定义1
在\(\mathbb{R}\)上，设\(\{a_n\}\)是一个数列，\(a \in \mathbb{R}\)，若\(\forall \varepsilon>0\)，\(\exists N(\varepsilon)\in \mathbb{N^+}\)，使得\(\forall n>N(\varepsilon)\)，有\(|a_n-a|<\varepsilon\)，则称\(\{a_n\}\)当\(n\)趋于无穷大时以\(a\)为极限，记为
\[ \lim_{n\to \infty} a_n = a \]
或
\[ a_n \to a \quad (n \to \infty) \]
也称数列\(\{a_n\}\)收敛于\(a\)； 存在极限的数列称为收敛数列，否则称为发散数列。
定理1：数列极限唯一性
如果数列\(\{a_n\}\)收敛，那么极限只有一个。
证：反证法。假设存在两个不同的极限\(a,
b\)，不妨设 \(a < b\)，由定义1可知，对\(\frac{b-a}{2}>0\)，存在\(N_1 \in \mathbb{N^+}\)，使得当\(n>N_1\)时，有
\[
|a_n-a|<\frac{b-a}{2} \tag 1
\]
同理存在\(N_2 \in
\mathbb{N^+}\)，使得当\(n>N_2\)时，有
\[
|a_n-b|<\frac{b-a}{2} \tag 2
\]
令\(N=\max(N_1,N_2)\)，可知当\(n>N\)时，式(1)(2)同时成立，由式(1)可得\(a_n<\frac{a+b}{2}\)，由式(2)可得\(a_n>\frac{a+b}{2}\)，从而矛盾，所以假设不成立，记极限唯一。
Q.E.D.
定义2
设\(\{a_n\}\)是一个数列，若\(\exists A \in \mathbb{R}\)，使得 \(\forall n \in \mathbb{N^+}\) ，有\(a_n \le A\)，则称\(\{a_n\}\)有上界，\(A\)是此数列的一个上界；若\(\exists B \in \mathbb{R}\)，使得\(\forall n \in \mathbb{N^+}\)，有\(a_n \ge B\)，则称\(\{a_n\}\)有下界，\(B\)是此数列的一个下界；若数列既有上界又有下界，则称此数列是一个有界数列。
定理2
收敛数列是有界的。
证：设数列\(\{a_n\}\)收敛于\(a\)，由定义1可知，对于\(1>0\)，存在\(N
\in \mathbb{N^+}\)，使得当\(n >
N\)时，有\(|a_n-a| <
1\)，从而\(|a_n|=|a_n-a+a|<=|a_n-a|+|a|<1+|a|\)，令\(M=|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_N|+|a|+1\)，可知对所有的\(n \in \mathbb{N^+}\)，有\(|a_n|<M\)。
Q.E.D.
定义3
设\(\{a_n\}\)是一个数列，\(k_i \in \mathbb{N^+} (i=1,2,3,\cdots)\)，且满足\(k_1<k_2<k_3<\cdots\)，那么数列\(\{a_{k_n}\}\)称为\(\{a_n\}\)的一个子列。
定理3
设数列\(\{a_n\}\)的极限为\(a\)，那么该数列的任何一个子列都收敛于\(a\)。
证：任取\(\{a_n\}\)的一个子列\(\{a_{k_n}\}，\)由定义1可知，任取\(\varepsilon>0\)，存在\(N\in \mathbb{N^+}\)，使得当\(n>N\)时，有\(|a_n-a|<\varepsilon\)，而\(k_n \ge n\)，所以当\(k_n \ge n > N\)时， 有\(|a_{k_n}-a|<\varepsilon\)，所以\(\{a_{k_n}\}\)收敛于\(a\)。
Q.E.D.
