对于任意给定的数列\(\{a_n\}\)，如果\(\{a_n\}\)有界，由列紧性可知，必然存在收敛子列，如果\(\{a_n\}\)无解，则总可以找到一个子列趋向于\(-\infty\)或\(+\infty\)。我们把数列\(\{a_n\}\)的收敛子列的极限称为\(\{a_n\}\)的一个极限点，若还有趋于\(-\infty\)或\(+\infty\)的子列，也将\(-\infty\)或\(+\infty\)称为\(\{a_n\}\)的一个极限点。
定义1：上极限与下极限
设\(\{a_n\}\)是一个数列，\(E\)是由\(\{a_n\}\)的全部极限点构成的集合，记
\[ a^* = \sup E, \quad a_*=\inf E \]
则\(a^{*}\)和\(a_{*}\)分别称为数列\(\{a_n\}\)的上极限和下极限，记为
\[ a^* = \limsup \limits_{n\to\infty} a_n, \quad a_* = \liminf \limits_{n\to\infty} a_n \]
定理1
设\(\{a_n\}\)是一个数列，\(E\)与\(a^*\)的含义与定义1中一样，那么
（1）\(a^* \in E\);
（2）若\(x>a^*\)，则存在\(N>\mathbb{N^{*}}\)，当\(n \ge N\)时，有\(a_n < x\);
（3）\(a^*\)是满足前两条性质的唯一的数。即由（1）（2）也可以定理上极限。
证：（1）若\(a^*=+\infty\)，则\(E\)无上界，可知\(\{a_n\}\)也没有上界，所以必然可以从\(\{a_n\}\)中选取一个趋于\(+\infty\)的子列，即\(a^* \in E\)，
如果\(a^*=-\infty\)，则\(E={-\infty}\)，显然由\(a^* \in E\)
如果\(a^*\)是一个有限数，由于\(a^*=\sup E\)，从而必存在\(l_1\in E\)，使得
\[
a^* - 1 < l_1 < a^* + 1
\]
又由于\(l_1\)是\(\{a_n\}\)某个子列的极限，则一定存在正整数\(k_1\)，使得
\[
a^* - 1 < a_{k_1} < a^* + 1
\]
同理，存在\(l_2 \in E\)，使得
\[
a^* - \frac{1}{2} < l_2 < a^* + \frac{1}{2}
\]
\(l_2\)是\(\{a_n\}\)的某个子列的极限，则一定存在正整数\(k_2 > k_1\)，使得
\[
a^* - \frac{1}{2} < a_{k_2} < a^* + \frac{1}{2}
\]
归纳可得，对任何\(n \in
\mathbb{N^+}\)，存在\(k_n\)，满足\(k_n>k_{n-1}>\cdots>k_1\)，使得
\[
a^* - \frac{1}{n} < a_{k_n} < a^* + \frac{1}{n}
\]
所以有\(\lim \limits_{n \to \infty}a_{k_n} =
a^*\)，即找到了\(\{a_n\}\)的一个子列收敛于\(a^*\)，所以\(a^*
\in E\)。
（2）反证法。假设存在无穷多个\(n\)，满足\(a_n
\ge x\)，则存在一个\(y \in
E\)，使得\(y \ge x >
a^*\)，这与\(a^*\)是\(E\)的上确界矛盾。
（3）反证法。假设存在两个不同的数\(p，q\)同时满足（1）（2），不妨设\(p<q\)，取\(x\)，使得\(p<x<q\)，由（2）可知，存在\(N \in \mathbb{N^+}\)，使得当\(n \ge N\)时，有\(a_n < x\)，易知\(E\)中的点不可能超过\(x\)，这是\(q\)不能满足（1）。
Q.E.D.
