指标集\(I\)，那么并集\(\bigcup \limits_{\alpha \in I}E_\alpha\)是开集（任意多个开集的并是开集）
（3）设\(E_1,E_2,\cdots,E_m\)是有限多个开集，那么交集\(\bigcap \limits_{i=1}^mE_i\)是开集（有限个开集的交是开集）。
证：（1）显然，下面证（2）（3）
（2）任取\(\boldsymbol{a} \in \bigcup
\limits_{\alpha \in I} E_\alpha\)，存在\(\beta \in I\)，使得\(\boldsymbol{a} \in E_\beta\)，由于\(E_\beta\)是开集，从而存在球\(B_r(\boldsymbol{a}) \subset E_\beta \subset
\bigcup \limits_{\alpha \in I} E_\alpha\)，从而\(\boldsymbol{a}\)是\(\bigcup \limits_{\alpha \in I}
E_\alpha\)的内点，所以\(\bigcup
\limits_{\alpha \in I} E_\alpha\)是开集。
（3）任取\(\boldsymbol{a} \in \bigcap
\limits_{i=1}^mE_i\)，即\(\boldsymbol{a} \in E_i
(i=1,2,\cdots,m)\)，则存在\(r_i>0\)，使得
\[
B_{r_i}(\boldsymbol{a}) \in E_i (i=1,2,\cdots,m)
\]
令\(r =
\min(r_1,r_2,\cdots,r_m)\)，可得
\[
B_r(\boldsymbol{a}) \subset \bigcap \limits_{i=1}^mE_i
\]
所以\(\boldsymbol{a}\)是\(\bigcap
\limits_{i=1}^mE_i\)的内点，从而\(\bigcap \limits_{i=1}^mE_i\)是开集。
Q.E.D.
定义2：闭集
设\(F \subset \mathbb{R^n}\)，若\(F^c\)是开集，则称\(F\)是闭集。
定理3
在空间\(\mathbb{R^n}\)中：
（1）\(\mathbb{R^n},\varnothing\)是闭集；
（2）设\(\{F_\alpha\}\)是\(\mathbb{R^n}\)的一个闭子集族，其中指标\(\alpha\)来自一个指标集\(I\)，那么交集\(\bigcap \limits_{\alpha \in I}F_\alpha\)是闭集（任意多个闭集的并是闭集）
（3）设\(F_1,F_2,\cdots,F_m\)是有限多个开集，那么交集\(\bigcup \limits_{i=1}^m F_i\)是闭集（有限个闭集的交是闭集）。
利用De Morgan对偶原理与定理7的结论容易证明，从略。
定义3：凝聚点或极限点
设\(E \subset \mathbb{R^n}\)，若\(\boldsymbol{a} \in \mathbb{R^n}\)，并满足对任意的\(r>0\)，在空心球\(B_r(\boldsymbol{\check a})\)内总有\(E\)中的点，则称\(\boldsymbol{a}\)为\(E\)的凝聚点或极限点。
定义4：导集和闭包
点集\(E \subset \mathbb{R^n}\)的凝聚点的全体称为\(E\)的导集，记作\(E^{\prime}\)，记\(\bar E = E \cup E^{\prime}\)，称\(\bar E\)为\(E\)的闭包
定理4
\(E\)是闭集的充分必要条件是\(E^{\prime} \subset E\)，即\(\bar E = E\)。
证：必要性。反证法，假设存在\(\boldsymbol{a} \in E^{\prime}\)，而\(\boldsymbol{a} \notin E\)，可知\(\boldsymbol{a} \in E^{c}\)，又由于\(E\)是闭集，从而\(E^{c}\)是开集，从而存在\(B_r(\boldsymbol{a}) \subset
E^c\)，这时\(B_r(\boldsymbol{a})\)中没有$E
\(中的点，结合\) E\(，可知\)B_r()\(中没有\)E\(中的点，而这与\)\(是\)E\(的凝聚点矛盾，从而得证。 充分性。任取\)
E^{c}\(，可知\) E^{}\(，从而存在空心球\)B_r() E^{c}\(，结合\) E^c\(，可知\)B_r() Ec\(，所以\)Ec\(是开集，从而\)E$是闭集。
Q.E.D.
定理5
\(E\)是闭集的充分必要条件是，\(E\)中的任意收敛点列的极限必在\(E\)中。
证：必要性。设\(E\)中的收敛点列\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)有极限\(\boldsymbol{a}\)，则\(\boldsymbol{a} \in E\)或\(\boldsymbol{a} \notin E\)，如果\(\boldsymbol{a} \notin
E\)，由极限性质可知\(\boldsymbol{a} \in
E^{\prime}\)，又根据定理4，可得\(\boldsymbol{a} \in E\)，所以\(\boldsymbol{a}\)必在\(E\)中。
充分性。任取\(\boldsymbol{a} \in
E^{\prime}\)，可从\(E\)中选出点列\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)收敛于\(\boldsymbol{a}\)，而\(\boldsymbol{a} \in E\)，所以\(E^{\prime} \subset E\)，从而\(E\)是闭集。
Q.E.D.
