前言
在点列极限一的定理7证明了单调有界的数列必收敛，此命题是实数连续性的表现之一，本篇将会说明实数连续性的6个等价命题，即这6个命题可以互相推出，而单调有界的数列必收敛命题前面已经证明，所以只需要在这6个命题中做循环论证即可。本篇将会首先列出这6个命题的描述，然后证明其相互等价。
定理1：单调且有界的数列一定收敛
定理2：闭区间套定理
设\(I_n=[a_n,b_n] (n \in \mathbb{N^+})\)，并且有\(I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots \supset I_n \supset I_{n+1}\supset \cdots\)，如果这一列区间的长度\(|I_n|=b_n-a_n \to 0(n \to \infty)\)，那么交集\(\bigcap \limits_{n=1}^NI_n\)含有唯一的点。
定理3：（Bolzano-Weierstrass）列紧性定理
从任何有界数列中必可以选出一个收敛的子列。
定义1：基本列
设\(\{a_n\}\)是一个实数数列，若对\(\forall \varepsilon>0\)，\(\exists N \in \mathbb{N^+}\)，使得当\(m,n>N\)时，有
\[ |a_m-a_n| < \varepsilon \]
则称该数列是一个基本列或Cauchy列。
该定义的一个等价叙述为：\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists N \in \mathbb{N^+}\)，使得当\(n > N\)时，有
\[ |a_{n+p} - a_n| < \varepsilon \]
对一切\(p \in \mathbb{N^+}\)对成立，则称该数列为基本列。
定理4：Cauchy收敛原理
一个数列收敛的充分必要条件是，它是基本列。
定义2：上确界与下确界
设\(E\)为一非空的由上界的集合，实数\(\beta\)满足以下两个条件：
（1）\(\forall x \in E\)，有\(x \le \beta\)
（2）\(\forall \varepsilon > 0，\exists x_{\varepsilon} \in E\)，使得\(x_{\varepsilon} > \beta - \varepsilon\)
则称\(\beta\)为集合\(E\)的上确界，记为\(\beta = \sup E\)；
若另一实数\(\alpha\)满足以下两个条件：
（1）\(\forall x \in E\)，有\(x \ge \alpha\)
（2）\(\forall \varepsilon > 0，\exists y_{\varepsilon} \in E\)，使得\(y_{\varepsilon} < \alpha + \varepsilon\)
则称\(\alpha\)为集合\(E\)的下确界，记为\(\alpha = \inf E\)。
定理5：确界存在原理
非空的有上界的集合必有上确界；非空的有下界的集合必有下确界。
定义3：开覆盖
若\(A\)是实数集，\(\mathscr{I}=\{I_{\lambda}\}\)是一个开区间族，其中\(\lambda \in \Lambda\)，这里\(\Lambda\)称为指标集。如果
\[ A \subset \bigcup \limits_{\lambda \in \Lambda}I_{\lambda} \]
则称开区间族\(\{I_\lambda\}\)是\(A\)的一个开覆盖。
定理6：（Heine-Borel）有限覆盖定理或紧致性定理
设\([a,b]\)是一个有限闭区间，并且它有一个开覆盖\(\{I_\lambda\}\)，那么从这个开区间族中必可以选出有限个元素（开区间），使得 这有限个开区间构成的族仍是\([a,b]\)的开覆盖。
六条定理的等价证明
以下图的证明顺序来证明定理的等价graph LR 定理1 --> 定理2 --> 定理3 --> 定理4 --> 定理5 --> 定理6 --> 定理1
定理1\(\Rightarrow\)定理2
证：由闭区间族\(\{I_n\}\)的性质可知，数列\(\{a_n\}\)单调递增，\(\{b_n\}\)单调递减，显然\(b_1\)是\(\{a_n\}\)的一个上界，\(a_1\)是\(\{b_n\}\)的一个下界，所以由定理1可知，\(\{a_n\}\)与\(\{b_n\}\)都收敛，不妨设
\[
\lim \limits_{n \to \infty}a_n = a, \quad \lim \limits_{n \to
\infty}b_n = b
\]
又显然有\(a_n \le b_n (n \in
\mathbb{N^+})\)，所以由极限保号性可知\(a \le b\)，从而
\[
a_n \le a \le b \le b_n (n \in \mathbb{N^+})
\]
此时有
\[
0 \le |b-a| \le |b_n-a_n| = |I_n| \to 0 (n \to \infty)
\]
可知\(a=b\)，又因为\(a_n \le a \le b_n (n\in
\mathbb{N^+})\)，即\(a_n \in I_n (n \in
\mathbb{N^+})\)，所以
\[
a \in \bigcap \limits_{n=1}^\infty I_n
\]
假设还存在\(c \ne a\)，使得\(c \in \bigcap \limits_{n=1}^\infty
I_n\)，则有\(c,a \in [a_n,
b_n]\)，从而
\[
|I_n|=|b_n-a_n| \ge |c-a|
\]
由于\(|c-a|\)是个常数，从而与\(|I_n| \to 0 (n \to
\infty)\)矛盾，从而这样的\(a\)唯一。
Q.E.D.
