本篇主要讲多维空间中点列的极限，下面的讨论都会基于\(n\)维欧式空间，通常用\(\mathbb{R^n}\)表示；以下内容的前提是已知\(n\)维Euclid空间以及各种名词的概念，比如向量，范数，内积等等，如有不理解的概念，建议查看高等代数中关于度量空间的内容。
定义1：点列收敛
设\(\boldsymbol{x}_i \in \mathbb{R^n}(i=1,2,\cdots)，称\{\boldsymbol{x}_i\}是\mathbb{R^n}\)中的一个点列。\(\boldsymbol{a} \in \mathbb{R^n}\)，如果对任意给定的\(\varepsilon>0\)，存在\(N \in \mathbb{N^+}\)，使得当\(i > N\)时，有
\[ \Vert \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{a} \Vert < \varepsilon \]
称点\(\boldsymbol{a}\)是点列\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)的极限，记作
\[ \lim \limits_{i\to\infty} \boldsymbol{x}_i = \boldsymbol{a} \quad 或 \quad \boldsymbol{x}_i \to \boldsymbol{a}(i \to \infty) \]
也称点列\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)收敛于点\(\boldsymbol{a}\)。
定理1
（1）如果点列\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)收敛，那么它的极限必是唯一的；
（2）收敛点列必定是有界的。
证明与数列极限的证明几乎一样，从略
定理2
设\(\lim \limits_{i \to \infty}\boldsymbol{x}_i = \boldsymbol{a}，\lim \limits_{i \to \infty}\boldsymbol{y}_i = \boldsymbol{b}\)，那么
（1）\(\lim \limits_{i \to \infty}(\boldsymbol{x}_i \pm \boldsymbol{y}_i) = \boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b}\)
（2）对任意\(\lambda \in \mathbb{R}\)，有
\[ \lim \limits_{i \to \infty}(\lambda \boldsymbol{x}_i) = \lambda \boldsymbol{a} \]
证明与数列极限的证明几乎一样，从略
定义2
设\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)是\(\mathbb{R^n}\)中的一个点列，并设
\[ \boldsymbol{x}_i = (x_1^{(i)},x_2^{(i)},\cdots,x_n^{(i)}) \quad (i=1,2,\cdots) \]
如果对\(k=1,2,\cdots,n\)，有
\[ \lim \limits_{i \to \infty} x_k^{(i)} = a_k \]
则称点列\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)按分量收敛于\(\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)。
定理3
\(\lim \limits_{i \to \infty} \boldsymbol{x}_i = \boldsymbol{a}\)等价于点列\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)按分量收敛于\(\boldsymbol{a}\)。
证：（a）先证\(\boldsymbol{a} =
\boldsymbol{0}\)的情形，易知不等式
\[
|x_k^{(i)}| \le \Vert \boldsymbol{x}_i \Vert \le |x_1^{(i)}| +
|x_2^{(i)}| + \cdots + |x_n^{(i)}| \quad (k=1,2,\cdots,n)
\]
对所有的\(i \in
\mathbb{N^+}\)都成立；所以当\(\lim
\limits_{i \to \infty} \boldsymbol{x}_i =
\boldsymbol{0}\)，有\(\lim \limits_{i
\to \infty} x_k^{(i)}=0 (k=1,2,\cdots,n)\)，即\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)按分量收敛于\(\boldsymbol{0}\)。反之，若\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)按分量收敛于\(\boldsymbol{0}\)，则有
\[
\lim \limits_{i \to \infty} |x_1^{(i)}| + |x_2^{(i)}| + \cdots +
|x_n^{(i)}| = 0
\]
由此可知\(\lim \limits_{i \to \infty} \Vert
\boldsymbol{x}_i \Vert = 0\)，即\(\lim
\limits_{i \to \infty} \boldsymbol{x}_i =
\boldsymbol{0}\)。
（b）若\(\boldsymbol{a} \ne
\boldsymbol{0}\)，则考虑点列\(\{\boldsymbol{x}_i -
\boldsymbol{a}\}\)，再由（a）的结论就易证明 \(\lim \limits_{i \to \infty} \boldsymbol{x}_i =
\boldsymbol{a}\)等价于点列\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)按分量收敛于\(\boldsymbol{a}\)。