定理6
\(E\)的导集\(E^{\prime}\)与\(\bar E\)都是闭集。
证：前一命题。任取\(\boldsymbol{a} \in
(E^{\prime})^c\)，可知\(\boldsymbol{a}\)不是\(E\)的极限点，则存在一个球\(B_r(\boldsymbol{a})\)，其中至多只有\(E\)中的一个点，且该点若存在只能是\(\boldsymbol{a}\)，由因为\(B_r(\boldsymbol{a})\)是开集，从而任取\(\boldsymbol{c} \in
B_r(\boldsymbol{a})\)，若\(\boldsymbol{c} =
\boldsymbol{a}\)，自然有\(\boldsymbol{c} \in
(E^{\prime})^c\)，若\(\boldsymbol{c}
\ne \boldsymbol{a}\)，则存在球\(B_s(\boldsymbol{c}) \subset
B_r(\boldsymbol{a})\)，且\(B_s(\boldsymbol{c})\)不包含\(E\)中的点，可知此时\(\boldsymbol{c}\)也不可能是\(E\)的极限点；即\(B_r(\boldsymbol{a}) \subset
(E^{\prime})^c\)，所以\(E^{\prime}\)是闭集。
后一命题。若\(E^{\prime}=\varnothing\)，可知\(\bar{E} = E\)，可知\(E\)是闭集，从而\(\bar{E}\)是闭集；若\(E^{\prime} \ne \varnothing\)，则任取\(\bar{E}\)中的一个收敛点列\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)有极限\(\boldsymbol{a}\)，如果\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)中只有有限个点，显然有\(\boldsymbol{a} \in
\bar{E}\)中，否则其中必有一个子列的点全属于\(E\)或者\(E^{\prime}\)，若全属于\(E\)，则有\(\boldsymbol{a} \in E^{\prime} \subset
\bar{E}\)，若全属于\(E^{\prime}\)，由于前面已证得\(E^{\prime}\)是闭集，从而\(\boldsymbol{a} \in E^{\prime} \subset
\bar{E}\)，所以\(\bar{E}\)是闭集。
Q.E.D.
定理7
\(E°\)是含于\(E\)内的最大开集，\(\bar E\)是包含\(E\)的最小闭集。
证：前一命题。设开集\(B \subset
E\)，任取\(\boldsymbol{a} \in B \subset
E\)，可知存在球\(B_r(\boldsymbol{a})
\subset B \subset E\)，可知\(\boldsymbol{a} \in E°\)，所以\(B \subset E°\)。
后一命题。设闭集\(F \supset
E\)，任取\(\boldsymbol{b} \in \bar E =
E^{\prime} \cup E\)，若\(\boldsymbol{b}
\in E\)，则\(\boldsymbol{b} \in
F\)；若\(\boldsymbol{b} \in
E^{\prime}\)，则\(E\)中有一个点列\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)收敛于\(\boldsymbol{b}\)，而这个点列也可以看出是\(F\)中的，再由定理5可知，\(\boldsymbol{b}
\in F\)，所以\(\bar E \subset
F\)。
Q.E.D.
定义5：边界
（1）设点集\(E\subset \mathbb{R^n}\)，\((E^c)^°\)中的点称为\(E\)的外点，外点的全体称为\(E\)的外部；
（2）既不是\(E\)的内点又不是\(E\)的外点的点称为\(E\)的边界点，边界点的全体称为\(E\)的边界。
定义6：直径
设非空点集\(E \subset \mathbb{R^n}\)，记
\[ diam(E) = \sup \{ \Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} \Vert: \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in E \} \]
称该数为集合\(E\)的直径。
定理8：闭区间套定理
设\(\{\boldsymbol{F}_i\}(\boldsymbol{F}_i \ne \varnothing, i=1,2,3,\cdots)\)是一闭集列，并且\(\boldsymbol{F}_1 \supset \boldsymbol{F}_2 \supset \boldsymbol{F}_3 \supset \cdots\)，若
\[ \lim \limits_{i \to \infty} diam(\boldsymbol{F}_i) = 0 \]
那么\(\bigcap \limits_{i=1}^\infty \boldsymbol{F}_i\)只含唯一的点。
证：因为\(\boldsymbol{F}_i\)不是空集，因此对每个\(i \in \mathbb{N}^{*}\)，都存在\(\boldsymbol{x}_i \in
\boldsymbol{F}_i\)，又由闭区间套的性质可知
\[
\{\boldsymbol{x}_i, \boldsymbol{x}_{i+1}, \boldsymbol{x}_{i+2},
\cdots\} \in \boldsymbol{F}_i \quad (i \in \mathbb{N}^{*})
\]
所以当\(k,l > i\)时，
\[
\Vert \boldsymbol{x}_k - \boldsymbol{x}_l \Vert \le
diam(\boldsymbol{F}_i) \to 0 \quad (i \to \infty)
\]
可知\(\{ \boldsymbol{x}_i
\}\)时基本点列，不妨设其收敛于点\(\boldsymbol{a}\)，又由闭集的性质定理5可知，\(\boldsymbol{a}
\in \boldsymbol{F}_i\)对所有\(i \in
\mathbb{N}^{*}\)成立，因此\(\boldsymbol{a} \in \bigcap \limits_{i=1}^\infty
\boldsymbol{F}_i\)。
假设还有点\(\boldsymbol{b} \in \bigcap
\limits_{i=1}^\infty \boldsymbol{F}_i\)，从而\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \in
\boldsymbol{F}_i\)，可知
\[
\Vert \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} \Vert \le
diam(\boldsymbol{F_i}) = 0 \quad (i \to \infty)
\]
可知\(\boldsymbol{a} =
\boldsymbol{b}\)。所以\(\boldsymbol{a}\)唯一。
Q.E.D.