定理4：极限的四则运算
设\(\{a_n\}\)与\(\{b_n\}\)都是收敛数列，则\(\{a_n+b_n\}\)，\(\{a_nb_n\}\)也是收敛数列，如果\(\lim \limits_{n\to\infty}b_n \ne 0\)，则\(\{\frac{a_n}{b_n}\}\)也收敛，并且有：
（1）\(\lim \limits_{n\to\infty}(a_n \pm b_n)=\lim \limits_{n\to\infty}a_n \pm \lim \limits_{n\to\infty}b_n\)
（2）\(\lim \limits_{n\to\infty}(a_nb_n)=\lim \limits_{n\to\infty}a_n \cdot \lim \limits_{n\to\infty}b_n\)
（3）\(\lim \limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim \limits_{n\to\infty}a_n}{\lim \limits_{n\to\infty}b_n}\)
证：设\(\lim \limits_{n\to\infty}a_n=a\)，\(\lim \limits_{n\to\infty}b_n=b\)
（1）由定义1可知，任取\(\varepsilon>0\)，存在\(N_1 \in \mathbb{N^+}\)，使得当\(n>N_1\)时，有\(|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}\)；存在\(N_2 \in \mathbb{N^+}\)，使得当\(n>N_2\)时，有\(|b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}\)；取\(N=\max(N_1,N_2)\)，可知当\(n>N\)时，有
\[
\begin{aligned}
|(a_n \pm b_n) - (a \pm b)| & = |(a_n-a) \pm (b_n-b)| \\
& \le |a_n-a| + |b_n-b| \\
& < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} =
\varepsilon
\end{aligned}
\]
（2） 由于\(\{a_n\}\)收敛，由定理2可知\(\{a_n\}\)有界，即存在\(M \in N^*\)，使得\(|a_n|<M\)对一切\(n \in N^*\)成立，从而有
\[
\begin{aligned}
|a_nb_n-ab| & = |a_nb_n-a_nb+a_nb-ab| \\
& \le |a_n||b_n-b| + |b||a_n-a| \\
& \le M|b_n-b| + |b||a_n-a|
\end{aligned}
\]
类似（1），因为\(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\)分别收敛于\(a,b\)，所以对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(n \in N^*\)，使得当\(n>N\)时，有
\[
|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2(|b|+1)}，
|b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2M}
\]
同时成立；从而
\[
|a_nb_n-ab| < M \frac{\varepsilon}{2M} +
|b|\frac{\varepsilon}{2(|b|+1)} < \varepsilon
\]
（3）先证明，当\(b\ne0\)时，有
\[
\lim \limits_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}
\]
对\(\frac{|b|}{2}>0\)，存在\(N_1 \in N^*\)，当\(n>N^*\)时，有
\[
|b_n-b|<\frac{|b|}{2}
\]
此时，有\(|b_n| \ge |b| - |b_n-b| >
\frac{|b|}{2} > 0\)，并且有
\[
\left|\frac{1}{b_n} - \frac{1}{b}\right| = \frac{|b_n - b|}{|b_nb|}
\le \frac{2}{b^2} |b_n-b|
\]
由于\(\{b_n\}\)收敛于\(b\)，对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(N_2\in N^*\)，使得当\(n>N_2\)时，有\(|b_n-b|<\frac{b^2}{2}\varepsilon\)；从而当\(n>\max(N_1,N_2)\)时，有
\[
\left|\frac{1}{b_n} - \frac{1}{b}\right| <
\frac{2}{b^2}\frac{b^2}{2}\varepsilon=\varepsilon
\]
所以
\[
\lim \limits_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}
\]
再由前面已证的（2），可知
\[
\lim \limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim
\limits_{n\to\infty}a_n(\frac{1}{b_n})=\frac{b}{a}
\]
Q.E.D.
定理5：极限保号性
（1）设\(\lim \limits_{n\to\infty}a_n=a\)，\(\alpha，\beta\)满足\(\alpha < a < \beta\)，那么当\(n\)充分大时，有\(\alpha < a_n < \beta\)。
（2）设\(\lim \limits_{n\to\infty}a_n=a，\lim \limits_{n\to\infty}b_n=b\)，且\(a < b\)，那么当\(n\)充分大时，一定有\(a_n < b_n\)。
（3）设\(\lim \limits_{n\to\infty}a_n=a，\lim \limits_{n\to\infty}b_n=b\)，并且当\(n\)充分大时\(a_n \le b_n\)，那么有\(a \le b\)。
证：（1）对\(\varepsilon =
\beta-a>0\)，则存在\(N_1 \in
\mathbb{N^+}\)，使得当\(n>N_1\)时，有
\[
|a_n-a|<\beta-a \Rightarrow a_n<\beta
\]
同理，对\(\varepsilon =
a-\alpha>0\)，则存在\(N_2 \in
\mathbb{N^+}\)，使得当\(n>N_2\)时，有
\[
|a_n-a|<a-\alpha \Rightarrow a_n>\alpha
\]
从而当\(n>\max(N_1,N_2)\)时，有
\[
\alpha < a <\beta
\]
（2）取\(m=\frac{a+b}{2}\)，则有\(a<m<b\)，此时由（1）可知，当\(n\)充分大时，有
\[
a_n < m < b_n
\]
（3）反证法。假设\(a>b\)，则由（2）可知，当\(n\)充分大时，有\(a_n>b_n\)，与条件\(a_n \le b_n\)矛盾，所以\(a \le b\)。
Q.E.D.