定理2\(\Rightarrow\)定理3
证：由于数列\(\{x_n\}\)有界，不妨设\(m \le x_n \le M (n \in
\mathbb{N^+})\)，令区间\([a_1,b_1]=[m,M]\)，将区间\([a_1,b_1]\)按中点\((a+b)/2\)分成两个闭子区间，显然必有一个子区间包含\(\{x_n\}\)中无穷多项，记该区间为\([a_2,b_2]\)，接着对\([a_2,b_2]\)进行上述分析，可以得到闭区间\([a_3,b_3]\)包含数列\(\{x_n\}\)的无穷多项，若此继续分析下去，可以得到一列闭区间套\(I_n=[a_n,b_n] (n \in
\mathbb{N^+})\)，有\(I_1 \supset I_2
\supset I_3 \supset \cdots\)，\(|I_n|=(M-m)/2^{n-1} (n \in
\mathbb{N^+})\)，并且对所有\(n \in
\mathbb{N^+}\)，\(I_n\)包含\(\{x_n\}\)的无穷多项。
根据定理2可知，\(\exists x \in \mathbb{R}\)，使得
\[
\lim \limits_{n\to\infty} a_n = x, \quad \lim \limits_{n\to\infty}
b_n = x
\]
从而\(\forall \varepsilon > 0, \exists N
\in \mathbb{N^+}\)，使得当$ n> N$时有
\[
x-\varepsilon \le a_{n} \le x \le b_{n} \le x + \varepsilon
\]
可知，\(\forall k \in \mathbb{N^+}，\exists
n_k \in \mathbb{N^+}\)，使得
\[
x - \frac{1}{k} \le a_{n_k} \le x \le b_{n_k} \le x + \frac{1}{k}
\]
由于\([a_{n_1}, b_{n_1}]\)包含\(\{x_n\}\)的无穷多项，从而存在\(x_{r_1} \in [a_{n_1},
b_{n_1}]\)，此时有
\[
x - 1 \le a_{n_1} \le x_{r_1} \le b_{n_1} \le x + 1
\]
又因为\([a_{n_2}, b_{n_2}]\)包含\(\{x_n\}\)的无穷多项，从而存在\(r_2 > r_1\)，使得\(x_{r_2} \in [a_{n_2},
b_{n_2}]\)，此时有
\[
x - \frac{1}{2} \le a_{n_2} \le x_{r_2} \le b_{n_2} \le x +
\frac{1}{2}
\]
如此下去，可知存在\(x_{r_i} \in
[a_{n_i},b_{n_i}] (1,2,\cdots)\)，满足\(x_{r_1} < x_{r_2} < x_{r_3} <
\cdots\)，且有
\[
x - \frac{1}{i} \le x_{r_i} \le x + \frac{1}{i}
\]
所以有
\[
\lim \limits_{i \to \infty} x_{r_i} = x
\]
即找到了数列\(\{x_n\}\)的一个子列\(\{x_{r_i}\}\)收敛于\(x\)。
Q.E.D.