定理2
设\(\{a_n\}\)是一个数列，\(E\)与\(a_*\)的含义与定义1中一样，那么
（1）\(a_* \in E\);
（2）若\(x < a_*\)，则存在\(N>\mathbb{N^{*}}\)，当\(n \ge N\)时，有\(a_n > x\);
（3）\(a_*\)是满足前两条性质的唯一的数。即由（1）（2）也可以定理下极限。
证法与定理1的证明方法几乎一样（从略）。
定理3
设\(\{a_n\},\{b_n\}\)是两个数列，
（1）\(\liminf \limits_{n \to \infty}a_n \le \limsup \limits_{n \to \infty}a_n\)
（2）\(\lim \limits_{n \to \infty}a_n = a\)当且仅当\(\liminf \limits_{n \to \infty}a_n = \limsup \limits_{n \to \infty}a_n = a\)
（3）若\(N\)是某个正整数，当\(n>N\)时，有\(a_n \le b_n\)，那么
\[ \liminf \limits_{n \to \infty}a_n \le \liminf \limits_{n \to \infty}b_n，\quad \limsup \limits_{n \to \infty}a_n \le \limsup \limits_{n \to \infty}b_n \]
证：（1）（2）显然，下面只证（3）的右边等式，左边等式可以相似的证明。记
\[
\limsup \limits_{n \to \infty}a_n = a^*, \quad \limsup \limits_{n
\to \infty}b_n = b^*
\]
若\(b^*=+\infty\)，不等式自然成立；当\(a^*=+\infty\)，存在子列\(a_{k_n} \to +\infty (n \to
\infty)\)，这时也有\(b_{k_n} \to
+\infty (n \to \infty)\)，从而有\(b^* =
+\infty\)，不等式等号成立；同样若\(a^*\)与\(b^*\)中有一个为\(-\infty\)时，结论也成立。现在设\(a^*\)与\(b^*\)都是有限数，采用反证法，假设\(b^* < a^*\)，取\(x\)，使得\(b^*
< x < a^*\)，由定理1（2）可知，存在正整数\(N_1\)，使得当\(n>N_1\)时，有\(b_n < x\)，取\(n>\max(N, N_1)\)时，有
\[
a_n \le b_n < x < a^*
\]
这与\(a^*\)的定义矛盾。
（3）也可以不采用反证法。由\(a^*\)的性质可知，可从\(\{a_n\}\)中取出一个子列\(\{a_{k_n}\}\)，使得\(\lim \limits_{n \to \infty}a_{k_n} =
a^*\)，又当\(k_n \ge n >
N\)，\(a_{k_n} \le
b_{k_n}\)，这时可以从\(b_{k_n}\)中取出一个收敛子列\(\{b_{i_{k_{n}}}\}\)，相应的\(\{a_{k_n}\}\)的子列为\(\{a_{i_{k_{n}}}\}\)，由\(\lim \limits_{n \to \infty}a_{k_n} =
a^*\)，可得
\[
\lim \limits_{n \to \infty}a_{i_{k_n}} = a^*
\]
又由\(a_{i_{k_{n}}} \le
b_{i_{k_{n}}}\)，可得
\[
\lim \limits_{n \to \infty}b_{i_{k_n}} \ge a^*
\]
而\(\{b_{i_{k_{n}}}\}\)显然也是\(\{b_n\}\)的子列，从而有
\[
b^* \ge \lim \limits_{n \to \infty}b_{i_{k_n}} \ge a^*
\]
Q.E.D.
定理4
对数列\(\{a_n\}\)，定义\(\alpha_n=\inf \limits_{k \ge n}a_k，\beta_n = \sup \limits_{k \ge n}a_k\)，那么
（1）\(\{\alpha_n\}\)是递增数列，\(\{\beta_n\}\)是递减数列；
（2）\(\lim \limits_{n \to \infty} \alpha_n = a_*，\lim \limits_{n \to\infty} \beta_n =a^*\)。
证：（1）按定义，有\(\alpha_n =
\inf\{a_n,a_{n+1},\cdots\}, \quad \alpha_{n+1}=\inf\{a_{n+1}, a_{n+2},
\cdots\}\)，显然有\(\alpha_n \le
\alpha_{n+1}\)，同理可得\(\beta_n \ge
\beta_{n+1}\)。
（2）这里只证明右边等式，左边等式的证明是类似的。
（a）先设\(a^*\)是一个有限数，由定理1（1）可知\(a^* \in
E\)，所以存在\(\{a_n\}\)的一个子列\(\{a_{k_n}\}\)，使得\(\lim \limits_{n \to \infty}a_{k_n} =
a^*\)，而\(k_n \ge
n\)，所以\(a_{k_n} \le
\sup\{a_n,a_{n+1},\cdots\}=\beta_n\)，从而有
\[
\lim \limits_{n \to \infty}a_{k_n} \le \lim \limits_{n \to
\infty}\beta_n \Rightarrow a^* \le \lim \limits_{n \to \infty}\beta_n
\tag 1
\]
对任意的\(\varepsilon>0\)，由定理1（2）可知，存在\(n_0
\in N^*\)，当\(n \ge
n_0\)时，有\(a_n \le a^* +
\varepsilon\)，因此\(\sup \limits_{k
\ge n_0}a_n \le a^* + \varepsilon\)，即\(\beta_{n_0} \le a^* + \varepsilon\)
，又由于\(\{\beta_n\}\)是递减的，所以当\(n>n_0\)时，\(\beta_n \le \beta_{n_0} \le a^* +
\varepsilon\)，再令\(\varepsilon \to
0\)，从而有\(\lim \limits_{n \to
\infty}\beta_n \le a^* + \varepsilon\)，得
\[
\lim \limits_{n \to \infty}\beta_n \le a^* \tag 2
\]
由（1）（2）可得\(\lim \limits_{n \to
\infty}\beta_n = a^*\)
（b）设\(a^* =
+\infty\)，则有一子列趋于\(+\infty\)，从而有
\[
\beta_n = \sup\{a_n, a_{n+1},\cdots\} = +\infty
\]
从而有\(\lim \limits_{n \to \infty}\beta_n =
+\infty\)。
Q.E.D.