定理6：夹逼定理
三个实数域上的数列\(\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}\)，若满足
\[ a_n \le b_n \le c_n \quad (n \in \mathbb{N^+}) \]
若\(\lim \limits_{n\to\infty}a_n=\lim \limits_{n\to\infty}c_n=a\)，那么
\[ \lim \limits_{n\to\infty}b_n = a \]
证：由定理5的（3）可知，有
\[
a = \lim \limits_{n\to\infty}a_n \le \lim \limits_{n\to\infty}b_n
\le \lim \limits_{n\to\infty}c_n = a
\]
从而有
\[
\lim \limits_{n\to\infty}b_n = a
\]
Q.E.D.
定义4
如果数列\(\{a_n\}\)满足条件，对任何正数\(A\)，都存在\(N\in \mathbb{N^+}\)，使得当\(n>N\)时，有\(a_n>A\)，则称数列\(\{a_n\}\)趋向于\(+\infty\)，记作
\[ \lim \limits_{n\to\infty}a_n = +\infty \]
如果对任何正数\(A\)，都存在\(N\in \mathbb{N^+}\)，使得当\(n>N\)时，有\(a_n<-A\)，则称数列\(\{a_n\}\)趋向于\(-\infty\)，记作
\[ \lim \limits_{n\to\infty}a_n = -\infty \]
定义5
如果收敛数列\(\{a_n\}\)的极限为0，则称该数列为无穷小数列，简称无穷小；如果\(\lim \limits_{n\to\infty}|a_n|=\infty\)，则称该数列趋向于\(\infty\)，记作\(\lim \limits_{n\to\infty}a_n=\infty\)，也称该数列为无穷大数列，简称无穷大。
定义6：单调数列
如果数列\(\{a_n\}\)满足
\[ a_n \le a_{n+1} \quad (n=1,2,\cdots) \]
则称此数列为递增数列；如果\(\{a_n\}\)满足
\[ a_n \ge a_{n+1} \quad (n=1,2,\cdots) \]
则称此数列为递减数列；如果上面两个不等式都是严格的，即\(a_n < a_{n+1}\)（或\(a_n > a_{n+1}\)）（\(n=1,2,\cdots\)），则称此数列为严格递增的（或严格递减的）
定理7：单调且有界的数列一定有界。
证：不妨设数列\(\{a_n\}\)为递增的且有上界，利用实数都可以表示成十进制无尽小数的性质，将该数列的每项表示为无尽小数：
\[
\begin{aligned}
a_1 & = A_1.b_{11}b_{12}\cdots \\
a_2 & = A_2.b_{21}b_{22}\cdots \\
a_3 & = A_3.b_{31}b_{32}\cdots \\
& \cdots
\end{aligned}
\]
其中\(A_1,A_2,A_3,\cdots\)都是整数，而\(b_{ij}\)是0到9中的数。由于\(\{a_n\}\)有上界，从而\(\{A_n\}\)必有上界，记该数为\(A\)，而\(\{a_n\}\)又是单调递增的，从而存在\(N_0 \in \mathbb{N^+}\)，使得当\(n \ge N_0\)时，有\(A_n=A\)；此时考虑\(\{a_n\}\)数列\(n
\ge N_0\)的项，对\(b_{N_01},b_{(N_0+1)1},b_{(N_0+2)1},\cdots\)类似前面的讨论，可知\(\{b_{i1}\}(i \ge N_0)\)存在上界，记为\(x_1\)，同时存在\(N_1 \ge N_0\)，使得当\(n \ge N_1\)时，有\(b_{n1}=x_1\)；对其他列类比讨论，可以得到一列数\(x_1,x_2,x_3,\cdots\)，以及相应的正整数\(N_0 \le N_1 \le N_2 \le \cdots\)。令\(a=A.x_1x_2x_3\cdots\)，下面证明\(a\)就是数列\(\{a_n\}\)的极限。任取\(\varepsilon>0\)，总存在\(m \in \mathbb{N^+}\)，使得\(10^{-m}<\varepsilon\)，而当\(n>N_m\)，有\(a_n\)的整数部分和小数点后的前\(m\)位上的数与\(a\)完全一致，所以
\[
|a_n-a| < 10^{-m} < \varepsilon
\]
从而证明了
\[
\lim \limits_{n\to\infty}a_n = a
\]