定理3\(\Rightarrow\)定理4
证：必要性。设\(\{a_n\}\)是一个收敛数列，其极限为\(a\)，则\(\forall
\varepsilon>0，\exists N\in \mathbb{N^+}\)，使得当\(n>N\)时，有
\[
|a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2}
\]
当\(n,m>N\)时，可知
\[
|a_n - a_m| = |a_n - a + a - a_m| \le |a_n-a| + |a_m - b| <
\varepsilon
\]
从而\(\{a_n\}\)是基本列。
充分性。先证明Cauchy基本列有界，由基本列定义可知，存在$ N\(，使得当\)n>N$时，有
\[
|a_n - a_{N+1}| < 1
\]
可知
\[
|a_n| \le |a_n - a_{N+1}| + |a_{N+1}| < 1 + |a_{N+1}|
\]
令\(M =
\max(|a_1|,|a_2|,\cdots,|a_{N}|,1+|a_{N+1}|)\)，显然有\(|a_n| \le M (n \in
\mathbb{N^+})\)，表明\(\{a_n\}\)有界。
根据定理3可知，\(\{a_n\}\)中可以选出一个收敛子列\(\{a_{i_n}\}\)，设\(\lim \limits_{n \to \infty}a_{i_n} =
a\)，下面证明\(a\)就是数列\(\{a_n\}\)的极限。
\(\forall \varepsilon >
0\)，存在\(N_1 \in
\mathbb{N^+}\)，使得当\(n>N_1\)时，有\(|a_{i_{n}}-a| <
\frac{\varepsilon}{2}\)；同时存在\(N_2
\in \mathbb{N^+}\)，使得当\(n,m >
N_2\)时，有\(|a_n-a_m| <
\frac{\varepsilon}{2}\)，取\(N=
\max(N_1, N_2)\)，可知当\(n >
N\)时有
\[
|a_n - a| \le |a_n - a_{i_n}| + |a_{i_n} - a| < \varepsilon
\]
说明\(\lim \limits_{n \to \infty}a_n =
a\)。
Q.E.D.
定理4\(\Rightarrow\)定理5
下面只证明有上界必有上确界。有下界必有下确界可以类似证明（从略）。
证：设非空集合\(E\)的一个上界为\(\gamma\)，任取一点\(x \in E\)，可知最小上界只可能在\([x,\gamma]\)中，记\([a_1,b_1]=[x,\gamma]\)，用\([a_1,b_1]\)的中点\((a+b)/2\)将该区间一分为二，若右边闭区间包含\(E\)中的点，则将该区间记为\([a_2,b_2]\)，否则将左边闭区间记为\([a_2,b_2]\)，接着对\([a_2,b_2]\)做上述类似的讨论，可得到区间\([a_3,b_3]\)，若此继续下去，可以得到一列闭区间套\(I_n=[a_n,b_n] (n \in \mathbb{N^+})\)，\(I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset
\cdots\)，且\(|I_n|=b_n-a_n=(\gamma -
x)/2^{n-1} \to 0 (n\to \infty)\)，则\(\forall \varepsilon > 0，\exists N \in
\mathbb{N^+}\)，且该区间套包含两个重要的特征：
（a）\(I_n\)的右端点\(b_n\)的右边没有\(E\)中的点，即\([b_n,+\infty] (n=1,2,\cdots)\)都是\(E\)的上界。
（b）\(I_n\)总是包含\(E\)中的点。
使得当\(n > N\)时，有\(b_n - a_n < \varepsilon\)，此时\(\forall p \in \mathbb{N^+}\)，有
\[
|b_{n+p} - b_n| = b_n - b_{n+p} < b_n - a_{n+p} < b_n - a_n
< \varepsilon
\]
所以\(\{b_n\}\)是基本列，有定理4可知，数列\(\{b_n\}\)收敛，设\(\lim
\limits_{n\to\infty}b_n=\beta\)，下面证明\(\beta=\sup E\)。
（1）证明\(\beta\)是上界。任取\(c \in E\)，由（a）可知，有\(c \le b_n\)，令\(n \to \infty\)，得到\(c \le \beta\)
（2）证明\(\beta\)是上确界。由\(\lim \limits_{n \to \infty}(b_n - a_n) =
0\)，\(\lim \limits_{n \to \infty}b_n =
\beta\)，可知\(\forall \varepsilon >
0, \exists N_1 \in \mathbb{N^+}\)，使得当\(n>N_1\)时，有
\[
b_n - a_n < \frac{\varepsilon}{2}
\]
同时\(\exists N_2 \in
\mathbb{N}\)，使得当\(n >
N_2\)时，有
\[
|b_n - \beta| < \frac{\varepsilon}{2} \Rightarrow b_n > \beta
- \frac{\varepsilon}{2}
\]
从而有
\[
a_n = b_n - (b_n - a_n) > \beta - \frac{\varepsilon}{2} -
\frac{\varepsilon}{2} = \beta - \varepsilon
\]
则由（b）可知，存在\(E\)中的点记为\(d\)，满足\(d \in
[a_n,b_n]\)，从而有\(d \ge a_n >
\beta - \varepsilon\)，所以\(\beta\)是最小上界。
Q.E.D.