定理5：Stolz定理
设\(\{b_n\}\)是严格递增且趋于\(+\infty\)的数列，如果
\[ \lim \limits_{n \to \infty}\frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}}=A \]
那么
\[ \lim \limits_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = A \]
其中\(A\)可以是\(+\infty,-\infty\)或有限数。
证：（a）先设\(A\)是有限数，由极限定义可知，对任意\(\varepsilon>0\)，存在\(n_0 \in \mathbb{N^+}\)，使得当\(n \ge n_0\)时，有
\[
A-\varepsilon < \frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}} <
A+\varepsilon
\]
从而有
\[
\begin{aligned}
A-\varepsilon & < \frac{a_{n_0}-a_{n_0-1}}{b_{n_0}-b_{n_0-1}}
< A+\varepsilon \Rightarrow (A-\varepsilon)(b_{n_0}-b_{n_0-1}) <
a_{n_0} - a_{n_0-1} < (A+\varepsilon)(b_{n_0}-b_{n_0}-1) \\
A-\varepsilon & < \frac{a_{n_0+1}-a_{n_0}}{b_{n_0+1}-b_{n_0}}
< A+\varepsilon \Rightarrow (A-\varepsilon)(b_{n_0+1}-b_{n_0}) <
a_{n_0+1} - a_{n_0} < (A+\varepsilon)(b_{n_0+1}-b_{n_0}) \\
& \cdots \\
A-\varepsilon &< \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}} <
A+\varepsilon \Rightarrow (A-\varepsilon)(b_{n}-b_{n-1}) < a_{n} -
a_{n-1} < (A+\varepsilon)(b_{n}-b_{n-1})
\end{aligned}
\]
得
\[
(A-\varepsilon)(b_n - b_{n_0-1}) < a_n - a_{n_0-1} <
(A+\varepsilon)(b_n - b_{n_0-1}) \Rightarrow A-\varepsilon <
\frac{a_n - a_{n_0-1}}{b_n - b_{n_0-1}} < A+\varepsilon
\]
即
\[
A-\varepsilon < \frac{\frac{a_n}{b_n} -
\frac{a_{n_0-1}}{b_n}}{1-\frac{b_{n_0-1}}{b_n}} < A+\varepsilon
\]
于是得
\[
(A-\varepsilon)(1-\frac{b_{n_0-1}}{b_n}) + \frac{a_{n_0-1}}{b_n}
< \frac{a_n}{b_n} < (A+\varepsilon)(1-\frac{b_{n_0-1}}{b_n}) +
\frac{a_{n_0-1}}{b_n}
\]
从而得
\[
A - \varepsilon \le \liminf \limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} \le
\limsup \limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} \le A + \varepsilon
\]
此时令\(\varepsilon \to 0\)，即得
\[
\liminf \limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \limsup
\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = A
\]
所以
\[
\lim \limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = A
\]
（b）设\(A=+\infty\)，当\(n\)充分大时，\(a_n - a_{n-1} > b_n - b_{n-1} >
0\)，所以\(\{a_n\}\)从某项开始也是严格递增且趋于\(+\infty\)，从而有
\[
\lim \limits_{n \to \infty}\frac{b_n - b_{n-1}}{a_n - a_{n-1}}=0
\]
由（a）可知，\(\lim \limits_{n\to\infty}
\frac{b_n}{a_n} = 0\)，从而有\(\lim
\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = +\infty\)；
（c）设\(A=-\infty\)，设\(c_n = -a_n\)，可知
\[
\lim \limits_{n \to \infty}\frac{c_n - c_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = -
\lim \limits_{n \to \infty}\frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}}=+\infty
\]
由（b）可知，有\(\lim \limits_{n\to\infty}
\frac{c_n}{b_n} = +\infty\)，从而有\(\lim \limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} =
-\infty\)
Q.E.D.