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定义3：基本点列
设\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)是\(\mathbb{R^n}\)中的一个点列，如果对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(N \in \mathbb{N^+}\)，使得当\(k,l>N\)时，有\(\Vert \boldsymbol{x}_k - \boldsymbol{x}_l \Vert < \varepsilon\)，则称\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)是一个基本（点）列。
定理4：基本点列收敛
\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)是收敛点列的充分必要条件是\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)是基本点列。
证：必要性。设\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)收敛于\(\boldsymbol{a}\)，可知对任意给定的\(\varepsilon > 0\)，存在\(N \in \mathbb{N^+}\)，使得当\(i > N\)时，有\(\Vert \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{a}\Vert <
\frac{\varepsilon}{2}\)，因此当\(k,l>N\)时，有
\[
\Vert \boldsymbol{x}_k - \boldsymbol{a} \Vert <
\frac{\varepsilon}{2}, \quad \Vert \boldsymbol{x}_l - \boldsymbol{a}
\Vert < \frac{\varepsilon}{2}
\]
从而有
\[
\Vert \boldsymbol{x}_k - \boldsymbol{x}_l \Vert \le \Vert
\boldsymbol{x}_k - \boldsymbol{a} \Vert + \Vert \boldsymbol{a} -
\boldsymbol{x}_l \Vert < \varepsilon
\]
即\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)是基本列；
充分性。设\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)是基本列，由不等式
\[
|x_j^{(k)} - x_j^{(l)}| \le \Vert \boldsymbol{x}_k -
\boldsymbol{x}_l \Vert \quad (j=1,2,\cdots,n)
\]
可知\(\{x_j^{(k)}\}(j=1,2,\cdots,n)\)是基本列，所以它们是收敛数列，令
\[
\lim \limits_{i \to \infty} x_j^{(i)} = a_j \quad (j = 1,2,\cdots,n)
\]
从而有点列\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)按分量收敛于\(\boldsymbol{a} =
(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)，也即\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)收敛于\(\boldsymbol{a}\)。
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定理5
(Bolzano-Weierstrass) 从任一有界的点列可以选出收敛的子点列。
证：设点列\(\{\boldsymbol{x}_i\}\)有界，由不等式\(|x_k^{(i)}| \le \Vert \boldsymbol{x}_i
\Vert\)，易知数列\(\{x_k^{(i)}\}(k=1,2,\cdots,n)\)是有界的，从而根据数列的Bolzano-Weierstrass定理，存在\(\{i\}\)的子列\(\{i^{(1)}\} \subset \{i\}\)，使得，
\[
\lim \limits_{l \to \infty} x_{1}^{(i^{(1)})} = a_1
\]
而\(\{x_2^{(i^{(1)})}\}\)也是一个有界数列，从而存在\(\{i^{(1)}\}\)的一个子列${i^{(2)}} {i^{(1)}}
$，使得
\[
\lim \limits_{l \to \infty} x_{k}^{(i^{(2)})} = a_2
\]
依此下去，找到一串子列满足\(\{i^{(n)}\}
\subset \{i^{(n-1)}\} \subset \cdots \subset \{i^{(2)}\} \subset
\{i^{(1)}\}\)，且有
\[
\lim \limits_{l \to \infty} x_{k}^{(i^{(k)})} = a_k \quad
(k=1,2,\cdots,n)
\]
根据收敛数列的任意子列收敛于同一值，可知
\[
\lim \limits_{l \to \infty} x_{k}^{(i^{(n)})} = a_k \quad
(k=1,2,\cdots,n)
\]
从而找到了\(\{i\}\)的一个子列\(\{i^{(n)}\}\)，使得\(\{\boldsymbol{x}_{i^{n)}}\}\)按分量收敛于\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)，即选出了一个收敛子点列。
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