定理5\(\Rightarrow\)定理6
证：设\([a,b]\)有一个开覆盖\(H\)，令\(S=\{x| a
< x \le b,[a,x]可以被H的有限个元素覆盖\}\)，可知\(S\)由上界。
（1）证明\(S\)非空。因为\(a \in [a,b] \subset H\)，所以存在\([\alpha, \beta] \in H\)，使得\(a \in [\alpha, \beta]\)，取\(x \in (\alpha, \beta)\)，则\([a,x] \subset [\alpha, \beta]\)，记\(x \in S\)，所以\(S\)非空。
（2）由定理5可知，\(S\)有上确界，令\(\sup S = \eta\)，证明\(b=\eta\)。反证法。假设\(\eta < b\)，则有\(a < \eta < b\)，可知存在\([\alpha_1, \beta_1] \in H\)，使得\(\eta \in [\alpha_1, \beta_1]\)，由于\(\eta\)是\(E\)的上确界，所以必存在\(x_1 \in S\)，使得\(\alpha_1 < x_1 < \eta\)，取\(x_2 \in R\)，使得\(\eta < x_2 < \beta_1\)，有
\[
\alpha_1 < x_1 < \eta < x_2 < \beta_1
\]
从而有
\[
[a,x_2] \subset [a,x_1] \cup [\alpha_1, \beta_1]
\]
由于\(x_1 \in S\)，所以\([a,x_1]\)可以被\(H\)中有限个元素覆盖，而\([\alpha_1, \beta_1] \in H\)，所以\([a,x_2]\)可以被\(H\)中有限个元素覆盖，即\(x_2 \in S\)，与\(\eta\)是\(E\)的最小上界矛盾。所以\(b=\sup S\)，所以\([a,b)\)能被\(H\)有限个元素覆盖，而\(b \in H\)，所以存在\([\alpha_2, \beta_2] \in H\)，使得\(b \in [\alpha_2, \beta_2]\)，所以\([a,b]\)能被\(H\)有限个元素覆盖。
Q.E.D.
定理6\(\Rightarrow\)定理1
证：反证法。假设数列\(\{a_n\}\)单调并有界，但没有极限。不妨设\(a_n \in [a, b] (n=1,2,\cdots)\)，由于\(\{a_n\}\)没有极限，从而\(\forall x \in [a,b]，\exists
\varepsilon_x>0，\forall N \in \mathbb{N^+}，\exists M >
N\)，使得
\[
|a_{M} - x| \ge \varepsilon_x \Rightarrow a_{M} \ge
x+\varepsilon_x或a_{M} \le x-\varepsilon_x
\]
（1）先证明\(\{a_n\}\)无论是单调递增还是单调递减，区间\((x - \varepsilon_x, x +
\varepsilon_x)\)只包含\(\{a_n\}\)中的有限多项或者0项。
（1.a）若\(\{a_n\}\)单调递增，当\(n>M\)时，有\(a_n \ge a_{M} \ge x +
\varepsilon_x\)，所以\((x-\varepsilon_x,x+\varepsilon_x)\)区间内只可能含有\(\{a_n\}\)中的有限多项，也可能不包含\(\{a_n\}\)的项即0个；
（1.b） 若\(\{a_n\}\)单调递减，当\(n>M\)时，有\(a_n \le a_{M} \le x -
\varepsilon_x\)，也可以知道\((x -
\varepsilon_x, x + \varepsilon_x)\)只包含\(\{a_n\}\)中的有限多项或者0项。
（2）取\(H=\{(x-\varepsilon_x,
x+\varepsilon_x)| x\in [a,b]\}\)，可知\(H\)是\([a,b]\)的一个开覆盖，由定理6可知，存在\(\exists n_0 \in \mathbb{N^+}\)，使得
\[
\bigcup \limits_{i=1}^{n_0}(x_i-\varepsilon_i,x_i+\varepsilon_i) \supset
[a,b]
\]
其中\((x_i-\varepsilon_i,x_i+\varepsilon_i)
\in H (i=1,2,\cdots)\)，记\(H_{n_0} =
\bigcup
\limits_{i=1}^{n_0}(x_i-\varepsilon_i,x_i+\varepsilon_i)\)；
由于\(n_0\)是有限数，且属于\(H_{n_0}\)每个开区间也只包含\(\{a_n\}\)中的有限项，所以\(H_{n_0}\)只包含\(\{a_n\}\)的有限项，从而\([a, b]\)只包含\(\{a_n\}\)的有限项，与\(a_n \in [a, b]
(n=1,2,\cdots)\)矛盾。所以\(\{a_n\}\)有极限。
Q.E.D.